FANDOM


Volumul unui corp de rotație Edit

Corp obtinut prin rotatie în jurul lui Ox

Corp obţinut prin rotaţie în jurul lui Ox

Studiem cazul corpurilor de rotaţie obţinute prin rotirea grafic unei funcţii $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ în jurul axei Ox.

Se împarte intervalul $ [a, b] \! $ în n subintervale de lungime egală , deci lungimea fiecărui subinterval va fi $ \Delta t= \frac{b-a}{n}. \! $ Construim, de asemenea, numerele $ t_i= a+ i \Delta t. \! $

Volumul total al corpului de rotaţie este egal cu suma volumelor $ V_i, \! $ ale părţilor din corpul de rotaţie aflate între planele verticale prin $ t_i \! $ şi $ t_{i+1} \! $:

$ V = \sum_0^{n-1} V_i \! $

Pe de altă parte, deoarece pentru n foarte mare $ t_i \! $ va fi foarte aproape de $ t_{i+1}, \! $ putem spune că partea din corpul de rotaţie aflată între planele verticale $ t_i \! $ şi $ t_{i+1} \! $ este aproape de cilindru şi deci:

$ V_i \approx \Delta t \pi f(t_i)^2 \! $

Prin însumare rezultă că:

$ V \approx \sum_0^{n-1} \Delta t \pi f(t_i)^2 \! $

Trecând la limită după $ n \to \infty \! $ rezultă că:

$ V = \lim_{n \to \infty} \sum_0^{n-1} \Delta t \pi f(t_i)^2 \! $

Suma Riemann din dreapta converge la $ \int_a^b \pi f(t_i)^2 dt \! $ şi deci:

$ V= \int_a^b \pi f(t)^2 dt. \! $


Exemplu. Să se calculeze volumul sferei unitate centrate în origine.


Sfera unitate centrată în origine este obţinută prin rotirea funcţiei $ f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R, \; f(t) = \sqrt {1-t^2}. \! $

$ Vol \; (sfera) = \int_{-1}^1 \pi (1-t^2) = \frac 4 3 \pi. \! $


Resurse Edit