Fandom

Math Wiki

Trigonometrie sferică

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele pînă la obiectele cereşti (Soarele, Luna, planetele, stelele, etc.), acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă; bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti. Pentru scopuri practice imediate (orientare, determinarea timpului, etc.) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru, distanţa pînă la acesta fiind irelevantă. În plus, cea mai evidentă mişcare a aştrilor, mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pământului), susţinând aparenţa cerului sferic.

Din punct de vedere matematic, în măsura în care nu suntem interesaţi de distanţele reale până la aştri, vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator. În acest caz, putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala în mod trivial "direcţiile" din spaţiul tridimensional cu "punctele" acestei sfere. Astfel, formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică.

În cadrul acestei geometrii, "dreptele" sunt înlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei. Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice. Pentru aceasta, vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, formulele lui Gauss, acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii. Aceste formule corespund într-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului.

Triunghiul sferic. Proprietăţi. Formulele lui Gauss Edit

Triunghi sferic.gif

Un cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei. Observaţie: Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei.

Definiţie: Se numeşte triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafaţa unei sfere de trei cercuri mari neconcurente . Evident, trei cercuri de pe suprafaţa unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri. Observaţie: Trei cercuri mari determină pe suprafaţa unei sfere mai multe triunghiuri sferice. Astfel, în figură, atât ABC cât şi A'B'C' dar şi A'BC sau AB'C', sunt triunghiuri sferice.

Măsurile laturilor unui triunghi sferic Edit

Se defineşte măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc mare AB. Evident, aceasta este egală cu unghiul la centru AOB. În mod tradiţional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel: AB=c, AC=b, BC=c.

Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic Edit

Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) şi (OAC).

Observaţie. Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza în punctul de contact, avem că tangentele la cercurile mari AB şi AC în punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB şi OAC. Deci, unghiul unui triunghi sferic se poate măsura şi între tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat. Conform definiţiei, triunghiul sferic este o figură convexă. Aceasta înseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafaţa unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură - aceasta nu face obiectul studiului nostru).

Spre deosebire de cazul plan, pentru un triunghi sferic, suma unghiurilor este întotdeauna mai mare decât 180. Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are (cel puţin!) un unghi drept; el se va numi rectilater dacă are o latură cu măsura de 90. Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) - triunghiul format pe globul terestru de ecuator, meriadianele 0 si 90.

Proprietăţi

Pentru orice triunghi sferic ABC avem:

  • 0< a+b+c< 360^\circ \!
  • a< b+c, \; a-b< c \!
  • 180^\circ < A+B+C< 540^\circ \!
  • A+B< 180^\circ+C, \; A-B> 180^\circ-C \!

Aria triunghiului sferic este dată de:

\mathcal S = \epsilon R^2, \; \epsilon = A + B + C - \pi

unde R este raza sferei, A, B, C sunt în grade, iar \epsilon =  (A + B + C - 180^\circ)  \frac {\pi} {180^\circ} se numeşte exces sferic (măsurat în radiani!).

Demonstraţie. În ceea ce priveşte primele două proprietăţi, având în vedere definiţia mărimilor laturilor triunghiului ABC, demonstraţia se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC. Cea de a treia şi cea de a patra proprietate se vor demonstra în secţiunea următoare, folosind formalismul triunghiurilor polare. Expresia ariei triunghiului sferic face în întregime subiectul celei de a treia secţiuni a acestei lecţii.

Formulele lui Gauss Edit

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafaţa unei sfere de rază R şi să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz şi Ox'y'z' astfel:

  • O este centrul sferei
  • Oz' trece prin B
  • planul Oyz este planul (OAB)
  • Oz trece prin A
  • planul Oy'z' este planul (OAB)

Impunând condiţia ca sistemul de coordonate să fie drept, axele Ox şi Ox' vor fi determinate. Mai mult, cum planele Oyz şi Oy'z' coincid, rezultă că Ox=Ox'. Formulele Gauss- coordonate.gif

Se observă faptul că sistemul Ox'y'z' se obţine din sistemul Oxyz printr-o rotaţie în jurul axei Ox.


Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC, vom adopta următoarea strategie:

  • Scriem coordonatele punctului C în sistemul Oxyz
  • Scriem coordonatele punctului C în sistemul Ox'y'z'
  • Scriem expresia transformării de rotaţie a sistemului Oxyz în Ox'y'z'.


Coordonatele punctului C în Oxyz Edit


\begin{cases}
x_c=R \cos \alpha \cos \beta
\\ 
y_c=R \cos \alpha \sin \beta
\\ 
z_c=R \sin \alpha
\end{cases}

Raportându-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii):

 \alpha = 90^\circ - b \!


\beta = A - 90^\circ \!

şi deci obţinem:


\begin{cases}
x_c=R \sin b \sin A
\\ 
y_c=-R \sin b \cos A 
\\ 
z_c=R \cos b
\end{cases}
  (1)

Coordonatele punctului C în Ox'y'z' :


\begin{cases}
x'_c=R \cos \alpha' \cos \beta'
\\ 
y'_c=R \cos \alpha' \sin \beta' 
\\ 
z'_c=R \sin \alpha'
\end{cases}


În acest caz avem:

\alpha' = 90^\circ - \alpha \!

\beta' = 90^\circ - B \!

Astfel obţinem:


\begin{cases}
x' = x
\\ 
y' = \; \; \; y \cos \gamma + z \sin \gamma
\\ 
z' = \; \; \;  -y \sin \gamma + z \cos \gamma
\end{cases}

Rotaţia în jurul axei Ox Edit

Expresia rotaţiei în planul (Oyz)=(Oy'z') este:


\begin{cases}
x' = x
\\ 
y' =  \; \; \;  y \cos \gamma + z \sin \gamma
\\ 
z' =  \; \; \;  -y \sin \gamma + z \cos \gamma
\end{cases}

Din nou, ne raportăm la elementele triunghiului ABC. Avem:  \gamma = c. \! de unde rezultă imediat:


\begin{cases}
x' = x
\\ 
y' =  \; \; \;  y \cos c + z \sin c
\\ 
z' =  \; \; \;  -y \sin c + z \cos c
\end{cases}
  (3)

Formulele lui Gauss Edit

Din (1), (2) şi (3) obţinem:


\begin{cases}
R \sin a \sin B =  \; \; \;  R \sin b \sin A
\\ 
R \sin a \cos B = -R \sin b \cos A \cos c + R \cos b \cos c
\\ 
R \cos a = R \sin b \cos A \sin c + R \cos b \cos c
\end{cases}

Simplificând cu R şi sciind în ordine inversă obţinem expresia standard a formulelor lui Gauss:


\begin{cases}
\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A
\\ 
\sin a \cos B = \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos A
\\ 
\sin a \sin B = \sin b \sin A
\end{cases}

Prima relaţie se numeşte teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică. Ultima relaţie este teorema sinusurilor, iar cea de a doua formulă se numeşte formula celor cinci elemente. Teorema sinusurilor se poate pune şi sub forma

\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C} \!


Triunghiul polar. Formulele lui Gauss pentru unghiuri Edit

Definiţie. Se numesc poli ai unui cerc mare intersecţiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului în centrul sferei.

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli în sensul definiţiei de mai sus faţă de ecuatorul terestru.

Definiţie. Se numeşte triunghi polar (A'B'C') al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vârfurile triunghiului ABC.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki