Fandom

Math Wiki

Unghiul unei drepte cu un plan

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments11 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Unghiul dintre o dreapta si un plan.JPG

Definiţie Edit

Se numeşte unghiul unei drepte d cu un plan \alpha, \! unghiul lui d cu proiecţia ortogonală a lui d pe \alpha. \! Dacă dreapta d este perpendiculară pe un plan, atunci unghiul dintre dreaptă şi plan este unghi drept. Dacă dreapta este paralelă cu un plan sau este conţinută în acel plan, atunci măsura unghiului dintre ea şi plan este nulă şi reciproc.

Măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan este un număr cuprins în intervalul deschis [0^{\circ}, 90^{\circ}]. \!

Proprietăţi Edit

  • Unghiul unei drepte cu un plan este cuprins între 0^{\circ} \! şi 90^{\circ}. \!
  • Unghiul unei drepte cu un plan este cel mai mic dintre unghiurile formate de acea dreaptă cu o dreaptă oarecare a planului.
  • Unghiul dintre o dreaptă şi un plan este complementar unghiului dintre acea dreaptă şi o perpendiculară pe acel plan.

Metode Edit

Determinarea unghiului unei drepte cu un plan poate fi operată prin mai multe metode:

M1) Dacă dreapta d înţeapă planul \alpha \! într-un punct A, se consideră un punct convenabil de pe d, B sau în planul \alpha, \! C a cărui proiecţie pe planul \alpha, \! B_1, \! se poate preciza uşor în contextul problemei (care este proiecţia punctului C_1 \! de pe dreapta d)

M2) Se identifică două puncte distincte pe dreapta d, A şi B ale căror proiecţii pe planul \alpha, \; A_1 \! şi B_1 \! se pot identifica cu uşurinţă.

Şi în rezolvarea acestui tip de probleme se impune parcurgerea unor etape:

(E1). Proiectarea dreptei în plan.

(E2). Precizarea unghiului dintre dreaptă şi plan.

(E3). Determinarea unghiului cu ajutorul elementelor unui triunghi.

Exemple Edit

1) În cubul ABCDA'B'C'D', \! M şi N sunt mijloacele segmentelor (AB) \! respectiv (C'D') \! şi MN= 2a \sqrt 2. \! Să se determine tangenta trigonometrică a unghiului dintre kp şi planul (AA'B). \!

Soluţie.

(E1) Fie P mijloc lui (A'B'). \! Deoarece NP \| B'C' \! şi B'C' \perp (ABB') \; \Rightarrow \; NP \perp (ABB') \; \Rightarrow \; pr_{(ABB')} NM = PM. \!

(E2): \angle (NM; (A'AB)) \equiv \angle (NM; PM) \equiv \angle PMN. \!

(E3): \triangle PMN \ : PN \equiv PM \; \Rightarrow \; \triangle PMN \! este dreptunghic isoscel şi deci:

tg (\angle PMN) = 1 \; \Rightarrow \; tg(\angle (\angle (NM; (A'AB))))=1. \!

2) Se dă cubul ABCDA'B'C'D', \! M mijlocul muchiei (CD) \! şi A'M = 3 cm. \!

Aflaţi: a) măsura unghiului format de dreapta A'M \! cu planul (ABC); \!

b) tangenta trigonometrică a unghiului format de A'M \! cu planul (AA'D). \!

Soluţie. Considerăm muchia cubului x.

a) (E1): Proiecţia lui A'M \! pe planul (ABC) \! este AM. \!

(E2): \angle (A'M; (ABC)) \equiv \angle (A'M; AM) \equiv A'MA. \!

(E3): \triangle A'AM \ : tg(\angle A'MA) = \frac {A'A}{AM} \!   (1)

Cu teorema lui Pitagora în \triangle ADM \; \Rightarrow \; AM^2 = x^2 + \frac {x^2}{4} \!   (2)

Analog în \triangle A'AM \; \Rightarrow \; x=2 \! sau A'A=2 \; \Rightarrow \; AM=5 \! şi tg (\angle A'MA) = \frac{2 \sqrt 5}{5}. \!

b) (E1): Proiecţia lui A'M \! pe planul (ADD') \! este A'D. \!

(E2): \angle (A'M; (ADD')) \equiv \angle (A'M; A'D) \equiv \angle MA'D. \!

(E3): \triangle MDA' \; \Rightarrow \; tg (\angle MA'D) = \frac{\sqrt 2}{4} \; \Rightarrow \; tg(\angle(A'M; (A'DA)))= \frac{\sqrt 2}{4}. \!


Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki