FANDOM


Viteza medie Edit

Să considerăm că pozitia in decursul miscării sale se află la momentul $ t_1 \! $ intr-un punct $ P_1, \! $ descris de vectorul de poziţie $ \vec r_1 \! $ si că la momentul $ t_2 \! $ajuns in punctul $ P_2, \! $ descris de vectorul de pozitie $ \vec r_2 \! $, situaţie reprezentată in fig.1. Distanţa dintre punctele $ P_1 \! $ si $ P_2 \! $ intre care s-a deplasat poate fi interpretată ca fiind modulul unui vector, $ \vec r \! $, denumit vector deplasare:

$ \Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1 $   (1)

Se defineşte vectorul viteză medie pe o porţiune $ \Delta s \! $ de traiectorie ca fiind raportul:

$ \bar {\vec v} =\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}. $   (2)

Viteza instantanee Edit

Tangenta perpendiculara la traiectorie

Fig 2: Pe măsură ce scade intervalul $ \Delta t \! $, punctul $ P_2 \! $ se apropie din ce în ce mai mult de $ P_1 \! $, iar vectorul deplasare tinde să ajungă pe direcţia tangentei la traiectorie.

Intrucat măsurarea distanţelor de-a lungul traiectoriei este mai puţin convenabilă, se preferă exprimarea vitezei mobilului in funcţie de coordonate sau de vectorii de poziţie ale acestuia. După cum rezultă din Fig.1.3, lungimea traiectoriei $ \Delta s \! $ parcursă de mobil intr-un interval de timp finit, $ \Delta t ,\! $ diferă semnificativ de mărimea vectorului deplasare, $ \Delta \vec r. \! $ Asa cum vom vedea imediat, $ \Delta \vec r \! $ ar fi o mărime mult mai convenabil de folosit pentru calcularea vitezei punctului material. Dacă considerăm $ t_1 = t \! $ si $ t_2 = t + \Delta t, \! $ atunci, in condiţiile in care $ \Delta t \to 0, \! $ vectorul deplasare $ \Delta r \! $ devine, la limită, egal cu distanţa curbilinie $ \Delta s. \! $ In plus, $ \Delta r \! $ devine tangent la curba-traiectorie. In aceste circumstanţe, se poate defini viteza instantanee a mobilului:

$ \vec v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\vec r (t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t}. \! $   (3)

Constatăm, pe de altă parte, că viteza instantanee (sau momentană) este chiar derivata vectorului de poziţia în raport cu timpul:

$ \vec v = \frac {d \vec r}{dt} = \vec r' (t) = \dot {\vec r}. \! $   (4)

Ca urmare, viteza instantanee (momentană), adică viteza mobilului intr-un punct este un vector tangent la traiectorie; mărimea sa este dată de derivata in raport cu timpul a vectorului său de poziţie. Vectorul viteză instantanee este tangent la traiectorie, in timp ce vectorul viteză medie are direcţia secantei.

Viteza instantanee in rotatie

Fig. 2

Deoarece la limită, lungimea arcului de curbă ds coincide cu lungimea coardei subîntinse $ |d \vec r|, \! $ de exemplu, la cerc de rază R (fig. 2):

$ \frac{|d \vec r|}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{|\Delta \vec r|}{\Delta s} = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{2R \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta} =\! $   (5)
$ = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{ \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta /2}=1, \! $   (6)

unde $ \Delta \theta \! $ este unghiul la centru (în radiani) al coardei de lungime $ 2R \sin (\Delta \theta/2) \! $ care subîntinde arcul de lungime $ R \Delta \theta, \! $ rezultă cl tangentei, în sensul creşterii arcului s (A nu se confunda versorul tangentei $ \vec t \! $ cu timpul t). Prin urmare:

$ \vec v =\frac {d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac {ds}{dt} =\frac {ds}{dt} \cdot \vec t = v \vec t, \! $   (8)

deci vectorul viteză este tangent la traiectorie şi îndreptat în sensul mişcării.

Viteza în coordonate carteziene Edit

Dacă $ v_x, v_y, v_z \! $ sunt componentele vitezei într-un sistem cartezian ortogonal, atunci:

$ \vec v= v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k = \frac {d \vec r}{dt} = \frac {d}{dt} (x \vec i + y \vec j + z \vec k)= \! $   (9)
$ = \dot x \vec i + \dot y \vec j + \dot z \vec k= f'_1 (t) \vec i + f'_2 (t) \vec j + f'_3 (t) \vec k, \! $   (10)
$ v_x = \dot x = f'_1 (t), \; v_y = \dot x = f'_2 (t), \; v_z = \dot x = f'_3 (t), \! $   (11)
$ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2= \dot {x^2} + \dot {y^2} + \dot {z^2} = \dot {f_1^2} + \dot {f_2^2} + \dot {f_3^2}. \! $   (12)

Componenta vitezei pe o axă este egală cu derivata în raport cu timpul a coordonatei respective.

Calculul spaţiului parcurs Edit

Pentru a calcula viteza medie a mobilului intr-un interval de timp $ \Delta t, \! $ acesta se imparte in n subintervale, $ \Delta t_1, \Delta t_2, \cdots , \Delta t_n, \! $ atat de mici, incat pe durata fiecărui subinterval viteza instantanee să rămană practic constantă. (Prin urmare, viteza instantanee poate să varieze prin salt doar la trecerea între intervalele $ \Delta t_i \! $ şi $ \Delta t_{i+1}, \; i= 1, 2, \cdots ,n \! $)

Viteza medie se defineste ca:

$ v_m=\frac{v_1 \Delta t_1 + v_2 \Delta t_2 + \cdots + v_n \Delta t_n}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \cdots + \Delta t_n + } = \frac{1}{\Delta t} \sum_{i=1}^n v_i \Delta t_i\! $   (13)

Dacă aceste intervale de timp devin din ce in ce mai mici, vitezele medii pe fiecare interval de timp $ \Delta t_i \! $ se apropie de valorile instantanee si, ca urmare, suma din relaţia anterioară devine o integrală:

Viteza constanta pe subinterval

Fig. 3: Pe durata fiecărui subinterval $ \Delta t_i, \! $ viteza rămâne practic constantă, $ v_i. \! $ Distanţa parcursă în subintervalul i este $ \Delta s = v_i \Delta t_i $

$ v_m=\lim_{\Delta t_1 \to 0} \frac{\sum_{i=1}^n v_i \Delta t_i}{\sum_{i=1}^n \Delta t_i} = \frac {1}{\Delta t} \int_t^{t+ \Delta t} v dt. \! $   (14)

Avand in vedere cele două definiţii ale vitezei medii, date de (5) si (6), rezultă:

$ \Delta s = v_m \Delta t = \int_t^{t+ \Delta t} v \; dt = aria(ABCD).\! $   (15)

Spatiu ca suma ariilor dreptunghiurilor

Fig. 4: Spaţiul total parcurs de mobil în intervalul de timp specificat reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor elementare.

Ca urmare, spaţiul parcurs de mobil intr-un interval oarecare de timp reprezintă, din punct de vedere geometric, aria de sub curba vitezei, delimitată de dreptele $ t = const. \! $ si $ t + \Delta t = const.\! $

Considerand momentul iniţial $ t = 0,\! $ spaţiul parcurs devine:

$ s(t)= s_0 + \int_0^{t + \Delta t} v \; dt\ = aria (ABCD)\! $   (16)

unde $ s_0 \! $ este coordonata curbilinie iniţială a corpului.

În termeni vectoriali, se poate scrie pentru vectorul de poziţie la momentul t:

$ \vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t \vec v(t) dt, \! $   (17)

unde $ \vec r_0 \! $ reprezintă vectorul de poziţie la momentul iniţial.

Dimensiunea şi unitatea de măsură a vitezei sunt, respectiv:

$ [v] = \frac{[\Delta s]}{\Delta t} = LT^{-1}; \! $   (18)
$ \langle v \rangle_{SI}= 1 m \cdot s^{-1} \! $   (19)

Aplicaţii Edit

1). Un corp se mişcă pe o traiectorie după legea:

$ s= b^n v^n - c^n, \! $ (b, c, n - constante pozitive)

la momentul iniţial t=0, coordonata iniţială fiind s_0 =0. Să se deducă legea variaţiei vitezei în funcţie de timp.

Soluţie.

$ v = \sqrt [n-1] {\frac{c^n-1}{b^n-1} + \frac{n-1}{nb^n}t}. \! $


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Elemente de mecanică newtoniană]