Fandom

Math Wiki

Volum

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Volumul unui corp de rotație Edit

Corp obtinut prin rotatie în jurul lui Ox.png

Corp obţinut prin rotaţie în jurul lui Ox

Studiem cazul corpurilor de rotaţie obţinute prin rotirea grafic unei funcţii f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! în jurul axei Ox.

Se împarte intervalul [a, b] \! în n subintervale de lungime egală , deci lungimea fiecărui subinterval va fi \Delta t= \frac{b-a}{n}. \! Construim, de asemenea, numerele t_i= a+ i \Delta t. \!

Volumul total al corpului de rotaţie este egal cu suma volumelor V_i, \! ale părţilor din corpul de rotaţie aflate între planele verticale prin t_i \! şi t_{i+1} \!:

V = \sum_0^{n-1} V_i \!

Pe de altă parte, deoarece pentru n foarte mare t_i \! va fi foarte aproape de t_{i+1}, \! putem spune că partea din corpul de rotaţie aflată între planele verticale t_i \! şi t_{i+1} \! este aproape de cilindru şi deci:

V_i \approx \Delta t \pi f(t_i)^2 \!

Prin însumare rezultă că:

V \approx \sum_0^{n-1} \Delta t \pi f(t_i)^2 \!

Trecând la limită după n \to \infty \! rezultă că:

V = \lim_{n \to \infty} \sum_0^{n-1} \Delta t \pi f(t_i)^2   \!

Suma Riemann din dreapta converge la \int_a^b \pi f(t_i)^2 dt \! şi deci:

V= \int_a^b \pi f(t)^2 dt. \!


Exemplu. Să se calculeze volumul sferei unitate centrate în origine.


Sfera unitate centrată în origine este obţinută prin rotirea funcţiei f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R, \; f(t) = \sqrt {1-t^2}. \!

Vol \; (sfera) = \int_{-1}^1 \pi (1-t^2) = \frac  4 3 \pi. \!


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki