Fandom

Math Wiki

Tratat de calcul vectorial/Spațiul euclidian/Produs scalar, distanță

< Tratat de calcul vectorial | Spațiul euclidian

1.030pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share
1.2 Produs scalar, lungime, distanţă


Produsul scalar

Considerăm vectorii \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3 şi dorim să determinăm unghiul dintre aceştia adică unghiul \theta format de direcţiile acestora în planul determinat de vectori.

Dacă \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k şi \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k atunci definim produsul scalar dintre cei doi vectori, notat \mathbf a \cdot \mathbf b, ca fiind:

\mathbf a \cdot \mathbf b= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

Unghiul theta dintre doi vectori.PNG

Observaţii.

1) Rezultatul produsului scalar este un scalar, de unde şi denumirea.

2) Produsul scalar dintre \mathbf a şi \mathbf b mai poate fi notat şi (\mathbf a, \mathbf b).


Exemplu. Calculaţi (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j).

Soluţie. (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j)= (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (0 \mathbf i -2 \mathbf j +3 \mathbf k) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3= -5.


Proprietăţile produsului scalar rezultă chiar din definiţie. Astfel, dacă \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbb R^3 şi \alpha, \beta \in \mathbb R atunci:

(i)   \mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0;

\mathbf a \cdot \mathbf a = 0; dacă şi numai dacă \mathbf a = \mathbf 0.

(ii)   (\alpha \mathbf a ) \cdot \mathbf b = \alpha (\mathbf a  \cdot \mathbf b)   şi    \mathbf a  \cdot ( \beta \mathbf b )= \beta (\mathbf a  \cdot \mathbf b)

(iii)   \mathbf a \cdot (\mathbf b \cdot \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c   şi   (\mathbf a + \mathbf b) \cdot \mathbf c= \mathbf a \cdot \mathbf c + \mathbf b \cdot \mathbf c.

(iv)   \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a.


Pentru a demonstra prima proprietate, se va observa că dacă \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, atunci \mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_3^2. Deoarece a_1, a_2, a_3 \in \mathbb R avem a_1^2 \ge 0, \; a_2 \ge o, \; a_3 \ge 0 şi deci \mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0. Mai departe, dacă a_1^2 + a_2^2 + a_3^2=0, atunci a_1=a_2=a_3=0 deci \mathbf = \mathbf 0 (vector nul).

Celelalte proprietăţi sunt uşor de demonstrat.

Din teorema lui Pitagora rezultă că lungimea vectorului \mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k este \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Lungimea unui vector \mathbf a se notează \| \mathbf a \|, cantitate care mai este numită şi norma lui \mathbf a.

Deoarece \mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 rezultă că:

\| \mathbf a \| = (\mathbf a \cdot \mathbf a)^{1/2}.

Pentru calculul lungimii unui vector.PNG


Vectorii cu norma 1 sunt numiţi vectori unitari. Astfel de vectori sunt \mathbf i, \mathbf j \mathbf k. Se remarcă faptul că, pentru orice vector nenul \mathbf a, vectorul \mathbf a / \| \mathbf a \| este vector unitar, numit vectorul \mathbf a, normalizat.


Exemple.

1) Să se normalizeze vectorul \mathbf v = 2 \mathbf i + 3 \mathbf j - \frac 12 \mathbf k.

2) Să se găsească trei vectori unitari \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c în plan astfel încât \mathbf b + \mathbf c = \mathbf a.

Soluţie.

1) Avem \| \mathbf v \| = \sqrt {2^2 + 3^2+ (1/2)^2} = (1/2) \sqrt {53}, deci normalizarea lui \mathbf v este:

\mathbf u = \frac {1}{\| \mathbf v \|} \mathbf v = \frac {4}{\sqrt {53}} \mathbf i + \frac {6}{\sqrt {53}} \mathbf j - \frac {1}{\sqrt {53}} \mathbf k.

2)

Deoarece cei trei vectori au lungimea 1, triunghiul cu laturile \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c este echilateral. Orientăm triunghiul ca în figură astfel încât \mathbf a = \mathbf i şi deci

\mathbf b= \frac 12 \mathbf i + \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j, \; \mathbf c= \frac 12 \mathbf i - \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j.

Triunghi format din vectori unitari.PNG


În plan, vectorul unitar care formează unghiul \theta cu axa Ox este:

\mathbf i_{\theta} = (\cos \theta) \mathbf i + (\sin \theta) \mathbf j.

Vectorul i(theta).PNG


Distanţa

Dacă \mathbf a, \mathbf b sunt vectori, atunci vectorul \mathbf b- \mathbf a este paralel şi are modulul egal cu lungimea segmentului determinat de extremităţile vectorilor \mathbf a, \mathbf b. Deci această distanţă este \| \mathbf b- \mathbf a \|.

Distanta dintre vectorii a, b.PNG


Rezumat

Dacă \mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b= b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k , produsul scalar al acestora este:

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,

iar lungimea lui \mathbf a este:

\|  \mathbf a \| = \sqrt {\mathbf a \cdot \mathbf a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.

Pentru a normaliza vectorul \mathbf a se formează vectorul   \frac {\mathbf a}{\| \mathbf a \|}.

Distanţa dintre extremităţile vectorilor \mathbf a, \mathbf b   este   \| \mathbf a - \mathbf b \|, iar distanţa dintre P, Q   este   \overrightarrow {PQ}.


Unghiul dintre doi vectori

Teorema 1. Fie vectorii \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3 şi fie \theta \in [0, \pi] unghiul dintre vectori. Atunci

\mathbf a \cdot \mathbf b= \| \mathbf a \| \cdot \| \mathbf b \| \cdot \cos \theta.

Rezultă că, dacă vectorii \mathbf a, \mathbf b sunt nenuli, unghiul dintre aceştia este:

\theta = \arccos \left ( \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{\|  \mathbf a \| \| \mathbf b \|} \right )


Demonstraţie. Se aplică teorema cosinusurilor pentru triunghiul cu vârful în
origine şi celelalte vârfuri în extremităţile vectorilor:

\| \mathbf b - \mathbf a \| ^2 = \| \mathbf a \| ^2 + \| \mathbf b \| ^2 - 2  \| \mathbf a \|  \| \mathbf b \| \cos \theta.

Unghiul dintre doi vectori.PNG

Deoarece \| \mathbf b - \mathbf a \|^2 = (\mathbf b - \mathbf a) \cdot  ( \mathbf b - \mathbf a ) , \; \| \mathbf a \|^2 = \mathbf a \cdot \mathbf a, \; \| \mathbf b \|^2 = \mathbf b \cdot \mathbf b putem să scriem:

(\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) =  \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.


Putem de asemenea să dezvoltăm (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) după cum urmează:

 (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) = \mathbf b \cdot (\mathbf a - \mathbf a) - \mathbf a \cdot (\mathbf a - \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b.

Deci

\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta,

ceea ce înseamnă că:

\mathbf a \cdot \mathbf b = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.


Exemplu. Să se determne unghiul dintre vectorii \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k şi \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k.


Soluţie. Conform teoremei 1 avem

(\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k )  \cdot (\mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) =

= \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \|  \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \| \cos \theta,

deci:

1+1-1 = \sqrt 3 \sqrt 3 \cos \theta,

de unde \cos \theta = \frac 13,

ceea ce înseamnă că:

\theta = \arccos \frac 13 \approx 1,23 \; rad \; (71^{\circ}).
Unghiul dintre vectori (exemplu).PNG

Reprezentarea geometrică a diferenţei a doi vectori


Inegalitatea Cauchy-Schwarz

O consecinţă importantă a teoremei 1 este:


Corolar: Inegalitatea Cauchy-Schwarz. Pentru orice doi vectori \mathbf a, \mathbf b avem:

|\mathbf a \cdot \mathbf b| \le \| \mathbf a \| \| \mathbf b \|

cu egalitate dacă şi numai dacă \mathbf a este multiplu scalar de \mathbf b sau unul dintre cei doi vectori este nul.


Demonstraţie. Dacă \mathbf a nu este multiplu scalar de \mathbf b, atunci \theta , unghiul dintre vectori nu este zero sau \pi deci | \cos \theta | <1 şi are loc inegalitatea. În caz contrar, \theta \in \{ 0, \pi  \} şi are loc egalitatea.


Consecinţă. Dându-se doi vectori nenuli, produsul scalar al acestora este zero dacă şi numai dacă vectorii sunt perpendiculari (ortogonali).

Vectorii bazei standard, \mathbf i, \mathbf j , \mathbf k, sunt ortogonali între ei şi de lungime unitară. Un astfel de sistem se numeşte ortonormat. Se adoptă convenţia ca vectorul nul să fie ortogonal cu orice vector.


Exemplu. Vectorii \mathbf i_{\theta}= \mathbf i \cos \theta + \mathbf j \sin \theta şi \mathbf j_{\theta}= - \mathbf i \sin \theta + \mathbf j \cos \theta sunt ortogonali deoarece:

\mathbf i_{\theta} \cdot \mathbf j_{\theta} = - \cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta = 0.
Vectorii i(theta) şi j(theta0.PNG


Exemplu. Fie \mathbf a, \mathbf b doi vectori nenuli ortogonali. Dacă \mathbf c este un vector situat în planul determinat de \mathbf a, \mathbf b atunci există scalarii \alpha, \beta \in \mathbb R astfel încât \mathbf c = \alpha \mathbf a + \beta \mathbf b. Utilizaţi produsul scalar pentru determinarea lui \alpha, \beta .

Determinarea lui alpha şi beta pentru un unghi.PNG

Soluţie. Avem:

\mathbf a \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot (\alpha \mathbf a + \beta \mathbf b) = \alpha \mathbf a \cdot \mathbf a + \beta \mathbf a \cdot \mathbf b.

Deoarece \mathbf a, \mathbf b sunt ortogonali, \mathbf a \cdot \mathbf b =0 şi deci:

\alpha = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\mathbf a \cdot \mathbf a} = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\| \mathbf a \|^2}.

În mod similar:

\beta = \frac {\mathbf b \cdot \mathbf c}{\|  \mathbf b \|^2}.



Proiecţie ortogonală

În exemplul precedent, vectorul \alpha \mathbf a se numeşte proiecţia lui \mathbf c de-a lungul lui \mathbf a, iar \beta \mathbf b este proiecţia acestuia de-a lungul lui \mathbf b.

Să generalizăm ideea: Dacă \mathbf v este un vector şi l este o dreaptă care trece prin originea acestuia şi are direcţia vectorului \mathbf a, atunci proiecţia ortogonală a lui \mathbf v pe \mathbf a este vectorul \mathbf p al cărui vârf se obţine ducând pe l perpendiculara din vârful lui \mathbf v.

Proiectia ortogonala a unui vector.PNG

În figură se observă că:

\mathbf v = c \mathbf a + \mathbf q,

unde \mathbf p= c \mathbf a şi \mathbf a \cdot \mathbf q =0.

Rezultă \mathbf a \cdot \mathbf v = c \mathbf a \cdot \mathbf a şi deci c= \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\mathbf a \cdot \mathbf a}, de unde:

\mathbf p = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\| a \|^2} \mathbf a.

Lungimea vectorului \mathbf p este:

\| \mathbf p \| = \frac {|\mathbf a \cdot \mathbf v|}{\| \mathbf a \|^2} \| \mathbf a \| = \frac {|\mathbf a \cdot \mathbf v|}{\| \mathbf a \|} = \| \mathbf v \| \cos \theta.

Proiecţia ortogonală. Proiecţia ortogonală a lui \mathbf v pe \mathbf a este vectorul:

\mathbf p = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\| \mathbf a \|^2} \mathbf a.


Exemplu. Să se determine proiecţia ortogonală a lui \mathbf i + \mathbf j pe \mathbf i -2 \mathbf j.

Soluţie. Dacă \mathbf a= \mathbf i -2 \mathbf j şi \mathbf v= \mathbf i + \mathbf j , atunci proiecţia ortogonală a lui \mathbf v pe \mathbf a este:

\frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\mathbf a \cdot \mathbf a} \mathbf a = \frac {1-2}{1+4} (\mathbf i -2 \mathbf j) = - \frac {1}{5}  (\mathbf i -2 \mathbf j).


Inegalitatea triunghiului

O consecinţă utilă a inegalităţii Cauchy-Schwarz, care este denumită şi inegalitatea triunghiului, realizează corelaţia dintre lungimile vectorilor \mathbf a, \mathbf b şi suma \mathbf a + \mathbf b a acestora.

Din punct de vedere geometric, inegalitatea triunghiului susţine că lungimea laturii unui triunghi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi:

\|OQ \| \le \| OR \| + \| RQ \|

sau, în notaţie vectorială:

\| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|. Deci:
Pentru demonstrarea inegalitatii triunghiului.PNG

TEOREMA 2: Inegalitatea triunghiului. Pentru vectorii \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3,

\| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|.

Demonstraţie. Avem:

\| \mathbf a + \mathbf b \| ^2 = (\mathbf a + \mathbf b) \cdot (\mathbf a + \mathbf b) = \| \mathbf a \|^2  + 2 \mathbf a \cdot \mathbf b +  \| \mathbf b \|^2.

Se utilizează inegalitatea Cauchy-Schwarz:

\| \mathbf a \|^2  + 2 \mathbf a \cdot \mathbf b +  \| \mathbf b \|^2 \le \| \mathbf a \|^2  + 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| +  \| \mathbf b \|^2  = (\| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|)^2.

Deci:

 \| \mathbf a + \mathbf b \| ^2 \le (\| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|)^2.


Exemple.

a) Verificaţi inegalitatea triunghiului pentru \mathbf a = \mathbf i + \mathbf j şi \mathbf b= 2 \mathbf i+ \mathbf j + \mathbf k.

b) Demonstraţi că \| \mathbf u - \mathbf v  \|  \le  = \| \mathbf u - \mathbf w  \| + \| \mathbf w - \mathbf v  \| pentru orice vectori \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w. Ilustraţi acest lucru printr-o figură în care cei trei vectori au aceeaşi origine.


Soluţie.

a) Avem \mathbf a + \mathbf b = 3 \mathbf i + 2 \mathbf j + \mathbf k, astfel că \| \mathbf a + \mathbf b \| = \sqrt {9+4+1} = \sqrt {14}. Pe de altă parte, \|  \mathbf a \| =\sqrt 2 şi \| \mathbf b \| = \sqrt 6, astfel că inegalitatea triunghiului susţine că \sqrt {14} \le \sqrt 2 + \sqrt 6.

b)

Avem \mathbf u - \mathbf v = (\mathbf u - \mathbf w) + (\mathbf w - \mathbf v), şi se aplică inegalitatea triunghiului cu \mathbf a înlocuit cu \mathbf u - \mathbf v şi \mathbf b înlocuit cu \mathbf w - \mathbf v.

Ilustrarea unei inegalitati vectoriale.PNG


Aplicaţii ale vectorilor în fizică

Un prim exemplu de aplicaţie a vectorilor în fizică îl constituie ilustrarea deplasării. Considerăm o porţiune din suprafaţa terestră, suficient de mică pentru a putea fi considerată plată şi introducem un sistem de coordonate cu axa Ox îndreptată către est şi cu axa Oy îndreptată către nord şi unitatea de lungime kilometrul. Dacă ne situăm în punctul P şi vrem să ajungem în punctul Q, vectorul deplasare \mathbf d= \overrightarrow {PQ} uneşte P cu Q şi ne indică direcţia şi distanţa pe care o avem de parcurs. Dacă x, y sunt componentele vectorului, deplasarea de la P la Q este de x kilometri la est şi y kilometri la nord.


Exemplu. Considerăm două vapoare care nu se pot vedea reciproc dar pot comunica prin radio şi doresc să determine poziţia relativă a vaselor. Aceasta se poate realiza determinând vectorul de poziţie al fiecărei nave în raport cu acelaşi far.

Fie P_1, P_2 poziţiile vaselor şi Q cea a farului. Dacă \mathbf d_1, \mathbf d_2 sunt vectorii de poziţie ale navelor şi \mathbf d vectorul care uneşte P_1 cu P_2, atunci:

\mathbf d= \mathbf d_1 - \mathbf d_2.
Vector de poziţie în navigaţie.PNG

De asemenea, viteza unui mobil poate fi reprezentată ca vector.

De exemplu, considerăm o barcă ce se deplasează pe un lac cu 10 km/h spre nord. După o oră, deplasarea este ( \frac {10}{\sqrt 2}, \frac {10}{\sqrt 2} ) \approx (7,07; \; 7,07).

Deci vectorul viteză are componentele 10 (1/ \sqrt 2, 1/ \sqrt 2) unde  (1/ \sqrt 2, 1/ \sqrt 2) este vectorul unitar orientat spre nord. Vectorul de componente (10/ \sqrt 2, 10/ \sqrt 2) este vectorul viteză al bărcii.

Viteza studiata vectorial.PNG

În general, dacă un mobil se deplasează uniform pe o dreaptă, atunci vectorul viteză al acestuia este deplasarea vectorului de poziţie din acel moment după trecerea unei unităţi de timp.

Dacă pe lac există un curent de apă care are 2 km/h spre est, atunci barca continuă să se îndrepte în aceeaşi direcţie (dacă îşi menţine motorul la acelaşi nivel de putere), numai că deplasarea după o oră va avea componentele (10/ \sqrt 2 +2, 10/ \sqrt 2).

Remarcăm faptul că acesta este suma dintre vectorul viteză al bărcii şi cel al curentului de apă.

Deplasare rezultantă barca.png

Deplasare şi viteză. Dacă un mobil are vectorul viteză (constant) \mathbf v, atunci deplasarea acestuia în t unităţi de timp este:

\mathbf d = t \mathbf v.


Exerciţii

1) Calculaţi (3 \mathbf i + 2 \mathbf j + \mathbf k) \cdot ( \mathbf i + 2 \mathbf j - \mathbf k).

R. 6.


2) Determinaţi unghiul dintre 7 \mathbf j + 19 \mathbf k şi -2 \mathbf i - \mathbf j.

R. 99^{\circ}.


3) Este \| 8 \mathbf i -12 \mathbf k \| \cdot \|  6 \mathbf j + \mathbf k \| - | (8 \mathbf i - 12 \mathbf k) \cdot (6 \mathbf j + \mathbf k) | egal cu zero? Explicaţi.

R. Nu, este 75,7; ar fi zero dacă vectorii ar fi paraleli.


4) Calculaţi \| \mathbf u \|, \; \| \mathbf v \|, \; \mathbf u \cdot \mathbf v pentru:

a) \mathbf u = 2 \mathbf j - \mathbf i, \; \mathbf v = - \mathbf j _ \mathbf i.

b) \mathbf u = - \mathbf i + 3 \mathbf j + \mathbf k, \; \mathbf v = -2 \mathbf i -3 \mathbf j - 7 \mathbf k.

c) \mathbf u = - \mathbf i + 2 \mathbf j -3 \mathbf k, \; \mathbf v = - \mathbf i -3 \mathbf j +4 \mathbf k.

R.

a) \| \mathbf u \| = \sqrt 5, \; \| \mathbf v \| = \sqrt 2, \; \mathbf u \cdot \mathbf v= -3.

b) \| \mathbf u \| = \sqrt {11}, \; \| \mathbf v \| = \sqrt {62}, \; \mathbf u \cdot \mathbf v = -14.

c) \| \mathbf u \| = \sqrt {14}, \; \| \mathbf v \| = \sqrt {26}, \; \mathbf u \cdot \mathbf v = -17.


5) Determinaţi unghiul dintre vectorii de la exerciţiul 4.

R. În exerciţiul 4, \arccos (-14/ \sqrt {11} \sqrt {62}).


6) Determinaţi proiecţia lui \mathbf v = 2 \mathbf i + \mathbf j -3 \mathbf k pe \mathbf u = - \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k.

R. -4(- \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k) / 3.


7) Determinaţi doi vectori neparaleli, ambii ortogonali cu (1,1,1).

R. Orice (x,y,z) cu x+y+=0; de exemplu (1,-1,0) şi (0, 1,-1).


8) O navă în poziţia (1,0) pe o hartă de navigaţie (cu nordul în direcţia y) vede o stâncă în poziţia (2,4). Care este vectorul care uneşte nava cu stânca? Ce unghi \theta formează acest vector cu direcţia nord?

R. \mathbf i + 4 \mathbf j, \; \theta \approx 0,24 radiani est de la nord.


9) Un avion este localizat în poziţia (3,4,5) la amiază şi călătoreşte cu viteza 400 \mathbf i + 500 \mathbf j - \mathbf k kilometri pe oră. Locul de aterizare este fixat pe aeroport în poziţia (23, 29, 0).

(a) La ce oră va trece avionul deasupra aeroportului? (Presupunem că vectorul \mathbf k este orientat în sus.)
(b) Cât de sus va trece avionul deasupra aeroportului?


R. (a) 12:03 PM (b) 4,95 km.


10) O forţă de 50 N este orientată la 50^{\circ} cu orizontala, spre dreapta. Determinaţi componentele orizontală şi verticală. Reprezentaţi totul într-o figură.

R.

Calcul forta 8u3rebd.PNG


11) Un corp cu masa de un kilogram, aflat în originea axelor, este suspendat prin două fire prinse în punctele (1,1,1) şi (-1,-1,1) Dacă forţa de gravitaţie este orientată în direcţia vectorului - \mathbf k, care este vectorul forţă ce acţionează asupra fiecărui fir? Se consideră că un corp de un kilogram are o greutate de 9,8 N.

R. (4,9, \; 4,9, \; 4,9) şi (-4,9, \; -4,9, \; -4,9) N


12) O forţă de 6 N formează un unghi de \frac {\pi}{4} cu axa y şi este îndreptată către dreapta. Forţa se împotriveşte mişcării unui obiect de-a lungul dreptei care uneşte punctele (1,2) şi (5,4).

(a) Determină formula vectorului forţă \mathbf F.
(b) Determinaţi unghiul \theta dintre direcţia de deplasare \mathbf D= (5-1) \mathbf i + (4-2) \mathbf j şi direcţia forţei \mathbf F.
(c) Lucrul mecanic efectuat este \mathbf F \cdot \mathbf D sau echivalent \| \mathbf F \| \| \mathbf D \| \cos \theta.

Calculaţi lucrul mecanic cu cele două formule şi să se compare rezultatele.

R. (a) \mathbf F = (3 \sqrt 2 \mathbf i + 3 \sqrt 2 \mathbf j) (b) \approx 0,322 rad sau 18,4^{\circ} (c) 18 \sqrt 2.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki