Varietate topologică

Definiţie. Se numeşte varietate topologică de dimensiune n un spațiu topologic M care îndeplineşte următoarele trei condiţii:

(i) M este un spațiu topologic Hausdorff (sau, cum se mai spune, verifică axioma de separabilitate $T_2: \!$ două puncte distincte au vecinătăţi disjuncte);

(ii) M are o bază numărabilă de mulţimi deschise;

(iii) M este local euclidian de dimensiune n, ceea ce înseamnă că fiecare punct al său are o vecinătate omeomorfă cu o mulțime deschisă din $\mathbb R^n \!$ (sau, ceea ce este acelaşi lucru, cu întregul $\mathbb R^n \!$).

Definiţie. Dacă M este un spațiu topologic, o hartă de dimensiune n pe M este o pereche $(U, \varphi), \!$ unde $U \subset M \!$ este o submulţime deschisă iar $\varphi : U \rightarrow \mathbb R^n \!$ este un omeomorfism pe imagine.

Aşadar, putem reformula definiţia varietăţii topologice, spunând că M este o varietate topologică de dimensiune n dacă este un spaţiu T2, cu bază numărabilă, astfel încât în jurul fiecărui punct al său există o hartă de dimensiune n.

Cu completările ce vor fi aduse ulterior, o varietate urmează să fie o generalizare naturală a unui spațiu euclidian, un spațiu topologic care, la scară mică, este "identic" cu un spaţiu euclidian, dar la scară mare poate fi complet diferit. După cum se va arăta prin contraexemple, cele trei axiome ale varietăţii topologice sunt independente. A treia axiomă nu le implică pe celelalte două, cel mult numai sub aspect local.

Spaţiile euclidiene au multe proprietăţi topologice, totuşi varietăţile au câteva proprietăţi particulare:

1. Deşi varietăţile nu sunt în general spaţii vectoriale, deci nu le putem înzestra cu structuri de spațiu normat sau spaţiu cu produs scalar, este dezirabil ca ele să posede cel puţin o structură de spaţiu metric, astfel încât să putem determina distanţe. Se ştie din topologia generală că orice spațiu metric este spațiu Hausdorff.

2. Cele două axiome topologice ne asigură existenţa unui aparat, numit partiţie diferenţiabilă a unităţii care ne permite să "lipim" obiecte construite local, pe submulţimi deschise, pentru a construi obiecte globale. Acest aparat este central în demonstrarea foarte multor teoreme de geometrie diferențială globală (cu alte cuvinte, teoreme care descriu varietatea ca întreg, nu comportamentul local, în jurul unui punct).

Exemple

1) O submulţime deschisă $U \subset \mathbb R^n \!$ este, în mod evident, o varietate topologică n-dimensională, deoarece proprietăţile descrise în axiomele (i) şi (ii) sunt ereditare, iar U, fiind deschisă, este o vecinătate pentru fiecare din punctele sale şi este omeomorfă cu ea însăşi, ca deschis din $\mathbb R^n \!$ (omeomorfismul putând fi ales chiar aplicaţia identică). Chiar în cazul în care U se poate identifica, din punct de vedere topologic cu întregul $\mathbb R^n, \!$ din punct de vedere algebric, trebuie să le considerăm distincte, deoarece, în general, U nu are o structură de spațiu vectorial (decât în cazul în care $U \equiv \mathbb R^n \!$).

2) Sfera $S^2, \!$ cu topologia de subspaţiu al lui $\mathbb R^3, \!$ este o varietate topologică de dimensiune 2. În acest caz, sfera nu este omeomorfă cu întregul $\mathbb R^2, \!$ deoarece sfera este compactă, iar $\mathbb R^2 \!$ - nu. Prin urmare, nu putem utiliza aceeaşi vecinătate pentru toate punctele lui $S^2. \!$ Afirmaţii analoage sunt adevărate, după cum ne vom convinge în curând, pentru sfere de dimensiune n, unde n este un întreg cel puţin egal cu 1.

O afirmaţie care se face adesea este aceea că varietăţile sunt generalizări naturale ale curbelor şi suprafețelor din spaţiul intuitiv. Afirmaţia este adevărată, în principiu, dacă sunteţi atenţi la definirea acestora din urmă. Dacă însă înţelegem, de exemplu, prin curbă pur şi simplu suportul unei curbe parametrizate, fără să impunem niciun fel de condiţii (cu excepţia celor de netezime) asupra parametrizării, atunci, în general, o curbă nu este o varietate topologică.

Considerăm exemplul lemniscatei lui Bernoulli, care este suportul curbei parametrizate:

$r(t) = \left ( \frac{\cos t}{1 + \sin^2 t}, \frac {\cos t \sin t}{1 + \sin^2 t} \right ). \!$

Originea axelor de coordonate, care se află pe curbă, nu are nicio vecinatate omeomorfă cu un segment deschis de pe axa reală. Se pune problema găsirii unei vecinătăţi a originii de pe curbă. Aceasta trebuie să fie, dacă e restrânsă suficient, intersecţia dintre curbă şi un disc deschis centrat în origine, deci este o mulţime în formă de cruce.

Vezi şi

• Varietate diferențiabilă

Resurse

• Analiză globală şi geometrie riemanniană (p. 65) (copie la Wikia)
• Wolfram MathWorld
• Manifold Atlas