Fandom

Math Wiki

Varietate diferențiabilă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie. Fie M o varietate topologică. Spunem că două hărţi (U, \varphi) \! şi (V, \psi) \! sunt C^{\infty} -compatibile dacă fie U \cap V = \varnothing, \! fie U \cap V \neq \varnothing, \! iar aplicaţiile \varphi \circ \psi^{-1} \! şi \psi \circ \varphi^{-1} \! sunt difeomorfisme între submulţimile deschise \varphi (U \cap V) \! şi \psi (U \cap V). \!


Definiţie. O structură diferenţiabilă (zisă şi C^{\infty} \! sau netedă) pe o varietate topologică este o familie \mathcal U = \{ (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) \}_{\alpha \in A} \! de hărţi astfel încât următoarele trei condiţii să fi verificate:

(1) \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha} = M \! (altfel spus, familia de deschişi \{ U_{\alpha} \}_{\alpha \in A} \! este o acoperire a spaţiului topologic M);

(2) pentru orice \alpha, \beta \in A, \! hărţile (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) \! şi (U_{\beta}, \varphi_{\beta}) \! sunt C^{\infty} - compatibile;

(3) Orice hartă (V, \psi), \; C^{\infty}- \! compatibilă cu toate hărţile din \mathcal U, \! aparţine lui \mathcal U. \!

Exemple de varietăţi diferenţiabile Edit

Spaţiul euclidian n-dimensional Edit

\mathbb R^n \! are o structură de varietate diferenţiabilă n-dimensională, dată de un atlas cu o singură hartă, aplicaţia identică.

Subvarietăţi deschise Edit

Dacă M este o variatate diferenţiabilă, iar N \subset M \! este o submulţime deschisă a sa, atunci N se poate înzestra în mod natural cu o structură de variatate diferenţiabilă, numită subvariatate deschisă a lui M.[1] Într-adevăr, fie \mathcal A = \{ (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) \}_{\alpha \in A} \! un atlas pe M. Este evident, atunci, că \mathcal B = \{ (U_{\alpha} \cap N, \; \varphi_{\alpha}|_{U_{\alpha} \cap N} \; ) \}_{\alpha \in A} \! este un atlas pe N, care determină structura sa diferenţiabilă. În particular, este clar că orice submulţime deschisă a unui spațiu euclidian este o varietate diferenţiabilă de aceeaşi dimensiune cu spaţiul ambient, posedând un atlas format dintr-o singură hartă, dată de aplicaţia identică.[2]

Varietate diferentiabila 1.png Varietate diferentiabila 2.png Varietate diferentiabila 3.png Varietate diferentiabila 4.png Varietate diferentiabila 5.png Varietate diferentiabila 6.png Varietate diferentiabila 7.png Varietate diferentiabila 8.png Varietate diferentiabila 9.png Varietate diferentiabila 10.png

Note Edit

  1. Se va vedea ulterior că subvarietăţile deschise sunt cazuri particulare ale unor obiecte mai generale, numite subvarietăţi.
  2. Mai precis, această hartă este dată nu de aplicaţia identică a mulţimii deschise, ci de scufundarea canonică a sa în spaţiul ambiant, dar această scufundare nu este altceva decât restricţia aplicaţiei identice a spaţiului euclidian ambient la mulţimea considerată.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki