FANDOM


Viteza medie Edit

Să considerăm că pozitia in decursul miscării sale se află la momentul t_1 \! intr-un punct P_1, \! descris de vectorul de poziţie \vec r_1 \! si că la momentul  t_2 \!ajuns in punctul P_2, \! descris de vectorul de futut \vec r_2 \!, situaţie reprezentată in fig.1. Distanţa dintre punctele P_1 \! si P_2 \! intre care s-a deplasat (stiti voi ce) poate fi interpretată ca fiind modulul unui vector, \vec r \!, denumit vector de bagare:

\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1   (1)

Se defineşte vectorul viteză medie pe o porţiune \Delta  s \! de traiectorie ca fiind raportul:

\bar {\vec v} =\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}.   (2)

Viteza instantanee Edit

Tangenta perpendiculara la traiectorie

Fig 2: Pe măsură ce scade intervalul \Delta t \! , punctul P_2 \! se apropie din ce în ce mai mult de P_1 \! , iar vectorul deplasare tinde să ajungă pe direcţia tangentei la traiectorie.

Intrucat măsurarea distanţelor de-a lungul traiectoriei este mai puţin convenabilă, se preferă exprimarea vitezei mobilului in funcţie de coordonate sau de vectorii de poziţie ale acestuia. După cum rezultă din Fig.1.3, lungimea traiectoriei \Delta s \! parcursă de mobil intr-un interval de timp finit, \Delta t ,\! diferă semnificativ de mărimea vectorului deplasare, \Delta \vec r. \! Asa cum vom vedea imediat, \Delta \vec r \! ar fi o mărime mult mai convenabil de folosit pentru calcularea vitezei punctului material. Dacă considerăm t_1 = t \! si t_2 = t + \Delta t, \! atunci, in condiţiile in care \Delta t \to 0, \! vectorul deplasare \Delta r \! devine, la limită, egal cu distanţa curbilinie \Delta s. \! In plus, \Delta r \! devine tangent la curba-traiectorie. In aceste circumstanţe, se poate defini viteza instantanee a mobilului:

\vec v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\vec r (t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t}. \!   (3)

Constatăm, pe de altă parte, că viteza instantanee (sau momentană) este chiar derivata vectorului de poziţia în raport cu timpul:

\vec v = \frac {d \vec r}{dt} = \vec r' (t) = \dot {\vec r}. \!   (4)

Ca urmare, viteza instantanee (momentană), adică viteza mobilului intr-un punct este un vector tangent la traiectorie; mărimea sa este dată de derivata in raport cu timpul a vectorului său de poziţie. Vectorul viteză instantanee este tangent la traiectorie, in timp ce vectorul viteză medie are direcţia secantei.

Viteza instantanee in rotatie

Fig. 2

Deoarece la limită, lungimea arcului de curbă ds coincide cu lungimea coardei subîntinse |d \vec r|, \! de exemplu, la cerc de rază R (fig. 2):

\frac{|d \vec r|}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{|\Delta \vec r|}{\Delta s} = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{2R \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta} =\!   (5)
= \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{ \sin (\Delta \theta / 2)}{R \Delta \theta /2}=1, \!   (6)

unde \Delta \theta \! este unghiul la centru (în radiani) al coardei de lungime 2R \sin (\Delta \theta/2) \! care subîntinde arcul de lungime R \Delta \theta, \! rezultă cl tangentei, în sensul creşterii arcului s (A nu se confunda versorul tangentei \vec t \! cu timpul t). Prin urmare:

\vec v =\frac {d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac {ds}{dt} =\frac {ds}{dt} \cdot \vec t = v \vec t, \!   (8)

deci vectorul viteză este tangent la traiectorie şi îndreptat în sensul mişcării.

Viteza în coordonate carteziene Edit

Dacă v_x, v_y, v_z \! sunt componentele vitezei într-un sistem cartezian ortogonal, atunci:

\vec v= v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k = \frac {d \vec r}{dt} = \frac {d}{dt} (x \vec i + y \vec j + z \vec k)= \!   (9)
= \dot x \vec i + \dot y \vec j + \dot z \vec k= f'_1 (t) \vec i +  f'_2 (t) \vec j +  f'_3 (t) \vec k,  \!   (10)
v_x = \dot x = f'_1 (t), \; v_y = \dot x = f'_2 (t), \; v_z = \dot x = f'_3 (t), \!   (11)
v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2= \dot {x^2} + \dot {y^2} + \dot {z^2} = \dot {f_1^2} +  \dot {f_2^2} +  \dot {f_3^2}.   \!   (12)

Componenta vitezei pe o axă este egală cu derivata în raport cu timpul a coordonatei respective.

Calculul spaţiului parcurs Edit

Pentru a calcula viteza medie a mobilului intr-un interval de timp \Delta t, \! acesta se imparte in n subintervale, \Delta t_1, \Delta t_2, \cdots , \Delta t_n,  \! atat de mici, incat pe durata fiecărui subinterval viteza instantanee să rămană practic constantă. (Prin urmare, viteza instantanee poate să varieze prin salt doar la trecerea între intervalele \Delta t_i \! şi \Delta t_{i+1}, \; i= 1, 2, \cdots ,n \!)

Viteza medie se defineste ca:

v_m=\frac{v_1 \Delta t_1 + v_2 \Delta t_2 + \cdots + v_n \Delta t_n}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \cdots + \Delta t_n + } = \frac{1}{\Delta t} \sum_{i=1}^n  v_i \Delta t_i\!   (13)

Dacă aceste intervale de timp devin din ce in ce mai mici, vitezele medii pe fiecare interval de timp \Delta t_i \! se apropie de valorile instantanee si, ca urmare, suma din relaţia anterioară devine o integrală:

Viteza constanta pe subinterval

Fig. 3: Pe durata fiecărui subinterval \Delta t_i, \! viteza rămâne practic constantă, v_i. \! Distanţa parcursă în subintervalul i este \Delta s = v_i \Delta t_i

v_m=\lim_{\Delta t_1 \to 0} \frac{\sum_{i=1}^n v_i \Delta t_i}{\sum_{i=1}^n \Delta t_i} = \frac {1}{\Delta t} \int_t^{t+ \Delta t} v dt. \!   (14)

Avand in vedere cele două definiţii ale vitezei medii, date de (5) si (6), rezultă:

\Delta s = v_m \Delta t  = \int_t^{t+ \Delta t} v \; dt = aria(ABCD).\!   (15)

Spatiu ca suma ariilor dreptunghiurilor

Fig. 4: Spaţiul total parcurs de mobil în intervalul de timp specificat reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor elementare.

Ca urmare, spaţiul parcurs de mobil intr-un interval oarecare de timp reprezintă, din punct de vedere geometric, aria de sub curba vitezei, delimitată de dreptele t = const. \! si t + \Delta t = const.\!

Considerand momentul iniţial t = 0,\! spaţiul parcurs devine:

s(t)= s_0 + \int_0^{t + \Delta t} v \; dt\ = aria (ABCD)\!   (16)

unde s_0 \! este coordonata curbilinie iniţială a corpului.

În termeni vectoriali, se poate scrie pentru vectorul de poziţie la momentul t:

\vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t \vec v(t) dt, \!   (17)

unde \vec r_0 \! reprezintă vectorul de poziţie la momentul iniţial.

Dimensiunea şi unitatea de măsură a vitezei sunt, respectiv:

[v] = \frac{[\Delta s]}{\Delta t} = LT^{-1}; \!   (18)
\langle v \rangle_{SI}= 1 m \cdot s^{-1} \!   (19)

Aplicaţii Edit

1). Un corp se mişcă pe o traiectorie după legea:

s= b^n v^n - c^n, \! (b, c, n - constante pozitive)

la momentul iniţial t=0, coordonata iniţială fiind s_0 =0. Să se deducă legea variaţiei vitezei în funcţie de timp.

Soluţie.

v = \sqrt [n-1] {\frac{c^n-1}{b^n-1} + \frac{n-1}{nb^n}t}. \!


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.