FANDOM


1.2 Produs scalar, lungime, distanţă


Produsul scalar

Considerăm vectorii $ \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3 $ şi dorim să determinăm unghiul dintre aceştia adică unghiul $ \theta $ format de direcţiile acestora în planul determinat de vectori.

Dacă $ \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k $ şi $ \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k $ atunci definim produsul scalar dintre cei doi vectori, notat $ \mathbf a \cdot \mathbf b, $ ca fiind:

$ \mathbf a \cdot \mathbf b= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3. $

Unghiul theta dintre doi vectori

Observaţii.

1) Rezultatul produsului scalar este un scalar, de unde şi denumirea.

2) Produsul scalar dintre $ \mathbf a $ şi $ \mathbf b $ mai poate fi notat şi $ (\mathbf a, \mathbf b). $


Exemplu. Calculaţi $ (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j). $

Soluţie. $ (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j)= (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (0 \mathbf i -2 \mathbf j +3 \mathbf k) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3= -5. $


Proprietăţile produsului scalar rezultă chiar din definiţie. Astfel, dacă $ \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbb R^3 $ şi $ \alpha, \beta \in \mathbb R $ atunci:

(i)   $ \mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0; $

$ \mathbf a \cdot \mathbf a = 0; $ dacă şi numai dacă $ \mathbf a = \mathbf 0. $

(ii)   $ (\alpha \mathbf a ) \cdot \mathbf b = \alpha (\mathbf a \cdot \mathbf b) $   şi   $ \mathbf a \cdot ( \beta \mathbf b )= \beta (\mathbf a \cdot \mathbf b) $

(iii)   $ \mathbf a \cdot (\mathbf b \cdot \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c $   şi   $ (\mathbf a + \mathbf b) \cdot \mathbf c= \mathbf a \cdot \mathbf c + \mathbf b \cdot \mathbf c. $

(iv)   $ \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a. $


Pentru a demonstra prima proprietate, se va observa că dacă $ \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, $ atunci $ \mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_3^2. $ Deoarece $ a_1, a_2, a_3 \in \mathbb R $ avem $ a_1^2 \ge 0, \; a_2 \ge o, \; a_3 \ge 0 $ şi deci $ \mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0. $ Mai departe, dacă $ a_1^2 + a_2^2 + a_3^2=0, $ atunci $ a_1=a_2=a_3=0 $ deci $ \mathbf = \mathbf 0 $ (vector nul).

Celelalte proprietăţi sunt uşor de demonstrat.

Din teorema lui Pitagora rezultă că lungimea vectorului $ \mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k $ este $ \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $ Lungimea unui vector $ \mathbf a $ se notează $ \| \mathbf a \|, $ cantitate care mai este numită şi norma lui $ \mathbf a. $

Deoarece $ \mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 $ rezultă că:

$ \| \mathbf a \| = (\mathbf a \cdot \mathbf a)^{1/2}. $

Pentru calculul lungimii unui vector


Vectorii cu norma 1 sunt numiţi vectori unitari. Astfel de vectori sunt $ \mathbf i, \mathbf j \mathbf k. $ Se remarcă faptul că, pentru orice vector nenul $ \mathbf a, $ vectorul $ \mathbf a / \| \mathbf a \| $ este vector unitar, numit vectorul $ \mathbf a, $ normalizat.


Exemple.

1) Să se normalizeze vectorul $ \mathbf v = 2 \mathbf i + 3 \mathbf j - \frac 12 \mathbf k. $

2) Să se găsească trei vectori unitari $ \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c $ în plan astfel încât $ \mathbf b + \mathbf c = \mathbf a. $

Soluţie.

1) Avem $ \| \mathbf v \| = \sqrt {2^2 + 3^2+ (1/2)^2} = (1/2) \sqrt {53}, $ deci normalizarea lui $ \mathbf v $ este:

$ \mathbf u = \frac {1}{\| \mathbf v \|} \mathbf v = \frac {4}{\sqrt {53}} \mathbf i + \frac {6}{\sqrt {53}} \mathbf j - \frac {1}{\sqrt {53}} \mathbf k. $

2)

Deoarece cei trei vectori au lungimea 1, triunghiul cu laturile $ \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c $ este echilateral. Orientăm triunghiul ca în figură astfel încât $ \mathbf a = \mathbf i $ şi deci

$ \mathbf b= \frac 12 \mathbf i + \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j, \; \mathbf c= \frac 12 \mathbf i - \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j. $

Triunghi format din vectori unitari


În plan, vectorul unitar care formează unghiul $ \theta $ cu axa $ Ox $ este:

$ \mathbf i_{\theta} = (\cos \theta) \mathbf i + (\sin \theta) \mathbf j. $

Vectorul i(theta)


Distanţa

Dacă $ \mathbf a, \mathbf b $ sunt vectori, atunci vectorul $ \mathbf b- \mathbf a $ este paralel şi are modulul egal cu lungimea segmentului determinat de extremităţile vectorilor $ \mathbf a, \mathbf b. $ Deci această distanţă este $ \| \mathbf b- \mathbf a \|. $

Distanta dintre vectorii a, b


Rezumat

Dacă $ \mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b= b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k , $ produsul scalar al acestora este:

$ \mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3, $

iar lungimea lui $ \mathbf a $ este:

$ \| \mathbf a \| = \sqrt {\mathbf a \cdot \mathbf a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $

Pentru a normaliza vectorul $ \mathbf a $ se formează vectorul   $ \frac {\mathbf a}{\| \mathbf a \|}. $

Distanţa dintre extremităţile vectorilor $ \mathbf a, \mathbf b $   este   $ \| \mathbf a - \mathbf b \|, $ iar distanţa dintre $ P, Q $   este   $ \overrightarrow {PQ}. $


Unghiul dintre doi vectori

Teorema 1. Fie vectorii $ \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3 $ şi fie $ \theta \in [0, \pi] $ unghiul dintre vectori. Atunci

$ \mathbf a \cdot \mathbf b= \| \mathbf a \| \cdot \| \mathbf b \| \cdot \cos \theta. $

Rezultă că, dacă vectorii $ \mathbf a, \mathbf b $ sunt nenuli, unghiul dintre aceştia este:

$ \theta = \arccos \left ( \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{\| \mathbf a \| \| \mathbf b \|} \right ) $


Demonstraţie. Se aplică teorema cosinusurilor pentru triunghiul cu vârful în
origine şi celelalte vârfuri în extremităţile vectorilor:

$ \| \mathbf b - \mathbf a \| ^2 = \| \mathbf a \| ^2 + \| \mathbf b \| ^2 - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta. $

Unghiul dintre doi vectori

Deoarece $ \| \mathbf b - \mathbf a \|^2 = (\mathbf b - \mathbf a) \cdot ( \mathbf b - \mathbf a ) , \; \| \mathbf a \|^2 = \mathbf a \cdot \mathbf a, \; \| \mathbf b \|^2 = \mathbf b \cdot \mathbf b $ putem să scriem:

$ (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta. $


Putem de asemenea să dezvoltăm $ (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) $ după cum urmează:

$ (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) = \mathbf b \cdot (\mathbf a - \mathbf a) - \mathbf a \cdot (\mathbf a - \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b. $

Deci

$ \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta, $

ceea ce înseamnă că:

$ \mathbf a \cdot \mathbf b = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta. $


Exemplu. Să se determne unghiul dintre vectorii $ \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k $ şi $ \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k. $


Soluţie. Conform teoremei 1 avem

$ (\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k ) \cdot (\mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) = $

$ = \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \| \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \| \cos \theta, $

deci:

$ 1+1-1 = \sqrt 3 \sqrt 3 \cos \theta, $

de unde $ \cos \theta = \frac 13, $

ceea ce înseamnă că:

$ \theta = \arccos \frac 13 \approx 1,23 \; rad \; (71^{\circ}). $
Unghiul dintre vectori (exemplu)

Reprezentarea geometrică a diferenţei a doi vectori


Inegalitatea Cauchy-Schwarz

O consecinţă importantă a teoremei 1 este:


Corolar: Inegalitatea Cauchy-Schwarz. Pentru orice doi vectori $ \mathbf a, \mathbf b $ avem:

$ |\mathbf a \cdot \mathbf b| \le \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| $

cu egalitate dacă şi numai dacă $ \mathbf a $ este multiplu scalar de $ \mathbf b $ sau unul dintre cei doi vectori este nul.


Demonstraţie. Dacă $ \mathbf a $ nu este multiplu scalar de $ \mathbf b, $ atunci $ \theta , $ unghiul dintre vectori nu este zero sau $ \pi $ deci $ | \cos \theta | <1 $ şi are loc inegalitatea. În caz contrar, $ \theta \in \{ 0, \pi \} $ şi are loc egalitatea.


Consecinţă. Dându-se doi vectori nenuli, produsul scalar al acestora este zero dacă şi numai dacă vectorii sunt perpendiculari (ortogonali).

Vectorii bazei standard, $ \mathbf i, \mathbf j , \mathbf k, $ sunt ortogonali între ei şi de lungime unitară. Un astfel de sistem se numeşte ortonormat. Se adoptă convenţia ca vectorul nul să fie ortogonal cu orice vector.


Exemplu. Vectorii $ \mathbf i_{\theta}= \mathbf i \cos \theta + \mathbf j \sin \theta $ şi $ \mathbf j_{\theta}= - \mathbf i \sin \theta + \mathbf j \cos \theta $ sunt ortogonali deoarece:

$ \mathbf i_{\theta} \cdot \mathbf j_{\theta} = - \cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta = 0. $
Vectorii i(theta) şi j(theta0


Exemplu. Fie $ \mathbf a, \mathbf b $ doi vectori nenuli ortogonali. Dacă $ \mathbf c $ este un vector situat în planul determinat de $ \mathbf a, \mathbf b $ atunci există scalarii $ \alpha, \beta \in \mathbb R $ astfel încât $ \mathbf c = \alpha \mathbf a + \beta \mathbf b. $ Utilizaţi produsul scalar pentru determinarea lui $ \alpha, \beta . $

Determinarea lui alpha şi beta pentru un unghi

Soluţie. Avem:

$ \mathbf a \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot (\alpha \mathbf a + \beta \mathbf b) = \alpha \mathbf a \cdot \mathbf a + \beta \mathbf a \cdot \mathbf b. $

Deoarece $ \mathbf a, \mathbf b $ sunt ortogonali, $ \mathbf a \cdot \mathbf b =0 $ şi deci:

$ \alpha = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\mathbf a \cdot \mathbf a} = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\| \mathbf a \|^2}. $

În mod similar:

$ \beta = \frac {\mathbf b \cdot \mathbf c}{\| \mathbf b \|^2}. $



Proiecţie ortogonală

În exemplul precedent, vectorul $ \alpha \mathbf a $ se numeşte proiecţia lui $ \mathbf c $ de-a lungul lui $ \mathbf a, $ iar $ \beta \mathbf b $ este proiecţia acestuia de-a lungul lui $ \mathbf b. $

Să generalizăm ideea: Dacă $ \mathbf v $ este un vector şi $ l $ este o dreaptă care trece prin originea acestuia şi are direcţia vectorului $ \mathbf a $, atunci proiecţia ortogonală a lui $ \mathbf v $ pe $ \mathbf a $ este vectorul $ \mathbf p $ al cărui vârf se obţine ducând pe $ l $ perpendiculara din vârful lui $ \mathbf v. $

Proiectia ortogonala a unui vector

În figură se observă că:

$ \mathbf v = c \mathbf a + \mathbf q, $

unde $ \mathbf p= c \mathbf a $ şi $ \mathbf a \cdot \mathbf q =0. $

Rezultă $ \mathbf a \cdot \mathbf v = c \mathbf a \cdot \mathbf a $ şi deci $ c= \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\mathbf a \cdot \mathbf a}, $ de unde:

$ \mathbf p = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\| a \|^2} \mathbf a. $

Lungimea vectorului $ \mathbf p $ este:

$ \| \mathbf p \| = \frac {|\mathbf a \cdot \mathbf v|}{\| \mathbf a \|^2} \| \mathbf a \| = \frac {|\mathbf a \cdot \mathbf v|}{\| \mathbf a \|} = \| \mathbf v \| \cos \theta. $

Proiecţia ortogonală. Proiecţia ortogonală a lui $ \mathbf v $ pe $ \mathbf a $ este vectorul:

$ \mathbf p = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\| \mathbf a \|^2} \mathbf a. $


Exemplu. Să se determine proiecţia ortogonală a lui $ \mathbf i + \mathbf j $ pe $ \mathbf i -2 \mathbf j. $

Soluţie. Dacă $ \mathbf a= \mathbf i -2 \mathbf j $ şi $ \mathbf v= \mathbf i + \mathbf j , $ atunci proiecţia ortogonală a lui $ \mathbf v $ pe $ \mathbf a $ este:

$ \frac {\mathbf a \cdot \mathbf v}{\mathbf a \cdot \mathbf a} \mathbf a = \frac {1-2}{1+4} (\mathbf i -2 \mathbf j) = - \frac {1}{5} (\mathbf i -2 \mathbf j). $


Inegalitatea triunghiului

O consecinţă utilă a inegalităţii Cauchy-Schwarz, care este denumită şi inegalitatea triunghiului, realizează corelaţia dintre lungimile vectorilor $ \mathbf a, \mathbf b $ şi suma $ \mathbf a + \mathbf b $ a acestora.

Din punct de vedere geometric, inegalitatea triunghiului susţine că lungimea laturii unui triunghi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi:

$ \|OQ \| \le \| OR \| + \| RQ \| $

sau, în notaţie vectorială:

$ \| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|. $ Deci:
Pentru demonstrarea inegalitatii triunghiului

TEOREMA 2: Inegalitatea triunghiului. Pentru vectorii $ \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3, $

$ \| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|. $

Demonstraţie. Avem:

$ \| \mathbf a + \mathbf b \| ^2 = (\mathbf a + \mathbf b) \cdot (\mathbf a + \mathbf b) = \| \mathbf a \|^2 + 2 \mathbf a \cdot \mathbf b + \| \mathbf b \|^2. $

Se utilizează inegalitatea Cauchy-Schwarz:

$ \| \mathbf a \|^2 + 2 \mathbf a \cdot \mathbf b + \| \mathbf b \|^2 \le \| \mathbf a \|^2 + 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| + \| \mathbf b \|^2 = (\| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|)^2. $

Deci:

$ \| \mathbf a + \mathbf b \| ^2 \le (\| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|)^2. $


Exemple.

a) Verificaţi inegalitatea triunghiului pentru $ \mathbf a = \mathbf i + \mathbf j $ şi $ \mathbf b= 2 \mathbf i+ \mathbf j + \mathbf k. $

b) Demonstraţi că $ \| \mathbf u - \mathbf v \| \le = \| \mathbf u - \mathbf w \| + \| \mathbf w - \mathbf v \| $ pentru orice vectori $ \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w. $ Ilustraţi acest lucru printr-o figură în care cei trei vectori au aceeaşi origine.


Soluţie.

a) Avem $ \mathbf a + \mathbf b = 3 \mathbf i + 2 \mathbf j + \mathbf k, $ astfel că $ \| \mathbf a + \mathbf b \| = \sqrt {9+4+1} = \sqrt {14}. $ Pe de altă parte, $ \| \mathbf a \| =\sqrt 2 $ şi $ \| \mathbf b \| = \sqrt 6, $ astfel că inegalitatea triunghiului susţine că $ \sqrt {14} \le \sqrt 2 + \sqrt 6. $

b)

Avem $ \mathbf u - \mathbf v = (\mathbf u - \mathbf w) + (\mathbf w - \mathbf v), $ şi se aplică inegalitatea triunghiului cu $ \mathbf a $ înlocuit cu $ \mathbf u - \mathbf v $ şi $ \mathbf b $ înlocuit cu $ \mathbf w - \mathbf v. $

Ilustrarea unei inegalitati vectoriale


Aplicaţii ale vectorilor în fizică

Un prim exemplu de aplicaţie a vectorilor în fizică îl constituie ilustrarea deplasării. Considerăm o porţiune din suprafaţa terestră, suficient de mică pentru a putea fi considerată plată şi introducem un sistem de coordonate cu axa $ Ox $ îndreptată către est şi cu axa $ Oy $ îndreptată către nord şi unitatea de lungime kilometrul. Dacă ne situăm în punctul $ P $ şi vrem să ajungem în punctul $ Q, $ vectorul deplasare $ \mathbf d= \overrightarrow {PQ} $ uneşte $ P $ cu $ Q $ şi ne indică direcţia şi distanţa pe care o avem de parcurs. Dacă $ x, y $ sunt componentele vectorului, deplasarea de la $ P $ la $ Q $ este de $ x $ kilometri la est şi $ y $ kilometri la nord.


Exemplu. Considerăm două vapoare care nu se pot vedea reciproc dar pot comunica prin radio şi doresc să determine poziţia relativă a vaselor. Aceasta se poate realiza determinând vectorul de poziţie al fiecărei nave în raport cu acelaşi far.

Fie $ P_1, P_2 $ poziţiile vaselor şi $ Q $ cea a farului. Dacă $ \mathbf d_1, \mathbf d_2 $ sunt vectorii de poziţie ale navelor şi $ \mathbf d $ vectorul care uneşte $ P_1 $ cu $ P_2, $ atunci:

$ \mathbf d= \mathbf d_1 - \mathbf d_2. $
Vector de poziţie în navigaţie

De asemenea, viteza unui mobil poate fi reprezentată ca vector.

De exemplu, considerăm o barcă ce se deplasează pe un lac cu 10 km/h spre nord. După o oră, deplasarea este $ ( \frac {10}{\sqrt 2}, \frac {10}{\sqrt 2} ) \approx (7,07; \; 7,07). $

Deci vectorul viteză are componentele $ 10 (1/ \sqrt 2, 1/ \sqrt 2) $ unde $ (1/ \sqrt 2, 1/ \sqrt 2) $ este vectorul unitar orientat spre nord. Vectorul de componente $ (10/ \sqrt 2, 10/ \sqrt 2) $ este vectorul viteză al bărcii.

Viteza studiata vectorial

În general, dacă un mobil se deplasează uniform pe o dreaptă, atunci vectorul viteză al acestuia este deplasarea vectorului de poziţie din acel moment după trecerea unei unităţi de timp.

Dacă pe lac există un curent de apă care are 2 km/h spre est, atunci barca continuă să se îndrepte în aceeaşi direcţie (dacă îşi menţine motorul la acelaşi nivel de putere), numai că deplasarea după o oră va avea componentele $ (10/ \sqrt 2 +2, 10/ \sqrt 2). $

Remarcăm faptul că acesta este suma dintre vectorul viteză al bărcii şi cel al curentului de apă.

Deplasare rezultantă barca

Deplasare şi viteză. Dacă un mobil are vectorul viteză (constant) $ \mathbf v, $ atunci deplasarea acestuia în $ t $ unităţi de timp este:

$ \mathbf d = t \mathbf v. $


Exerciţii

1) Calculaţi $ (3 \mathbf i + 2 \mathbf j + \mathbf k) \cdot ( \mathbf i + 2 \mathbf j - \mathbf k). $

R. 6.


2) Determinaţi unghiul dintre $ 7 \mathbf j + 19 \mathbf k $ şi $ -2 \mathbf i - \mathbf j. $

R. $ 99^{\circ}. $


3) Este $ \| 8 \mathbf i -12 \mathbf k \| \cdot \| 6 \mathbf j + \mathbf k \| - | (8 \mathbf i - 12 \mathbf k) \cdot (6 \mathbf j + \mathbf k) | $ egal cu zero? Explicaţi.

R. Nu, este $ 75,7; $ ar fi zero dacă vectorii ar fi paraleli.


4) Calculaţi $ \| \mathbf u \|, \; \| \mathbf v \|, \; \mathbf u \cdot \mathbf v $ pentru:

a) $ \mathbf u = 2 \mathbf j - \mathbf i, \; \mathbf v = - \mathbf j _ \mathbf i. $

b) $ \mathbf u = - \mathbf i + 3 \mathbf j + \mathbf k, \; \mathbf v = -2 \mathbf i -3 \mathbf j - 7 \mathbf k. $

c) $ \mathbf u = - \mathbf i + 2 \mathbf j -3 \mathbf k, \; \mathbf v = - \mathbf i -3 \mathbf j +4 \mathbf k. $

R.

a) $ \| \mathbf u \| = \sqrt 5, \; \| \mathbf v \| = \sqrt 2, \; \mathbf u \cdot \mathbf v= -3. $

b) $ \| \mathbf u \| = \sqrt {11}, \; \| \mathbf v \| = \sqrt {62}, \; \mathbf u \cdot \mathbf v = -14. $

c) $ \| \mathbf u \| = \sqrt {14}, \; \| \mathbf v \| = \sqrt {26}, \; \mathbf u \cdot \mathbf v = -17. $


5) Determinaţi unghiul dintre vectorii de la exerciţiul 4.

R. În exerciţiul 4, $ \arccos (-14/ \sqrt {11} \sqrt {62}). $


6) Determinaţi proiecţia lui $ \mathbf v = 2 \mathbf i + \mathbf j -3 \mathbf k $ pe $ \mathbf u = - \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k. $

R. $ -4(- \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k) / 3. $


7) Determinaţi doi vectori neparaleli, ambii ortogonali cu $ (1,1,1). $

R. Orice $ (x,y,z) $ cu $ x+y+=0; $ de exemplu $ (1,-1,0) $ şi $ (0, 1,-1). $


8) O navă în poziţia $ (1,0) $ pe o hartă de navigaţie (cu nordul în direcţia $ y $) vede o stâncă în poziţia $ (2,4). $ Care este vectorul care uneşte nava cu stânca? Ce unghi $ \theta $ formează acest vector cu direcţia nord?

R. $ \mathbf i + 4 \mathbf j, \; \theta \approx 0,24 $ radiani est de la nord.


9) Un avion este localizat în poziţia $ (3,4,5) $ la amiază şi călătoreşte cu viteza $ 400 \mathbf i + 500 \mathbf j - \mathbf k $ kilometri pe oră. Locul de aterizare este fixat pe aeroport în poziţia $ (23, 29, 0). $

(a) La ce oră va trece avionul deasupra aeroportului? (Presupunem că vectorul $ \mathbf k $ este orientat în sus.)
(b) Cât de sus va trece avionul deasupra aeroportului?


R. (a) 12:03 PM (b) 4,95 km.


10) O forţă de $ 50 N $ este orientată la $ 50^{\circ} $ cu orizontala, spre dreapta. Determinaţi componentele orizontală şi verticală. Reprezentaţi totul într-o figură.

R.

Calcul forta 8u3rebd


11) Un corp cu masa de un kilogram, aflat în originea axelor, este suspendat prin două fire prinse în punctele $ (1,1,1) $ şi $ (-1,-1,1) $ Dacă forţa de gravitaţie este orientată în direcţia vectorului $ - \mathbf k, $ care este vectorul forţă ce acţionează asupra fiecărui fir? Se consideră că un corp de un kilogram are o greutate de $ 9,8 N. $

R. $ (4,9, \; 4,9, \; 4,9) $ şi $ (-4,9, \; -4,9, \; -4,9) N $


12) O forţă de $ 6 N $ formează un unghi de $ \frac {\pi}{4} $ cu axa $ y $ şi este îndreptată către dreapta. Forţa se împotriveşte mişcării unui obiect de-a lungul dreptei care uneşte punctele $ (1,2) $ şi $ (5,4). $

(a) Determină formula vectorului forţă $ \mathbf F. $
(b) Determinaţi unghiul $ \theta $ dintre direcţia de deplasare $ \mathbf D= (5-1) \mathbf i + (4-2) \mathbf j $ şi direcţia forţei $ \mathbf F. $
(c) Lucrul mecanic efectuat este $ \mathbf F \cdot \mathbf D $ sau echivalent $ \| \mathbf F \| \| \mathbf D \| \cos \theta. $

Calculaţi lucrul mecanic cu cele două formule şi să se compare rezultatele.

R. (a) $ \mathbf F = (3 \sqrt 2 \mathbf i + 3 \sqrt 2 \mathbf j) $ (b) $ \approx 0,322 rad $ sau $ 18,4^{\circ} $ (c) $ 18 \sqrt 2. $