FANDOM


Plan osculator
Frenet Frame

Definiţii Edit

Definiţia 1: Se numeşte plan osculator la curba $ \Gamma \! $ în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii $ \vec \tau, \vec n $.

Remarcă: Se demonstrează că planul osculator este poziţia limită a unui plan care trece prin punctele $ M, M_1, M_2 \! $ când $ M_1, M_2 \! $ tind către (pe $ \Gamma \! $) M.


Definiţia 2: Se numeşte plan rectifiant la curba $ \Gamma \! $ în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii $ \vec \tau , \vec b $.

Triedrul lui Frenet

Definiţia 3: Se numeşte triedrul lui Frenet la curba $ \Gamma \! $ în punctul M triedrul format din planul osculator, planul normal şi planul rectifiant în punctul M, precum şi din dreptele de intersecţie ale acestor plane: binormala, tangenta, normala principală.

Să presupunem acum că curba $ \Gamma \! $ este dată parametric:

$ \left\{ \begin{array}{lr} x= x(t) \\ y = y(t) t \in [a, b] \\ z= z (t) \end{array} \right. $

Ne propunem să aflăm ecuaţiile elementelor triedrului lui Frenet în funcţie de t.

Ecuaţiile tangenta şi planul normal sunt deja aflate.

Avem:

$ \vec r = \frac {d \vec r}{ds} = \frac {\overline {r' (t)}}{\frac {ds}{dt}} $


$ \frac{d \tau}{ds} = \frac {\left ( \frac {\overline {r'(t)}}{\frac {ds}{dt}} \right )'_t}{\frac {ds}{dt}}= \frac {\overline {r''(t)} \frac {ds}{dt} - \frac {d^2 s}{dt^2} \overline {r'(t)}}{(\frac {ds}{dt})^3} $

Din ultima egalitate şi prima formulă a lui Frenet rezultă că $ \vec n \! $ este coplanar cu $ \overline {r''(t)} \! $ şi $ \overline {r'(t)} \! $, deci planul osculator este planul determinat de M, $ \overline {r''(t)} \! $ şi $ \overline {r'(t)} \! $, prin urmare ecuaţia sa este:


$ \begin{vmatrix} X-x(t) & Y- y(t) & Z-z(t) \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y''(t) & z''(t) \end{vmatrix} = 0 $     (EPLO)

Din ecuaţia precedentă rezultă ecuaţiile binormalei, ca dreaptă perpendiculară pe planul osculator:

$ \frac {X- x(t)}{\begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t) \end{vmatrix}}=\frac {Y-y(t)}{\begin{vmatrix} z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t) \end{vmatrix}} =\frac {Z-z(t)}{\begin{vmatrix} x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix}} $     (EB)

Planul rectifiant are ca şi normală normala principală:

$ \vec n = \vec b \times \vec \tau $

Din cele de mai sus rezultă că $ \vec n \! $ este paralel cu:

$ \left ( \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right ) \times \overrightarrow {r'(t)} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t) \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t) \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix} \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \end{vmatrix} = $

$ =A \vec i + B \vec j + C \vec k $

Prin urmare, ecuaţia planului rectificant este:

$ A(X-x(t)) + B(Y-y(t)) + C(Z-z(t)) = 0 \! $     (EPR))

Iar ecuaţiile normalei principale sunt:

$ \frac {X-x(t)}{A} = \frac {Y-y(t)}{B} = \frac {Z-z(t)}{C} $     (ENP)


Triedrul lui Frenet Edit

Fie $ \Gamma: \; \vec r = \vec r(t) \! $ o curbă spaţială şi $ M_0 \in \Gamma \! $ un punct regulat şi neinflexinoar.

Definiţie Triedrul Frenet este un triedru mobil de vârf $ M_0 \! $ format din trei plane care trec prin $ M_0 \! $ şi care sunt ortogonale două câteva două.

Triedrul lui Frenet asociat unei curbe spatiale

Triedrul lui Frenet asociat unei curbe spaţiale


Elementele triedrului lui Frenet sunt:


  • Muchiile triedrului Frenet sunt:

- Dreapta tangentă $ T_{M_0} (\Gamma) \! $ dată de $ (M_0, \vec t) $

- Dreapta normală principală $ N_{M_0} (\Gamma) \! $ dată de $ (M_0, \vec n), \! $ fiind drepta de intersecţie dintre planul normal şi planul osculator.

- Dreapta binormală $ B_{M_0} (\Gamma) \! $ dată de $ (M_0, \vec b), $ fiind dreapta perpendiculară pe planul osculator în punctul $ M_0 \! $


  • Feţele triedrului Frenet sunt:

- Planul osculator $ P^O_{M_0} (\Gamma); \! $

- Planul normal $ P^n_{M_0} (\Gamma); \! $

- Planul rectificator notat $ P^r_{M_0} (\Gamma), \! $ fiind planul perpendicular pe normală principală în punctul $ M_0. \! $


Au loc următoarele relaţii:

  • $ \vec t = \dot \vec r (t_0) \! $ este vectorul director al dreptei tangente $ T_{M_0} (\Gamma); \! $
  • $ \vec b = \dot \vec r (t_0) \times \ddot \vec r (t_0) \! $ este vectorul director al dreptei binormale $ B_{M_0} (\Gamma), \! $ fiind vectorul normal planului osculator $ P^O_{M_0} (\Gamma); \! $
  • $ \vec n = \vec b \times \vec t \! $ este vectorul director al normalei principale $ N_{M_0} (\Gamma). \! $


Cunoscând vectorii directori ai muchiilor triedrului Frenet, putem deduce cu uşurinţă ecuaţiile planelor (feţelor) triedrului Frenet, după cum urmează:

  • $ P^n_{M_0} (\Gamma) \! $ este planul determinat de punctul $ M_0 \! $ şi direcţia normală $ \vec t; \! $
  • $ P^O_{M_0} (\Gamma) \! $ este planul determinat de punctul $ M_0 \! $ şi de direcţia normală $ \vec b; \! $
  • $ P^r_{M_0} (\Gamma) \! $ este planul determinat de punctul $ M_0 \! $ şi de direcţia normală $ \vec n. \! $


Dacă curba $ \Gamma \! $ este dată prin ecuaţii parametrice $ \Gamma: \; \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases} \! $ şi $ M_0 (t_0) \in \Gamma \! $ atunci:

$ T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{\dot x(t_0)} = \frac{Y-y(t_0)}{\dot y(t_0)} = \frac{Z-z(t_0)}{\dot z(t_0)} \! $
$ P^n_{M_0} (\Gamma): \; \dot x(t_0) \cdot [X-x(t_0)] + \dot y(t_0) \cdot [Y-y(t_0)] + \dot z(t_0) \cdot [Z-z(t_0)] =0 \! $
$ B_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{A} = \frac{Y-y(t_0)}{B} = \frac{Z-z(t_0)}{C} \! $
$ P^O_{M_0}: \; A \cdot [X-x(t_0)]+B \cdot [Y-y(t_0)]+C \cdot [Z-z(t_0)] =0 \! $
$ N_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{l}=\frac{Y-y(t_0)}{m}=\frac{Z-z(t_0)}{n} \! $
$ P_{M_0}^r : \; l \cdot [X-x(t_0)]+m \cdot [Y-y(t_0)]+n \cdot [Z-z(t_0)] =0 \! $

unde $ A, B, C \! $ sunt componentele scalare ale vectorului

$ \vec b = \dot \vec r (t_0) \times \ddot \vec r(t_0) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{vmatrix} \! $

iar $ l, m, n \! $ sunt componentele scalare ale vectorului:

$ \vec n = \vec b \times \vec t = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ A & B & C \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \end{vmatrix} \! $

Reperul Frenet Edit

Definiţie. Reperul Frenet este un reper ortonormat mobil, având originea în punctul $ M_0 \in \Gamma, \! $ iar vectorii unitari sunt cei ce definesc direcţiile muchiilor triedrului Frenet: direcţia tangentei, direcţia normalei principale şi direcţia binormalei.


Notând cu $ \vec t^0 \! $ versorul tangentei, $ \vec n^0 \! $ versorul normalei principale şi cu $ \vec b^0 \! $ versorul binormalei, reperul lui Frenet poate fi scris astfel: $ \mathcal R_F = \{ M_0; \vec t^0, \vec n^0, \vec b^0 \}. \! $[1]


Fie $ M_0(t_0) \in \Gamma \! $ un punct regular şi neinflexionar al curbei. Obţinem versorul tangentei:

$ \vec t^0 = \frac{\vec t}{\|\vec t\|} = \frac{\dot \vec r(t_0)}{\|\dot \vec r(t_0)\|} = \frac{\dot x(t_0) \vec i+\dot y(t_0) \vec j +\dot z(t_0) \vec k}{\sqrt{[\dot x(t_0) ]^2+[\dot y(t_0)]^2 +[\dot z(t_0) ]^2}}=\left . \frac{d \vec r}{ds} \right |_{t_0} \! $


Versoru binormalei este:

$ \vec b^0 = \frac{\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r (t_0)}{\|\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r (t_0)\|} = \frac{A \cdot \vec i + B \cdot \vec j + C \cdot \vec k}{A^2+B^2+C^2} \! $


Pentru a deduce formula versorului binormalei $ \vec b^0 \! $ în funcţie de derivatele cu s ale funcţiei $ \vec r, \! $ vom utiliza următoarele relaţii:

$ \|\vec t^0\|=\| \frac{d \vec r}{ds} \| \; \Rightarrow \; \mathcal h \frac{d \vec r}{ds}, \frac{d \vec r}{ds} \mathcal i =1 \; \Rightarrow \; \mathcal h \frac{d \vec r}{ds}, \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \mathcal i =0 \; \Rightarrow \; \frac{d \vec r}{ds} \perp \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \! $
$ \dot \vec r = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \! $
$ \ddot \vec r = \frac{d}{dt} \dot \vec r = \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \cdot \left ( \frac{ds}{dt} \right )^2 + \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac{d^2 s}{dt^2} \! $

Din aceste relaţii rezultă că:

$ \dot \vec r \times \ddot \vec r = \left ( \frac{ds}{dt} \right )^3 \cdot \left ( \frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \right ) \! $

deci:

$ \vec b^0 = \frac{\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r(t_0)}{\|\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r(t_0)\|} = \left . \frac{\frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2}}{\|\frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2}\|} \right |_{t_0} = \left . \frac{\frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2}}{\|\frac{d^2 \vec r}{ds^2}\|} \right |_{t_0} \! $


Versorul normalei principale este:

$ \vec n^0 = \frac{\vec n}{\|\vec n\|} = \frac{l \cdot \vec i + m \cdot \vec j + n \cdot \vec k}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} = \left . \frac{\frac{d^2 \vec r}{ds^2}}{\|\frac{d^2 \vec r}{ds^2}\|} \right |_{t_0} \! $

Aplicaţie Edit

Să determinăm triedrul lui Frenet al elicei de ecuaţii parametrice:

$ x = a \cos t \! $
$ y= a \sin t \; \; t \in \mathbb R \! $
$ z= ht \! $


Rezolvare. Prin derivare se obţine:

$ \vec r' (t) = (-a \sin t) \vec i + a \cos t \vec j + h \vec k. \! $

Ecuaţiile tangentei sunt:

$ (T): \; \frac{x-a \cos t}{-a \sin t}= \frac{y-a \sin t}{a \cos t}= \frac{z-ht}{h}. \! $

Versorul $ \vec \tau \! $ este dat de:

$ \vec {\tau} = \frac{\vec r' (t)}{\| \vec r'(t) \|} = \frac{1}{\sqrt {a^2 + h^2}} (-a \sin t \vec i + a \cos t \vec j + h \vec k). \! $

Planul normal $ (\Pi_N \perp \vec {\tau}) \! $ are ecuaţia:

$ \Pi_N: \; -a \sin t(x-a \cos t) + a \cos t (y-a \sin t) + h(z-ht) =0. \! $

Pentru versorul $ \vec {\beta} \! $ se calculează $ \vec r'(t) = (-a \cos t) \vec i + (-a \sin t) \vec j. \! $

Deci:

$ \vec r' \times \vec r'' = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -a \sin t & a \cos t & h \\ -a \sin t & a \cos t & h \\ -a \cos t & -a \sin t & 0 \end{vmatrix} = ah \sin t \vec i - ah \cos t \vec j + a^2 \vec k. \! $

În concluzie,

$ \vec {\beta} = \frac {\vec r' \times \vec r''}{\|\vec r' \times \vec r''\|} = \frac{1}{\sqrt{a^2+ h^2}} (h \sin t \vec i - h \cos t \vec j + \vec k). \! $

Ecuaţiile binormalei (de direcţie $ \vec {\beta} \! $) sunt:

$ (B): \; \frac{x-a \cos t}{h \sin t}= \frac{y-a \sin t}{-h \cos t}= \frac{z-ht}{a}. \! $

Planul osculator $ (\Pi_O \perp \vec {\beta}) \! $ are ecuaţia:

$ \Pi_O: \; h \sin t(x -a \cos t) - h \cos t (y-a \cos t) +a(z-ht) = 0. \! $

Pentru versorul normalei principale $ \vec {\gamma} = \vec {\beta} \times \vec {\tau} \! $ se obţine:

$ \vec {\gamma} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{h \sin t}{\sqrt{h^2 + a^2}} & \frac{-h \cos t}{\sqrt{h^2 + a^2}} & \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} \\ \frac{-a \sin t}{\sqrt{h^2 + a^2}} & \frac{a \cos t}{\sqrt{h^2 + a^2}} & \frac{h}{\sqrt{h^2 + a^2}} \end{vmatrix} = \cos t \vec i - \sin t \vec j. \! $

Ecuaţiile normalei principale (de direcţie $ \vec {\gamma} \! $) sunt:

$ N_P: \; \frac{x-a \cos t}{\cos t}=\frac{y-a \sin t}{-\sin t}=\frac{z-ht}{0}. \! $

Planul rectificant $ (\Pi_R \perp \vec{\gamma}) \! $ este de ecuaţie:

$ \Pi_R: \; \cos t (x-a \cos t) - \sin t (y-a \sin t)=0. \! $

Note Edit

  1. Versorul vectorului $ \vec v \! $ e dat de $ \vec v^0 = \frac{\vec v}{\| \vec v\|}. \! $

Resurse Edit

Vezi şi Edit