Viteză

Viteza medie

Să considerăm că, in decursul miscării sale, un mobil se află la momentul $t_1 \!$ intr-un punct $P_1, \!$ descris de vectorul de poziţie $\vec r_1 \!$ si că la momentul $t_2 \!$ el a ajuns in punctul $P_2, \!$ descris de vectorul de poziţie $\vec r_2 \!$, situaţie reprezentată in fig.1. Distanţa dintre punctele $P_1 \!$ si $P_2 \!$ intre care s-a deplasat mobilul poate fi interpretată ca fiind modulul unui vector, $\vec r \!$, denumit vector deplasare:

$\Delta \vec r=\vec r_2 - \vec r_1$   (1)

Se defineşte vectorul viteză medie pe o porţiune $\Delta s \!$ de traiectorie ca fiind raportul:

$\bar {\vec v} =\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}.$   (2)

Viteza instantanee

Fig 2: Pe măsură ce scade intervalul $\Delta t \!$, punctul $P_2 \!$ se apropie din ce în ce mai mult de $P_1 \!$, iar vectorul deplasare tinde să ajungă pe direcţia tangentei la traiectorie.

Intrucat măsurarea distanţelor de-a lungul traiectoriei este mai puţin convenabilă, se preferă exprimarea vitezei mobilului in funcţie de coordonate sau de vectorii de poziţie ale acestuia. După cum rezultă din Fig.1.3, lungimea traiectoriei $\Delta s \!$ parcursă de mobil intr-un interval de timp finit, $\Delta t ,\!$ diferă semnificativ de mărimea vectorului deplasare, $\Delta \vec r. \!$ Asa cum vom vedea imediat, $\Delta \vec r \!$ ar fi o mărime mult mai convenabil de folosit pentru calcularea vitezei punctului material. Dacă considerăm $t_1 = t \!$ si $t_2 = t + \Delta t, \!$ atunci, in condiţiile in care $\Delta t \to 0, \!$ vectorul deplasare $\Delta r \!$ devine, la limită, egal cu distanţa curbilinie $\Delta s. \!$ In plus, $\Delta r \!$ devine tangent la curba-traiectorie. In aceste circumstanţe, se poate defini viteza instantanee a mobilului:

$\vec v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\vec r (t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t}. \!$   (3)

Constatăm, pe de altă parte, că viteza instantanee (sau momentană) este chiar derivata vectorului de poziţia în raport cu timpul:

$\vec v = \frac {d \vec r}{dt} = \vec r' (t) = \dot {\vec r}. \!$   (4)

Ca urmare, viteza instantanee (momentană), adică viteza mobilului intr-un punct este un vector tangent la traiectorie; mărimea sa este dată de derivata in raport cu timpul a vectorului său de poziţie. Vectorul viteză instantanee este tangent la traiectorie, in timp ce vectorul viteză medie are direcţia secantei.

Fig. 2

Deoarece la limită, lungimea arcului de curbă ds coincide cu lungimea coardei subîntinse $|d \vec r|, \!$ de exemplu, la cerc de rază R (fig. 2):

$\frac{|d \vec r|}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{|\Delta \vec r|}{\Delta s} = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{2R \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta} =\!$   (5)

$= \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{ \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta /2}=1, \!$   (6)

unde $\Delta \theta \!$ este unghiul la centru (în radiani) al coardei de lungime $2R \sin (\Delta \theta/2) \!$ care subîntinde arcul de lungime $R \Delta \theta, \!$ rezultă cl tangentei, în sensul creşterii arcului s (A nu se confunda versorul tangentei $\vec t \!$ cu timpul t). Prin urmare:

$\vec v =\frac {d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac {ds}{dt} =\frac {ds}{dt} \cdot \vec t = v \vec t, \!$   (8)

deci vectorul viteză este tangent la traiectorie şi îndreptat în sensul mişcării.

Viteza în coordonate carteziene

Dacă $v_x, v_y, v_z \!$ sunt componentele vitezei într-un sistem cartezian ortogonal, atunci:

$\vec v= v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k = \frac {d \vec r}{dt} = \frac {d}{dt} (x \vec i + y \vec j + z \vec k)= \!$   (9)

$= \dot x \vec i + \dot y \vec j + \dot z \vec k= f'_1 (t) \vec i + f'_2 (t) \vec j + f'_3 (t) \vec k, \!$   (10)

$v_x = \dot x = f'_1 (t), \; v_y = \dot x = f'_2 (t), \; v_z = \dot x = f'_3 (t), \!$   (11)

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2= \dot {x^2} + \dot {y^2} + \dot {z^2} = \dot {f_1^2} + \dot {f_2^2} + \dot {f_3^2}. \!$   (12)

Componenta vitezei pe o axă este egală cu derivata în raport cu timpul a coordonatei respective.

Calculul spaţiului parcurs

Pentru a calcula viteza medie a mobilului intr-un interval de timp $\Delta t ,\!$ acesta se imparte in n subintervale, $\Delta t_1, \Delta t_2, \cdots , \Delta t_n, \!$ atat de mici, incat pe durata fiecărui subinterval viteza instantanee să rămană practic constantă. (Prin urmare, viteza instantanee poate să varieze prin salt doar la trecerea între intervalele $\Delta t_i \!$ şi $\Delta t_{i+1}, \; i= 1, 2, \cdots ,n \!$)

Viteza medie se defineste ca:

$v_m=\frac{v_1 \Delta t_1 + v_2 \Delta t_2 + \cdots + v_n \Delta t_n}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \cdots + \Delta t_n + } = \frac{1}{\Delta t} \sum_{i=1}^n v_i \Delta t_i\!$   (13)

Dacă aceste intervale de timp devin din ce in ce mai mici, vitezele medii pe fiecare interval de timp $\Delta t_i \!$ se apropie de valorile instantanee si, ca urmare, suma din relaţia anterioară devine o integrală:

Fig. 3: Pe durata fiecărui subinterval $\Delta t_i, \!$ viteza rămâne practic constantă, $v_i. \!$ Distanţa parcursă în subintervalul i este $\Delta s = v_i \Delta t_i$

$v_m=\lim_{\Delta t_1 \to 0} \frac{\sum_{i=1}^n v_i \Delta t_i}{\sum_{i=1}^n \Delta t_i} = \frac {1}{\Delta t} \int_t^{t+ \Delta t} v dt. \!$   (14)

Avand in vedere cele două definiţii ale vitezei medii, date de (5) si (6), rezultă:

$\Delta s = v_m \Delta t = \int_t^{t+ \Delta t} v \; dt = aria(ABCD).\!$   (15)

Fig. 4: Spaţiul total parcurs de mobil în intervalul de timp specificat reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor elementare.

Ca urmare, spaţiul parcurs de mobil intr-un interval oarecare de timp reprezintă, din punct de vedere geometric, aria de sub curba vitezei, delimitată de dreptele $t = const. \!$ si $t + \Delta t = const.\!$

Considerand momentul iniţial $t = 0,\!$ spaţiul parcurs devine:

$s(t)= s_0 + \int_0^{t + \Delta t} v \; dt\ = aria (ABCD)\!$   (16)

unde $s_0 \!$ este coordonata curbilinie iniţială a corpului.

În termeni vectoriali, se poate scrie pentru vectorul de poziţie la momentul t:

$\vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t \vec v(t) dt, \!$   (17)

unde $\vec r_0 \!$ reprezintă vectorul de poziţie la momentul iniţial.

Dimensiunea şi unitatea de măsură a vitezei sunt, respectiv:

$[v] = \frac{[\Delta s]}{\Delta t} = LT^{-1}; \!$   (18)

$\langle v \rangle_{SI}= 1 m \cdot s^{-1} \!$   (19)

Aplicaţii

1). Un corp se mişcă pe o traiectorie după legea:

$s= b^n v^n - c^n, \!$ (b, c, n - constante pozitive)

la momentul iniţial t=0, coordonata iniţială fiind s_0 =0. Să se deducă legea variaţiei vitezei în funcţie de timp.

Soluţie.

$v = \sqrt [n-1] {\frac{c^n-1}{b^n-1} + \frac{n-1}{nb^n}t}. \!$

Vezi şi

• Viteză areolară

Resurse

• Elemente de mecanică newtoniană