Fandom

Math Wiki

Vibrațiile unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Sistem oscilant cu un singur grad de libertate.png

Considerăm un sistem oscilant cu un singur grad de libertate format dintr-o masă m și un element elastic (un arc) ca în figura 1.

Presupunem că asupra masei m, redusă la un punct material, acționează o forță perturbatoare F(t), care determină o deplasare pe orizontală notată cu x(t). În orice moment t al mișcării, punctul material se află în echilibru sub acțiunea următoarelor forțe: forța elastică F_e, \! forța de inerție F_i = m \cdot \ddot x(t) \! și forța perturbatoare F(t) (fig. 2).

Așadar avem:

Forta proportionala cu deplasarea.png
F_i + F_e = F(t). \!

Pentru deplasări mici, forța elastică este proporțională cu deplasarea (legea lui Hooke). Deci

F_e  = k \cdot x(t), \!

unde k este coeficientul de rigiditate și se definește ca fiind forța necesară pentru a produce o deplasare unitară pe direcția acestei forțe. Inversul coeficientului de rigiditate \delta = \frac 1 k \! se numește flexibilitatea elementului elastic.

Se obține astfel următoarea ecuație diferențială:

m \cdot \ddot x(t) + k \cdot x(t) = F(t). \!

Dacă presupunem, în plus, că există și o forță de frecare F_f, \! proporțională cu viteza de deplasare, F_f = c \cdot \dot x(t), \! atunci ecuația devine:

m \cdot \ddot x(t) + c \cdot \dot x(t) + k \cdot x(t) = F(t). \!   (1)

Constanta c se numește coeficient de amortizare vâscoasă.

În continuare, notăm cu \omega \! pulsația proprie a vibrației, care se definește prin \omega = \sqrt {\frac k m} \! și cu \nu \! fracțiunea de amortizare critică, definită prin \nu = \frac {c}{2m \omega}. \!

Cu aceste notații ecuația (1) devine:

\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) = \frac {F(t)}{m}. \!   (2)

Ecuația (2) este o ecuație diferențială de ordinul doi, cu coeficienți constanți, neomogenă. Ecuația omogenă asociată este:

\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) =0. \!   (3)

și modelează cazul vibrațiilor libere cu amortizare vâscoasă.

Ecuația caracteristică este:

r^2 + 2 \nu \omega r + \omega^2 =0. \!

și admite soluțiile:

r_{1, 2} = - \nu \omega \pm i \omega \sqrt {1 - \nu^2}. \!

Dacă notăm cu \omega^* = \omega \sqrt {1- \nu^2}, \! atunci soluția generală a ecuației omogene (3), care corespunde vibrațiilor libere, se notează cu x_L (t) \! și este:

x_L (t) = e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t). \!

Ecuația neomogenă (2) modelează cazul vibrațiilor forțate cu amortizare vâscoasă.

În continuare, vom presupune că forța perturbatoare F(t) este de forma:

F(t) = \frac {F_0}{m} \sin \theta t, \!

unde F_0 \! este o constantă.

Ecuația neomogenă devine:

\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) = \frac {F_0}{m} \cdot \sin \theta t. \!   (4)

Căutăm soluția particulară a ecuației neomogene, x_F (t) \! (corespunzătoare vibrațiilor forțate), de forma:

x_F (t) = A \sin \theta t + B \cos \theta t. \!   (5)

Punând condiția ca soluția (5) să verifice ecuația diferențială (4), obținem:

-A \theta^2 \sin  \theta t - B \theta^2 \cos \theta t + 2 \nu \omega (A \theta \cos \theta t - B \theta \sin \theta t) + \!
 + \omega^2 (A \sin \theta t + B \cos \theta t) = \frac {F_0}{m} \cdot \sin \theta t. \!

Identificând coeficienții lui \sin \theta t \! și \cos \theta t \! din cei doi membri, obținem sistemul:


\begin{cases}
(\omega^2 - \theta^2) A - 2 \nu \omega \theta B = \frac {F_0}{m}
\\
2 \nu \omega \theta A + (\omega^2 - \theta^2) B = 0
\end{cases}
care admite soluția:

A = \frac {\omega^2 - \theta^2}{(\omega^2 - \theta^2)^2 + 4 \nu^2 \omega^2 \theta^2} \cdot \frac {F_0}{m} \! și B= \frac {-2 \nu \omega \theta}{(\omega^2 - \theta^2)^2 + 4 \nu^2 \omega^2 \theta^2} \cdot \frac {F_0}{m} . \!   (6)

Soluția generală a ecuației neomogene (4) este:

x(t) = x_L (t) + x_F (t) = e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t) + A \sin \theta t + B \cos \theta t. \!   (7)

Derivând (7), rezultă:

 \dot x(t) = -\nu \omega e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t) + e^{- \nu \omega t} (\omega^* C_1 \cos \omega^* t - \omega^* C_2 \sin \omega^* t) +

+ A \theta \cos \theta t - B \theta \sin \theta t.\!

Vom determina soluțiile vibrațiilor stabilizate (staționare), care corespund condițiilor inițiale:


\begin{cases}
x(0)=0
\\
\dot x(0) =0
\end{cases}
  (8)

Din condițiile (8) deducem:

C_2 = -B \! și C_1 = - \frac {\theta}{\omega^*}A - \frac {\nu \omega}{\omega^*}B. \!   (9)

ținând seama de (6) și (9), obținem:

x(t) = \frac {F_0}{m \omega^2 [(1 - (\frac {\theta}{\omega})^2)^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2]} \{e^{- \nu \omega t} [\frac {\theta}{\omega^*}(2 \nu^2 + (\frac {\theta}{\omega})^2 - 1 ) \sin \omega^* t + 2 \nu \frac {\theta}{\omega} \cos \omega^* t]+ \!

 + [\left (1 - ( \frac {\theta}{\omega})^2 \right ) \sin \theta t - 2 \nu \frac {\theta}{\omega} \cos \theta t] \}. \!   (10)

Fie

\alpha = \frac {\theta}{\omega^*} [2 \nu^2 + (\frac {\theta}{\omega})^2 - 1] \! și \beta = 2 \nu \frac {\theta}{\omega} .\!   (11)

Observăm că expresia \alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t \! se poate prelucra astfel:

\alpha \sin \omega^* t+ \beta \cos \omega^* t= \alpha (\sin \omega^* t + \frac {\beta}{\alpha} \cos \omega^* t). \!

Fie  \phi = \arctan {\frac {\beta}{\alpha}}, \! deci \tan \phi = \frac {\beta}{\alpha}. \! Atunci avem:

\alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t = \alpha (\sin \omega^* t + \tan \phi \cos \omega^* t) =  \!

 = \frac {\alpha}{\cos \phi} (\sin \omega^* t \cos \phi + \sin \phi \cos \omega^* t) = \frac {\alpha}{\cos \phi} \sin (\omega^* t + \phi). \!

Pe de altă parte:

\frac {1}{\cos^2 \phi} = 1 + \tan^2 \phi = \frac {\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2}. \!

de unde deducem că:

 \alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t = \sqrt {\alpha^2+ \beta^2} \sin (\omega^* t + \phi).\!   (12)

ținând seama de (11), rezultă:

\alpha^2+ \beta^2 = \frac {\theta^2}{\omega^2 (1- \nu^2)} \left [(1 - (\frac {\theta}{\omega})^2)^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2 \right ] \!   (13)

Dacă notăm \gamma  = 1- (\frac {\theta}{\omega})^2 \! și cu \delta  = - 2 \nu \frac {\theta}{\omega}, \! atunci

 \gamma^2 + \delta^2 = [1- (\frac {\theta}{\omega})^2]^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2 \!   (14)

și așa cum s-a arătat mai sus, avem:

\gamma \sin \theta t + \delta \cos \theta t = \sqrt {\gamma^2 + \delta^2} \sin (\theta t + \psi), \!   (15)

unde

\psi = \arctan \frac {\delta}{\gamma}. \!

ținând seama de (12), (13), (14), (15) în expresia soluției generale (10), rezultă:

x(t) = \frac {F_0 e^{- \nu \omega t}}{m \theta^2 \sqrt{1- \nu^2}} \cdot \left ( \frac {\theta}{\omega}  \right )^3  \mu^* \sin (\omega^* t + \phi) + \frac {F_0}{m \theta^2} \cdot \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \mu^* \sin (\theta t + \psi), \!   (16)

unde

\mu^* = \frac {1}{\sqrt{ \left ( 1 -  \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \!   (17)

reprezintă coeficientul dinamic sau factorul de amplificare.

În sfârșit, dacă notăm cu \lambda = \frac {F_0}{M \theta^2}, \! atunci soluția căutată este:

x(t) = x_L(t) + x_F(t), \!

unde

x_L(t) = \frac {\lambda}{\sqrt{1 - \nu^2}} \cdot \frac {\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^3}{\sqrt{ \left ( 1 -  \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \cdot e^{- \nu \omega t} \cdot \sin ( \omega \sqrt {1 - \nu^2} t + \phi), \!
\phi = \arctan \frac {2 \nu \sqrt{1 - \nu^2}}{2 \nu^2 + \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 - 1}, \!

iar

x_F (t) = \lambda \cdot \frac {\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}{\sqrt{ \left ( 1 -  \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \cdot \sin (\theta t + \psi) , \!


\psi = \arctan \frac {2 \nu \frac {\theta}{\omega}}{\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 - 1}. \!

Analizând soluția obținută, constatăm că primul termen, x_L(t), \! care modelează vibrațiile libere, este de forma:

 x_L(t) = A e^{- \nu \omega t} \sin (\omega^* + \phi), \!

soluție care exprimă o mișcare armonică cu pulsația \omega^* \! și amplitudinea A e^{- \nu \omega t} \! și care descrește exponențial în timp. O asemenea mișcare se mai numește și cvasiarmonică și este reprezentată grafic în figura 3.

Oscilatie cvasiarmonica amortizata.png

Figura 3

Soluția ecuației neomogene, care corespunde vibrațiilor forțate,

x_F = B \sin (\theta t + \psi), \!

exprimă o mișcare armonică (sinusoidală) de pulsație \theta \! și amplitudine B (figura 4).

Miscare armonica sinusoidala.png

Fig. 4

Când acțiunea forței perturbatoare este de lungă durată, vibrația totală, x(t) = x_L(t) + x_F(t), \! se reduce la vibrație forțată x_F(t), \! deoarece x_L(t) \! tinde la zero, datorită factorului e^{- \nu \omega t} .\! În această situație, care interesează din punct de vedere practic, mișcarea capătă un caracter staționar.

Graficul soluției x(t), \! care se obține prin însumarea graficelor din figurile 3 și 4, arată ca în figura 5.

Graficul solutiei x(t).png

Fig. 5

În cazul lipsei forței de amortizare vâscoasă (\nu = 0), \! avem:

x_F(t) = \frac {F_0}{m \omega^2 \left [ 1 - \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2  \right ]} \cdot \sin (\theta t + \psi). \!

Observăm că dacă \theta = \omega , \! situație care corespunde cazului de rezonanță, x_F(t) \! devine infinit. Această situație este ipotetică, deoarece, în realitate, sistemul are întotdeauna o amortizare internă, care limitează mărimea deplasărilor.

Să revenim la cazul general când \nu \neq 0. \! Analizând amplitudinea soluției în acest caz, observăm că în zona rezonanței (\theta \cong \omega), \! deplasările nu mai devin infinite, dar, în această zonă, amplitudinea are valori maximale.

Un grafic al factorului de amplificare \mu^* \! în funcție de raportul \frac {\theta}{\omega} \! și pentru diferite valori ale frecvenței este prezentat în figura 6.

Graficul factorului de amplificare.png

Fig. 6


Vezi și Edit

Also on Fandom

Random Wiki