Ecuaţiile vibraţiilor longitudinale pentru o bară, coardă sau resort au aceeaşi formă.
Să considerăm o bară (subţire) situată pe segmentul al axei Ox.
Vibraţiile longitudinale pot fi descrise cu o funcţie care reprezintă în momentul
t deplasarea punctului care în poziţia de echilibru a avut abscisa x.
In cazul vibraţiilor longitudinale această deplasare se produce în lungul barei.
Pentru a obţine ecuaţiile vom presupune că tensiunile care apar în acest proces se supun legii lui Hooke.
Considerăm elementul de bară având extremităţile în stare de repaus.
La momentul t, coordonatele extremităţilor acestui element au valorile:
iar alungirea relativă este:
Prin trecere la limită pentru obţinem că alungirea relativă în x este dată de şi în virtutea legii lui Hooke, tensiunea este egală cu:
unde f(x, t) este densitatea de forţe exterioare, raportată la unitatea de lungime.
Dacă presupunem că funcţia este de clasă atunci aplicând teorema de medie şi trecând la limită pentru şi ajungem la ecuaţia diferenţială a vibraţiilor longitudinale a barei:
(3)
Dacă bara este omogenă, această ecuaţie se scrie sub forma:
(4)
unde este densitatea forţei raportată la unitatea de masă.
Dacă nu avem forţă exterioară, atunci se obţine ecuaţia omogenă:
(5)
care descrie vibraţiile libere longitudinale ale unei bare.
Ecuaţia (4) şi (5) pe care o satisface funcţia care descrie vibraţia longitudinală
a unei bare, în general are o infinitate de soluţii.
Pentru a identifica în mulţimea soluţiilor acea funcţie care descrie vibraţia longitudinală, trebuie să adăugăm condiţii suplimentare.
In cazul unei bare fixate la o extremitate, trebuie îndeplinită "condiţia la limită":
(6)
Legea de mişcare a extremităţii libere, de obicei, nu este dată.
Dacă nu sunt forţe externe la extremitatea liberă, se pune condiţia ca tensiunea să fie zero: T(l, t) = k \cdot \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=l} =0.
Astfel apare condiţia la limită:
(7)
Dacă extremitatea se mişcă după o lege iar pentru este dată de forţa atunci:
(8)
O condiţie tipică este condiţia unei fixări elastice să zicem pentru
(9)
sau echivalent:
(10)
În acest caz, extremitatea se poate deplasa însă forţele elastice de fixare produc în acesta o tensiune care tinde să-l readucă în poziţia iniţială.
Rigiditatea fixării este caracterizată de coeficientul
Dacă punctul faţă de care au loc fixarea elastică se mişcă şi devierea lui de la poziţia iniţială este condiţia la limită devine
În general, condiţiile la limită la un capăt să zicem sunt de trei tipuri:
condiţia la limită de primul tip - regimul dat;
condiţia la limită de tipul al doilea - forţa dată;
condiţia la limită de tipul al treilea - fixare elastică.
În mod analog, se dau condiţiile limită şi la al doilea capăt
Dacă funcţiile sunt nule, condiţiile la limită se numesc omogene.
Combinând diferite tipuri de condiţii la limită mai sus enumerate, vom obţine şase tipuri de cele mai simple probleme la limită.
Există condiţii la limită mai complicate de exemplu în cazul unei fixări elastice care nu se supune legii lui Hooke.
Pe lângă condiţiile la limită pentru identificarea soluţiei, se impun şi condiţii iniţiale care sunt similare cu cele întâlnite în cazul vibraţiilor transversale ale corzilor muzicale:
(11)
Astfel problema determinării vibraţiilor longitudinale libere ale unei bare care are capătul O fixat şi capătul l liber, revine la determinarea unei funcţii care verifică:
(12)
Dacă ambele capete ale barei se mişcă după legi cunoscute, atunci problema determinării vibraţiilor longitudinale revine la determinarea unei funcţii care verifică:
(13)
Pentru elucidarea existenţei şi unicităţii soluţiei problemei (12) se introduce funcţia definită prin:
(14)
şi apoi noua funcţie necunoscută definită prin:
(15)
Funcţia verifică:
(16)
Faptul că există o singură funcţie care verifică (16) se arată la fel şi în cazul vibraţiilor transversale ale corzilor muzicale.
Se construieşte funcţia cu ajutorul seriei şi apoi funcţia u(x, t) cu formula (15).
Construcţia soluţiei problemei (12) se face cu o tehnică diferită numită metoda undelor progresive.
Fără a intra în detalii justificative, vom descrie aici pe scurt construcţia soluţiei problemei (12).
Funcţiile şi se prelungesc prin imparitate pe segmentul :
în continuare, funcţiile şi se prelungesc prin periodicitate (perioada ) la toată axa numerelor reale obţinând funcţiile şi
Funcţia definită prin:
este definită pentru orice şi
Această funcţie verifică ecuaţia are proprietatea
Exerciţii[]
1. O extremitate a unei bare de oţel este fixată, iar asupra celeilalte acţionează o forţă
Să se găsească vibraţiile longitudinale ale barei, după ce forţa încetează să acţioneze.
Să se simuleze vibraţia.
2. O bară elastică de lungime este aşezată vertical şi fixată rigid cu extremitatea superioară de un lift în cădere liberă, care atingând viteza şi se opreşte instantaneu.
Să se găsească vibraţiile longitudinale ale barei, presupunând că extremitatea ei inferioară este liberă.
Să se simuleze vibraţia.
Bibliografie[]
Tihonov, A.; Samarski, A. A. - Ecuaţiile fizicii matematice, Editura tehnică (1956).
![{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}[u_{t}(\xi ,t_{2})-u_{t}(\xi ,t_{1})]\cdot \rho (\xi )d\xi =\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4a5153ba3143b95462619a192dd343f458aa3da5)
![{\displaystyle =\int _{t_{1}}^{t_{2}}[k(x_{2})u_{x}(x_{2},\tau )-k(x_{1})u_{x}(x_{1},\tau )]d\tau +\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(\xi ,\tau )d\tau \!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/513cdfa87460be55e3650dcd91c18ff6a3d36d70)
![{\displaystyle [k(x)\cdot u_{x}]_{x}=\rho \cdot u_{tt}-f(x,t)\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/ba38e2af84036373f077b763fe8331661002dd75)
![{\displaystyle u_{x}(l,t)=-h[u(l,t)-\theta (t)].\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e6df09cea0f9b9d43527b88fd890b9c50862f4d4)
![{\displaystyle u_{x}(0,t)=h[u(0,t)-\theta (t)]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e7412065031b07df9d521714aa3ef6e1c4f7271c)
![{\displaystyle U(x,t)=\mu _{1}(t)+{\frac {x}{l}}[\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/0d5c359f3481330917947a1bea3a709c189740ea)
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}v_{tt}=a^{2}\cdot v_{xx}\\\\v(0,t)=0\\\\v(l,t)=0\\\\v(x,0)=0\\\\v(x,0)=\varphi (x)-\mu _{1}(0)-{\frac {x}{l}}[\mu _{2}(0)-\mu _{1}(0)]\\\\v_{t}(x,0)=\psi (x)-\mu '_{1}(0)-{\frac {x}{l}}[\mu '_{2}(0)-\mu '_{1}(0)]\end{matrix}}\right\}\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4ad33b4f8fc9b59fd7b20f3ac5af4548af3b3c35)
![{\displaystyle [-l,l]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/50de533bae01814024f0db3f5190d954e52bdd2f)
![{\displaystyle u(x,0)=\Phi (x)=\varphi (x),\;\forall x\in [0,l];\;u_{t}(x,0)=\psi (x);\;u(0,t)=0;\;u_{x}(l,t)=0.\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/83a17a5d03ec6a896de4e99d80f97621281c1c62)
