Fandom

Math Wiki

Viteză areolară

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Viteza areolară (notată \Omega \!) este o mărime fizică egală cu limita către care tinde raportul dintre aria \Delta A \! măturată de raza vectoare ce caracterizează un punct material în mişcare pe o curbă plană şi timpul \Delta t \! corespunzător, când acesta din urmă tinde către zero:[1]

\Omega = \lim_{\Delta t \to 0 } \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac {dA}{dt} = \frac{r^2 \omega}{2} \!

în care:

În SI se măsoară în metri pătraţi pe secundă.


În cazul particular al unei mișcări circulare uniforme (de rază R):

\Omega = \frac {\pi R^2}{T}, \!

în care T este perioada mişcării.


Viteza areolară medie este numeric egală cu aria măturată de raza vectoare în unitatea de timp:

\bar \Omega = \frac {\Delta A}{\Delta t}. \!


Mulţimea segmentelor OM(t), \; t \in I, \! reprezintă o suprafață conică (adică o suprafață riglată, desfăşurabilă, ale cărei generatoare OM trec prin originea O a sistemului de referință \mathcal R \!). Considerând traiectoria \Gamma \! a punctului material M parametrizată natural cu ajutorul coordonatei curbilinii s, suprafaţa conică va admite parametrizarea locală dată de formula dată de formula:

\overline {OP} = k \cdot \bar r(s) = \sigma (k, s). \!

Aria suprafeţei "măturate" de segmentul OM atunci când punctul material M a parcurs un arc de curbă de lungime s pe traiectoria \Gamma \! este:

A(s) = \underset{\bar U(s)}{\int \int} \left | \frac{\partial \sigma}{\partial k} (k, q) \times \frac{\partial \sigma}{\partial q} (k, q) \right |dk \; dq,  \!

unde \bar U(s) = [0, 1] \times [0, s]. \! Astfel cum:

\frac{\partial \sigma}{\partial k} (k, s) \times \frac{\partial \sigma}{\partial s} (k, s) = \bar r(s) \times k \cdot \frac{d \bar r}{ds} \!
=k \left [ \bar r(s) \times \frac {d \bar r}{ds} \right ], \!

putem scrie că

A(s) = \left (  \int_0^1 k \; dk \right ) \cdot \left ( \int_0^s \left | \bar r(q) \times \frac{d \bar r}{dq}  \right | dq \right )= \!
= \frac 1 2 \int_0^s \left | \bar r(q) \times \frac{d \bar r}{dq}  \right | dq, \; \; s \ge 0. \!

Apoi, prin derivare în raport cu timpul t, obţinem:

A= \frac{dA}{ds} \cdot s = \frac 1 2 \left | \bar r \times \frac{d \bar r}{ds} \right | \cdot = \frac 1 2 \left | \bar r \times \left ( \frac{d \bar r}{ds} \cdot s \right )  \right | = \frac 1 2 |\bar r \times \bar v|. \!

Introducând vectorul \vec {\Omega} \in T_0 \mathbb R^3, \! unde \vec \Omega \in \bar {\Omega}, \; \bar {\Omega} \overset{def}{=} \frac 1 2 \bar r \times \bar r, \! numit viteză areolară a punctului material M, are loc relaţia:

\left | \vec {\Omega} \right | = \frac{dA}{dt}. \!

Vectorul \Omega \! se numeşte vector-viteză areolară al punctului material M.

Să descompunem vectorii \bar r, \bar v \! după două direcţii ortogonale, dintre care una coliniară cu \bar k. \! Astfel, dacă

\bar r = (\bar r \cdot \bar k) \bar k + \bar r_{\perp} = r_0 \bar k + \bar r_{\perp} \!
\bar v = (\bar v \cdot \bar k) \bar k + \bar v_{\perp} = v_0 \bar l + \bar k_{\perp}, \!

deducem că:

\bar {\Omega} \cdot \bar k = \frac 1 2 (r_0 \bar k \times \bar v_{\perp} + \bar r_{\perp} \times v_0 \bar k + \bar r_{\perp} \times \bar v_{\perp}) \cdot \bar k= \!
= \frac 1 2 (\bar r_{\perp} \times \bar v_{\perp}) \cdot \bar k = \frac 1 2 (\bar r_{\perp}, \bar v_{\perp}, \bar k). \!

Am folosit distributivitatea faţă de adunarea vectorilor a produsului vectorial. Prin derivare în raport cu timpul t, avem \bar r = r_0 \bar k + \bar r_{\perp}. \! Cum r_0 = \frac {d}{dt} (\bar r \cdot \bar k) = \bar r \cdot \bar k = \bar v \cdot \bar k = v_0, \! se ajunge la \bar r_{\perp} = \bar v_{\perp}. \!

Aplicând metoda transformării Prüfer[2] mărimii \bar r_{\perp}, \! obţinem că:

\bar {\Omega} \cdot \bar k = \frac 1 2 r_1^2 \theta_1, \!

unde \bar r_{\perp} = r_1 (\cos \theta_1 \cdot \bar i + \sin \theta_1 \cdot \bar j). \!


Note Edit

  1. Definirea vitezei areolare este posibilă datorită valabilităţii legii ariilor în cazul mişcării punctului material în câmp central de forțe.
  2. Vezi Applications of Prüfer Transformations in the Theory of Ordinary Differential Equations şi Polar Coordinates and Prüfer's Transformation.

Also on Fandom

Random Wiki