Fandom

Math Wiki

Triedrul lui Frenet

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Plan osculator.png
Frenet Frame.png

Definiţii Edit

Definiţia 1: Se numeşte plan osculator la curba \Gamma \! în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii \vec \tau, \vec n.

Remarcă: Se demonstrează că planul osculator este poziţia limită a unui plan care trece prin punctele M, M_1, M_2 \! când M_1, M_2 \! tind către (pe \Gamma \!) M.


Definiţia 2: Se numeşte plan rectifiant la curba \Gamma \! în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii \vec \tau , \vec b.

Triedrul lui Frenet.png

Definiţia 3: Se numeşte triedrul lui Frenet la curba \Gamma \! în punctul M triedrul format din planul osculator, planul normal şi planul rectifiant în punctul M, precum şi din dreptele de intersecţie ale acestor plane: binormala, tangenta, normala principală.

Să presupunem acum că curba \Gamma \! este dată parametric:


\left\{ \begin{array}{lr}
x=  x(t)
\\
y = y(t) t \in [a, b]
\\
z= z (t)
\end{array} \right.

Ne propunem să aflăm ecuaţiile elementelor triedrului lui Frenet în funcţie de t.

Ecuaţiile tangenta şi planul normal sunt deja aflate.

Avem:

\vec r = \frac {d \vec r}{ds} = \frac {\overline {r' (t)}}{\frac {ds}{dt}}


\frac{d \tau}{ds} = \frac {\left ( \frac {\overline {r'(t)}}{\frac {ds}{dt}}  \right )'_t}{\frac {ds}{dt}}= \frac {\overline {r''(t)} \frac {ds}{dt} - \frac {d^2 s}{dt^2} \overline {r'(t)}}{(\frac {ds}{dt})^3}

Din ultima egalitate şi prima formulă a lui Frenet rezultă că \vec n \! este coplanar cu \overline {r''(t)} \! şi \overline {r'(t)} \!, deci planul osculator este planul determinat de M, \overline {r''(t)} \! şi \overline {r'(t)} \!, prin urmare ecuaţia sa este:



\begin{vmatrix}
X-x(t) & Y- y(t) & Z-z(t) \\
x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y''(t) & z''(t)
\end{vmatrix}
= 0     (EPLO)

Din ecuaţia precedentă rezultă ecuaţiile binormalei, ca dreaptă perpendiculară pe planul osculator:

\frac {X- x(t)}{\begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t) \end{vmatrix}}=\frac {Y-y(t)}{\begin{vmatrix}  z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t) \end{vmatrix}} =\frac {Z-z(t)}{\begin{vmatrix}  x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix}}     (EB)

Planul rectifiant are ca şi normală normala principală:

\vec n = \vec b \times \vec \tau

Din cele de mai sus rezultă că \vec n \! este paralel cu:

\left (  \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right ) \times \overrightarrow {r'(t)} = \begin{vmatrix}  \vec i & \vec j & \vec k \\ \begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t)  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}  z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t)  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}  x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix} \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \end{vmatrix} =

=A \vec i + B \vec j + C \vec k

Prin urmare, ecuaţia planului rectificant este:

A(X-x(t)) + B(Y-y(t)) + C(Z-z(t)) = 0 \!     (EPR))

Iar ecuaţiile normalei principale sunt:

\frac {X-x(t)}{A} = \frac {Y-y(t)}{B} = \frac {Z-z(t)}{C}     (ENP)


Triedrul lui Frenet Edit

Fie \Gamma: \; \vec r = \vec r(t) \! o curbă spaţială şi M_0 \in \Gamma \! un punct regulat şi neinflexinoar.

Definiţie Triedrul Frenet este un triedru mobil de vârf M_0 \! format din trei plane care trec prin M_0 \! şi care sunt ortogonale două câteva două.

Triedrul lui Frenet asociat unei curbe spatiale.png

Triedrul lui Frenet asociat unei curbe spaţiale


Elementele triedrului lui Frenet sunt:


  • Muchiile triedrului Frenet sunt:

- Dreapta tangentă T_{M_0} (\Gamma) \! dată de (M_0, \vec t)

- Dreapta normală principală N_{M_0} (\Gamma) \! dată de (M_0, \vec n), \! fiind drepta de intersecţie dintre planul normal şi planul osculator.

- Dreapta binormală B_{M_0} (\Gamma) \! dată de (M_0, \vec b), fiind dreapta perpendiculară pe planul osculator în punctul M_0 \!


  • Feţele triedrului Frenet sunt:

- Planul osculator P^O_{M_0} (\Gamma); \!

- Planul normal P^n_{M_0} (\Gamma); \!

- Planul rectificator notat P^r_{M_0} (\Gamma), \! fiind planul perpendicular pe normală principală în punctul M_0. \!


Au loc următoarele relaţii:

  • \vec t = \dot \vec r (t_0) \! este vectorul director al dreptei tangente T_{M_0} (\Gamma); \!
  • \vec b = \dot \vec r (t_0) \times \ddot \vec r (t_0) \! este vectorul director al dreptei binormale B_{M_0} (\Gamma), \! fiind vectorul normal planului osculator P^O_{M_0} (\Gamma); \!
  • \vec n = \vec b \times \vec t \! este vectorul director al normalei principale N_{M_0} (\Gamma). \!


Cunoscând vectorii directori ai muchiilor triedrului Frenet, putem deduce cu uşurinţă ecuaţiile planelor (feţelor) triedrului Frenet, după cum urmează:

  • P^n_{M_0} (\Gamma) \! este planul determinat de punctul M_0 \! şi direcţia normală \vec t; \!
  • P^O_{M_0} (\Gamma) \! este planul determinat de punctul M_0 \! şi de direcţia normală \vec b; \!
  • P^r_{M_0} (\Gamma) \! este planul determinat de punctul M_0 \! şi de direcţia normală \vec n. \!


Dacă curba \Gamma \! este dată prin ecuaţii parametrice \Gamma: \; \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases} \! şi M_0 (t_0) \in \Gamma \! atunci:

T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{\dot x(t_0)} = \frac{Y-y(t_0)}{\dot y(t_0)} = \frac{Z-z(t_0)}{\dot z(t_0)} \!
P^n_{M_0} (\Gamma): \; \dot x(t_0) \cdot [X-x(t_0)] + \dot y(t_0) \cdot [Y-y(t_0)] + \dot z(t_0) \cdot [Z-z(t_0)] =0 \!
B_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{A} = \frac{Y-y(t_0)}{B} = \frac{Z-z(t_0)}{C} \!
P^O_{M_0}: \; A \cdot [X-x(t_0)]+B \cdot [Y-y(t_0)]+C \cdot [Z-z(t_0)] =0  \!
N_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{l}=\frac{Y-y(t_0)}{m}=\frac{Z-z(t_0)}{n} \!
P_{M_0}^r : \; l \cdot [X-x(t_0)]+m \cdot [Y-y(t_0)]+n \cdot [Z-z(t_0)] =0 \!

unde A, B, C \! sunt componentele scalare ale vectorului

\vec b = \dot \vec r (t_0) \times \ddot \vec r(t_0) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{vmatrix} \!

iar l, m, n \! sunt componentele scalare ale vectorului:

\vec n = \vec b \times \vec t = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ A & B & C \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \end{vmatrix} \!

Reperul Frenet Edit

Definiţie. Reperul Frenet este un reper ortonormat mobil, având originea în punctul M_0 \in \Gamma, \! iar vectorii unitari sunt cei ce definesc direcţiile muchiilor triedrului Frenet: direcţia tangentei, direcţia normalei principale şi direcţia binormalei.


Notând cu \vec t^0 \! versorul tangentei, \vec n^0 \! versorul normalei principale şi cu \vec b^0 \! versorul binormalei, reperul lui Frenet poate fi scris astfel: \mathcal R_F = \{ M_0; \vec t^0, \vec n^0, \vec b^0 \}. \![1]


Fie M_0(t_0) \in \Gamma \! un punct regular şi neinflexionar al curbei. Obţinem versorul tangentei:

\vec t^0 = \frac{\vec t}{\|\vec t\|} = \frac{\dot \vec r(t_0)}{\|\dot \vec r(t_0)\|} = \frac{\dot x(t_0) \vec i+\dot y(t_0) \vec j +\dot z(t_0) \vec k}{\sqrt{[\dot x(t_0) ]^2+[\dot y(t_0)]^2 +[\dot z(t_0) ]^2}}=\left . \frac{d \vec r}{ds} \right |_{t_0} \!


Versoru binormalei este:

\vec b^0 = \frac{\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r (t_0)}{\|\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r (t_0)\|} = \frac{A \cdot \vec i + B \cdot \vec j + C \cdot \vec k}{A^2+B^2+C^2} \!


Pentru a deduce formula versorului binormalei \vec b^0 \! în funcţie de derivatele cu s ale funcţiei \vec r, \! vom utiliza următoarele relaţii:

\|\vec t^0\|=\| \frac{d \vec r}{ds} \| \; \Rightarrow \; \mathcal h  \frac{d \vec r}{ds}, \frac{d \vec r}{ds} \mathcal i =1 \; \Rightarrow \; \mathcal h  \frac{d \vec r}{ds}, \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \mathcal i =0 \; \Rightarrow \; \frac{d \vec r}{ds} \perp \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \!
\dot \vec r = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \!
\ddot \vec r = \frac{d}{dt} \dot \vec r = \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \cdot \left ( \frac{ds}{dt} \right )^2 + \frac{d \vec r}{ds} \cdot \frac{d^2 s}{dt^2} \!

Din aceste relaţii rezultă că:

\dot \vec r \times \ddot \vec r = \left ( \frac{ds}{dt} \right )^3 \cdot \left ( \frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2} \right ) \!

deci:

\vec b^0 = \frac{\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r(t_0)}{\|\dot \vec r(t_0) \times \ddot \vec r(t_0)\|} = \left . \frac{\frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2}}{\|\frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2}\|} \right |_{t_0} =  \left . \frac{\frac{d \vec r}{ds} \times \frac{d^2 \vec r}{ds^2}}{\|\frac{d^2 \vec r}{ds^2}\|} \right |_{t_0} \!


Versorul normalei principale este:

\vec n^0 = \frac{\vec n}{\|\vec n\|} = \frac{l \cdot \vec i + m \cdot \vec j + n \cdot \vec k}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} = \left . \frac{\frac{d^2 \vec r}{ds^2}}{\|\frac{d^2 \vec r}{ds^2}\|} \right |_{t_0} \!

Aplicaţie Edit

Să determinăm triedrul lui Frenet al elicei de ecuaţii parametrice:

x = a \cos t \!
y= a \sin t  \; \;  t \in \mathbb R \!
z= ht \!


Rezolvare. Prin derivare se obţine:

\vec r' (t) = (-a \sin t) \vec i + a \cos t \vec j + h \vec k. \!

Ecuaţiile tangentei sunt:

(T): \; \frac{x-a \cos t}{-a \sin t}= \frac{y-a \sin t}{a \cos t}= \frac{z-ht}{h}. \!

Versorul \vec \tau \! este dat de:

\vec {\tau} = \frac{\vec r' (t)}{\| \vec r'(t) \|} = \frac{1}{\sqrt {a^2 + h^2}} (-a \sin t \vec i + a \cos t \vec j + h \vec k). \!

Planul normal (\Pi_N \perp \vec {\tau}) \! are ecuaţia:

\Pi_N: \; -a \sin t(x-a \cos t) + a \cos t (y-a \sin t) + h(z-ht) =0. \!

Pentru versorul \vec {\beta} \! se calculează \vec r'(t) = (-a \cos t) \vec i + (-a \sin t) \vec j. \!

Deci:

\vec r' \times \vec r'' = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -a \sin t & a \cos t & h \\ -a \sin t & a \cos t & h \\ -a \cos t & -a \sin t & 0  \end{vmatrix} = ah \sin t \vec i - ah \cos t \vec j + a^2 \vec k. \!

În concluzie,

\vec {\beta} = \frac {\vec r' \times \vec r''}{\|\vec r' \times \vec r''\|} = \frac{1}{\sqrt{a^2+ h^2}} (h \sin t \vec i - h \cos t \vec j + \vec k). \!

Ecuaţiile binormalei (de direcţie \vec {\beta} \!) sunt:

(B): \; \frac{x-a \cos t}{h \sin t}= \frac{y-a \sin t}{-h \cos t}= \frac{z-ht}{a}. \!

Planul osculator (\Pi_O \perp \vec {\beta}) \! are ecuaţia:

\Pi_O: \; h \sin t(x -a \cos t) - h \cos t (y-a \cos t) +a(z-ht) = 0. \!

Pentru versorul normalei principale \vec {\gamma} = \vec {\beta} \times \vec {\tau} \! se obţine:

\vec {\gamma} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{h \sin t}{\sqrt{h^2 + a^2}} & \frac{-h \cos t}{\sqrt{h^2 + a^2}}  & \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} \\ \frac{-a \sin t}{\sqrt{h^2 + a^2}} & \frac{a \cos t}{\sqrt{h^2 + a^2}}  & \frac{h}{\sqrt{h^2 + a^2}}  \end{vmatrix} = \cos t \vec i - \sin t \vec j.  \!

Ecuaţiile normalei principale (de direcţie \vec {\gamma} \!) sunt:

N_P: \; \frac{x-a \cos t}{\cos t}=\frac{y-a \sin t}{-\sin t}=\frac{z-ht}{0}. \!

Planul rectificant (\Pi_R \perp \vec{\gamma}) \! este de ecuaţie:

\Pi_R: \; \cos t (x-a \cos t) - \sin t (y-a \sin t)=0. \!

Note Edit

  1. Versorul vectorului \vec v \! e dat de \vec v^0 = \frac{\vec v}{\| \vec v\|}. \!

Resurse Edit

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki