Fandom

Math Wiki

Viteză

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Viteza medie Edit

Să considerăm că, in decursul miscării sale, un mobil se află la momentul t_1 \! intr-un punct P_1, \! descris de vectorul de poziţie \vec r_1 \! si că la momentul  t_2 \! el a ajuns in punctul P_2, \! descris de vectorul de poziţie \vec r_2 \!, situaţie reprezentată in fig.1. Distanţa dintre punctele P_1 \! si P_2 \! intre care s-a deplasat mobilul poate fi interpretată ca fiind modulul unui vector, \vec r \!, denumit vector deplasare:

\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1   (1)

Se defineşte vectorul viteză medie pe o porţiune \Delta  s \! de traiectorie ca fiind raportul:

\bar {\vec v} =\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}.   (2)

Viteza instantanee Edit

Tangenta perpendiculara la traiectorie.png

Fig 2: Pe măsură ce scade intervalul \Delta t \! , punctul P_2 \! se apropie din ce în ce mai mult de P_1 \! , iar vectorul deplasare tinde să ajungă pe direcţia tangentei la traiectorie.

Intrucat măsurarea distanţelor de-a lungul traiectoriei este mai puţin convenabilă, se preferă exprimarea vitezei mobilului in funcţie de coordonate sau de vectorii de poziţie ale acestuia. După cum rezultă din Fig.1.3, lungimea traiectoriei \Delta s \! parcursă de mobil intr-un interval de timp finit, \Delta t ,\! diferă semnificativ de mărimea vectorului deplasare, \Delta \vec r. \! Asa cum vom vedea imediat, \Delta \vec r \! ar fi o mărime mult mai convenabil de folosit pentru calcularea vitezei punctului material. Dacă considerăm t_1 = t \! si t_2 = t + \Delta t, \! atunci, in condiţiile in care \Delta t \to 0, \! vectorul deplasare \Delta r \! devine, la limită, egal cu distanţa curbilinie \Delta s. \! In plus, \Delta r \! devine tangent la curba-traiectorie. In aceste circumstanţe, se poate defini viteza instantanee a mobilului:

\vec v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\vec r (t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t}. \!   (3)

Constatăm, pe de altă parte, că viteza instantanee (sau momentană) este chiar derivata vectorului de poziţia în raport cu timpul:

\vec v = \frac {d \vec r}{dt} = \vec r' (t) = \dot {\vec r}. \!   (4)

Ca urmare, viteza instantanee (momentană), adică viteza mobilului intr-un punct este un vector tangent la traiectorie; mărimea sa este dată de derivata in raport cu timpul a vectorului său de poziţie. Vectorul viteză instantanee este tangent la traiectorie, in timp ce vectorul viteză medie are direcţia secantei.

Viteza instantanee in rotatie.png

Fig. 2

Deoarece la limită, lungimea arcului de curbă ds coincide cu lungimea coardei subîntinse |d \vec r|, \! de exemplu, la cerc de rază R (fig. 2):

\frac{|d \vec r|}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{|\Delta \vec r|}{\Delta s} = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{2R \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta} =\!   (5)
= \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{ \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta /2}=1, \!   (6)

unde \Delta \theta \! este unghiul la centru (în radiani) al coardei de lungime 2R \sin (\Delta \theta/2) \! care subîntinde arcul de lungime R \Delta \theta, \! rezultă cl tangentei, în sensul creşterii arcului s (A nu se confunda versorul tangentei \vec t \! cu timpul t). Prin urmare:

\vec v =\frac {d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac {ds}{dt} =\frac {ds}{dt} \cdot \vec t = v \vec t, \!   (8)

deci vectorul viteză este tangent la traiectorie şi îndreptat în sensul mişcării.

Viteza în coordonate carteziene Edit

Dacă v_x, v_y, v_z \! sunt componentele vitezei într-un sistem cartezian ortogonal, atunci:

\vec v= v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k = \frac {d \vec r}{dt} = \frac {d}{dt} (x \vec i + y \vec j + z \vec k)= \!   (9)
= \dot x \vec i + \dot y \vec j + \dot z \vec k= f'_1 (t) \vec i +  f'_2 (t) \vec j +  f'_3 (t) \vec k,  \!   (10)
v_x = \dot x = f'_1 (t), \; v_y = \dot x = f'_2 (t), \; v_z = \dot x = f'_3 (t), \!   (11)
v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2= \dot {x^2} + \dot {y^2} + \dot {z^2} = \dot {f_1^2} +  \dot {f_2^2} +  \dot {f_3^2}.   \!   (12)

Componenta vitezei pe o axă este egală cu derivata în raport cu timpul a coordonatei respective.

Calculul spaţiului parcurs Edit

Pentru a calcula viteza medie a mobilului intr-un interval de timp \Delta t, \! acesta se imparte in n subintervale, \Delta t_1, \Delta t_2, \cdots , \Delta t_n,  \! atat de mici, incat pe durata fiecărui subinterval viteza instantanee să rămană practic constantă. (Prin urmare, viteza instantanee poate să varieze prin salt doar la trecerea între intervalele \Delta t_i \! şi \Delta t_{i+1}, \; i= 1, 2, \cdots ,n \!)

Viteza medie se defineste ca:

v_m=\frac{v_1 \Delta t_1 + v_2 \Delta t_2 + \cdots + v_n \Delta t_n}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \cdots + \Delta t_n + } = \frac{1}{\Delta t} \sum_{i=1}^n  v_i \Delta t_i\!   (13)

Dacă aceste intervale de timp devin din ce in ce mai mici, vitezele medii pe fiecare interval de timp \Delta t_i \! se apropie de valorile instantanee si, ca urmare, suma din relaţia anterioară devine o integrală:

Viteza constanta pe subinterval.png

Fig. 3: Pe durata fiecărui subinterval \Delta t_i, \! viteza rămâne practic constantă, v_i. \! Distanţa parcursă în subintervalul i este \Delta s = v_i \Delta t_i

v_m=\lim_{\Delta t_1 \to 0} \frac{\sum_{i=1}^n v_i \Delta t_i}{\sum_{i=1}^n \Delta t_i} = \frac {1}{\Delta t} \int_t^{t+ \Delta t} v dt. \!   (14)

Avand in vedere cele două definiţii ale vitezei medii, date de (5) si (6), rezultă:

\Delta s = v_m \Delta t  = \int_t^{t+ \Delta t} v \; dt = aria(ABCD).\!   (15)

Spatiu ca suma ariilor dreptunghiurilor.png

Fig. 4: Spaţiul total parcurs de mobil în intervalul de timp specificat reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor elementare.

Ca urmare, spaţiul parcurs de mobil intr-un interval oarecare de timp reprezintă, din punct de vedere geometric, aria de sub curba vitezei, delimitată de dreptele t = const. \! si t + \Delta t = const.\!

Considerand momentul iniţial t = 0,\! spaţiul parcurs devine:

s(t)= s_0 + \int_0^{t + \Delta t} v \; dt\ = aria (ABCD)\!   (16)

unde s_0 \! este coordonata curbilinie iniţială a corpului.

În termeni vectoriali, se poate scrie pentru vectorul de poziţie la momentul t:

\vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t \vec v(t) dt, \!   (17)

unde \vec r_0 \! reprezintă vectorul de poziţie la momentul iniţial.

Dimensiunea şi unitatea de măsură a vitezei sunt, respectiv:

[v] = \frac{[\Delta s]}{\Delta t} = LT^{-1}; \!   (18)
\langle v \rangle_{SI}= 1 m \cdot s^{-1} \!   (19)

Aplicaţii Edit

1). Un corp se mişcă pe o traiectorie după legea:

s= b^n v^n - c^n, \! (b, c, n - constante pozitive)

la momentul iniţial t=0, coordonata iniţială fiind s_0 =0. Să se deducă legea variaţiei vitezei în funcţie de timp.

Soluţie.

v = \sqrt [n-1] {\frac{c^n-1}{b^n-1} + \frac{n-1}{nb^n}t}. \!


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki