Fandom

Math Wiki

Vibrația longitudinală a unei bare

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile vibraţiilor longitudinale pentru o bară, coardă sau resort au aceeaşi formă.

Să considerăm o bară (subţire) situată pe segmentul (0, l) \! al axei Ox.

Vibraţiile longitudinale pot fi descrise cu o funcţie u(x, t) \! care reprezintă în momentul t deplasarea punctului care în poziţia de echilibru a avut abscisa x. In cazul vibraţiilor longitudinale această deplasare se produce în lungul barei.

Pentru a obţine ecuaţiile vom presupune că tensiunile care apar în acest proces se supun legii lui Hooke.

Considerăm elementul de bară având extremităţile x, x + \Delta x \! în stare de repaus. La momentul t, coordonatele extremităţilor acestui element au valorile:

x + u(x, t); \; x+\Delta x + u(x + \Delta x, t), \!

iar alungirea relativă este:

\frac{\Delta x +u(x+ \Delta x, t) - u(x, t) - \Delta x}{\Delta x} = u_x (x + \theta \cdot \Delta x, t), \; \; 0 \le \theta \le 1. \!

Prin trecere la limită pentru  \Delta x \rightarrow 0 \! obţinem că alungirea relativă în x este dată de u_x(x, t) \! şi în virtutea legii lui Hooke, tensiunea T(x, t) \! este egală cu:

T(x, t) = k(x) \cdot u_x(x, t) \!   (1)

unde k(x) \! este modulul lui Young în punctul x.

Folosind teorema impulsului, obţinem ecuaţia integrală a oscilaţiilor:

\int_{x_1}^{x_2} [u_t(\xi, t_2) - u_t(\xi, t_1)] \cdot \rho (\xi) d \xi = \!
=\int_{t_1}^{t_2} [k(x_2) u_x (x_2, \tau) - k(x_1) u_x(x_1, \tau)] d \tau + \int_{x_1}^{x_2} \int_{t_1}^{t_2} f(\xi, \tau) d \tau  \!   (2)

unde f(x, t) este densitatea de forţe exterioare, raportată la unitatea de lungime.


Dacă presupunem că funcţia u(x, t) \! este de clasă \mathcal C^2 \! atunci aplicând teorema de medie şi trecând la limită pentru \Delta x= x_2-x_1 \rightarrow 0 \! şi \Delta t= t_2-t_1 \rightarrow 0 \! ajungem la ecuaţia diferenţială a vibraţiilor longitudinale a barei:

[k(x) \cdot u_x]_x = \rho \cdot u_{tt}- f(x, t) \!   (3)

Dacă bara este omogenă, această ecuaţie se scrie sub forma:

u_{tt}= a^2 \cdot u_{xx} + F(x, t), \; \; a \sqrt {\frac {k}{\rho}} \!   (4)

unde F(x, t) = \frac{f(x, t)}{\rho} \! este densitatea forţei raportată la unitatea de masă.

Dacă nu avem forţă exterioară, atunci se obţine ecuaţia omogenă:

u_{tt} =a^2 u_{xx} \!   (5)

care descrie vibraţiile libere longitudinale ale unei bare.

Ecuaţia (4) şi (5) pe care o satisface funcţia u(x, t) \! care descrie vibraţia longitudinală a unei bare, în general are o infinitate de soluţii.

Pentru a identifica în mulţimea soluţiilor acea funcţie care descrie vibraţia longitudinală, trebuie să adăugăm condiţii suplimentare.

In cazul unei bare fixate la o extremitate, trebuie îndeplinită "condiţia la limită":

u(0, t) \equiv 0 \; \; (sau \; \; u(l, t) \equiv 0) \!   (6)

Legea de mişcare a extremităţii libere, de obicei, nu este dată. Dacă nu sunt forţe externe la extremitatea liberă, se pune condiţia ca tensiunea să fie zero: T(l, t) = k \cdot \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=l} =0.

Astfel apare condiţia la limită:

u_x(l, t) =0 \; \;   (sau \; \; u_x(0, t) =0) \!   (7)

Dacă extremitatea x=0 \! se mişcă după o lege \mu(t) ,\! iar pentru x=l \! este dată de forţa v(t) \! atunci:

u(0, t) = \mu (t), \; \; u_x(l, t) = \nu(t) \; \; (\nu(t) = \frac 1 k v(t)) \!   (8)

O condiţie tipică este condiţia unei fixări elastice să zicem pentru x=l . \!

k \cdot u_x(l, t) = - \alpha \cdot u(l, t) \!   (9)

sau echivalent:

u_x(l, t) = -h \cdot u(l, t) \; \; (h= \frac{\alpha}{k}) \!   (10)

În acest caz, extremitatea x=l \! se poate deplasa însă forţele elastice de fixare produc în acesta o tensiune care tinde să-l readucă în poziţia iniţială. Rigiditatea fixării este caracterizată de coeficientul \alpha. \! Dacă punctul faţă de care au loc fixarea elastică se mişcă şi devierea lui de la poziţia iniţială este \theta (t) , \! condiţia la limită devine u_x(l, t) = - h[u(l, t) - \theta(t)]. \!

În general, condiţiile la limită la un capăt să zicem x=0 \! sunt de trei tipuri:

  • condiţia la limită de primul tip u(0, t)= \mu (t) \! - regimul dat;
  • condiţia la limită de tipul al doilea u_x(0, t)= \nu (t) \! - forţa dată;
  • condiţia la limită de tipul al treilea u_x(0, t)= h[u(0, t) - \theta (t)] \! - fixare elastică.


În mod analog, se dau condiţiile limită şi la al doilea capăt x=l . \!

Dacă funcţiile \mu(t), \nu(t), \theta(t) \! sunt nule, condiţiile la limită se numesc omogene.

Combinând diferite tipuri de condiţii la limită mai sus enumerate, vom obţine şase tipuri de cele mai simple probleme la limită.

Există condiţii la limită mai complicate de exemplu în cazul unei fixări elastice care nu se supune legii lui Hooke.

Pe lângă condiţiile la limită pentru identificarea soluţiei, se impun şi condiţii iniţiale care sunt similare cu cele întâlnite în cazul vibraţiilor transversale ale corzilor muzicale:

u(0, x) = \varphi(x) \; \; u_t(0, x) = \psi(x) \!   (11)

Astfel problema determinării vibraţiilor longitudinale libere ale unei bare  (0, l) \! care are capătul O fixat şi capătul l liber, revine la determinarea unei funcţii u(x, t) \! care verifică:

\begin{cases} u_{tt} = a^2 \cdot u_{xx} \\ u(0, t) \equiv 0 \\ u_x(l, t) \equiv 0 \\ u(x, 0) = \varphi (x) \\ u_t(x, 0) = \psi (x) \end{cases} \!   (12)

Dacă ambele capete ale barei se mişcă după legi cunoscute, atunci problema determinării vibraţiilor longitudinale revine la determinarea unei funcţii u(x, t) \! care verifică:

\begin{cases} u_{tt} = a^2 \cdot u_{xx} \\ u(0, t) = u_0(t) \\ u_x(l, t) = u_l(t) \\ u(x, 0) = \varphi (x) \\ u_t(x, 0) = \psi (x) \end{cases} \!   (13)

Pentru elucidarea existenţei şi unicităţii soluţiei problemei (12) se introduce funcţia U(x, t) \! definită prin:

U(x, t) = \mu_1(t) + \frac x l [\mu_2(t) - \mu_1 (t)] \!   (14)

şi apoi noua funcţie necunoscută v(x, t) \! definită prin:

v(x, t) = u(x, t) - U(x, t) \!   (15)

Funcţia verifică:

\left. \begin{matrix} v_{tt} = a^2 \cdot v_{xx} \\ \\ v(0, t) = 0 \\ \\  v(l, t) =0 \\ \\ v(x, 0) = 0  \\ \\ v(x, 0)= \varphi(x) - \mu_1(0) - \frac x l [\mu_2(0) - \mu_1(0)] \\ \\ v_t(x, 0)= \psi(x) - \mu'_1(0) - \frac x l [\mu'_2(0) - \mu'_1(0)]  \end{matrix}  \right \}  \!   (16)

Faptul că există o singură funcţie care verifică (16) se arată la fel şi în cazul vibraţiilor transversale ale corzilor muzicale.

Se construieşte funcţia v(x, t) \! cu ajutorul seriei şi apoi funcţia u(x, t) cu formula (15).

Construcţia soluţiei problemei (12) se face cu o tehnică diferită numită metoda undelor progresive. Fără a intra în detalii justificative, vom descrie aici pe scurt construcţia soluţiei problemei (12).

Funcţiile \varphi \! şi  \psi \! se prelungesc prin imparitate pe segmentul [-l, l] \!:

\bar {\varphi} (x) = \begin{cases} \varphi(x),  & 0 < x < l \\ - \varphi (-x), & -l < x < 0 \end{cases} \!


\bar {\psi} (x) = \begin{cases} \psi(x),  & 0 < x < l \\ - \psi (-x), & -l < x < 0 \end{cases} \!

în continuare, funcţiile \bar {\varphi} (x) \! şi \bar {\psi} (x) \! se prelungesc prin periodicitate (perioada 2l \!) la toată axa numerelor reale obţinând funcţiile \Phi(x) \! şi \Psi(x). \!

Funcţia u(x, t) \! definită prin:

u(x, t) = \frac{\Phi(x+at) + \Phi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \Psi(x) dx \!

este definită pentru orice x \in \mathbb R^1 şi t>0 \!

Această funcţie verifică ecuaţia u_{tt} = a^2 u_{xx} \! are proprietatea u(x, 0) = \Phi (x) = \varphi(x), \; \forall x \in [0, l]; \; u_t(x, 0) = \psi(x); \; u(0, t) =0; \; u_x(l, t) = 0. \!

Exerciţii Edit

1. O extremitate a unei bare de oţel este fixată, iar asupra celeilalte acţionează o forţă F_0. \! Să se găsească vibraţiile longitudinale ale barei, după ce forţa încetează să acţioneze. Să se simuleze vibraţia.

2. O bară elastică de lungime l \! este aşezată vertical şi fixată rigid cu extremitatea superioară de un lift în cădere liberă, care atingând viteza v_0 \! şi se opreşte instantaneu. Să se găsească vibraţiile longitudinale ale barei, presupunând că extremitatea ei inferioară este liberă. Să se simuleze vibraţia.

Bibliografie Edit

  • Tihonov, A.; Samarski, A. A. - Ecuaţiile fizicii matematice, Editura tehnică (1956).


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki