FANDOM


1.4. Coordonate cilindrice şi sferice

Cel mai cunocut mod de a reprezenta un punct în planul $ \mathbb R^2 $ o constituie coordonatele rectangulare $ (x,y). $ Anumite probleme necesită utilizarea coordonatelor polare $ (r, \theta), $ care sunt legate de cele rectangulare prin relaţiile:

$ x=r \cos \theta, \; \; y=r \sin \theta, $

unde $ r \ge 0, \; 0 \le \theta \le 2 \pi. $

Legatura dintre coordonatele carteziene si cele polare

Coordonatele polare ale punctului $ (x,y) $ sunt $ (r, \theta). $

Istoric

În 1671, Isaac Newton a scris o lucrare intitulată Metoda fluxiunilor şi serii infinite, care conţinea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare.

În 1691, Jacob Bernoulli a publicat un document care de asemenea conţinea referiri la coordonatele polare. Dar, deoarece lucrarea lui Newton a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui Bernoulli.


Coordonate cilindrice

Definiţie. Coordonatele cilindrice $ (r, \theta, z) $ ale unui punct $ (x,y,z) $ sunt definite ca:

$ x=r \cos \theta, \; y=r \sin \theta, \; z=z. \qquad $   (1)
Coordonate cilindrice 4ihrnf

Reprezentarea unui punct cu ajutorul coordonatelor cilindrice

Pentru a exprima $ r, \theta, z $ cu ajutorul lui $ x,y,z $ şi pentru a ne asigura că $ \theta \in [0, 2 \pi], $ putem scrie:

$ r= \sqrt {x^2+y^2}, \quad \theta = \begin{cases} \arctan \frac yx & dac \breve a \; x>0, y \ge 0 \\ \pi + \arctan \frac yx & dac \breve a \; x<0 \\ 2 \pi + \arctan \frac yx & dac \breve a \; x>0, \; y<0 \end{cases} \qquad z=z, $


unde $ \arctan \frac yx $ este luat între $ - \frac {\pi}{2} $ şi $ \frac {\pi}{2}. $ Necesitatea ca $ \theta \in [0, 2 \pi] $ determină un unic $ \theta $ şi $ r \ge 0 $ pentru un anumit $ x $ şi $ y. $ Dacă $ x=0, $ atunci $ \theta = \frac {\pi}{2} $ pentru $ y>0 $ şi $ \frac {3 \pi}{2} $ pentru $ y<0. $ Dacă $ x=y=0, $ atunci $ \theta $ nu este definit.

Cu alte cuvinte, pentru orice punct $ (x,y,z) $ se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată. Formula (1) arată faptul că, dându-se $ (r, \theta, z), $ tripletul $ (x,y,z) $ este complet determinat şi invers, dacă restricţionăm $ \theta $ la intervalul $ [0, 2 \pi] $ (uneori este convenabil şi domeniul $ (- \pi, \pi] $) şi impunem ca $ r>0. $

Pentru a înţelege de ce se utilizează denumirea de coordonate cilindrice, trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condiţiile $ 0 \le \theta < 2 \pi, \; - \infty < z < \infty $ şi $ r=a $ este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază $ a. $

Coordonate cilindrice -09iuhn

Graficul unui punct ale cărui coordonate cilindrice satisfac $ r=a $ este un cilindru.


Exemple.

(a) Determinaţi coordonatele cilindrice ale punctului $ 6,6,8. $
(b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice $ (8, \frac {2 \pi}{3}, -3), $ care sunt coordonatele carteziene?

Soluţie.

(a) Avem: $ r = \sqrt {6^2 + 6^2} = 6 \sqrt 2 $ şi $ \theta = \arctan \frac 66 = \frac {\pi}{4}. $

Deci coordonatele cilindrice sunt $ (6 \sqrt 2, \frac {\pi}{4}, 8). $

(b) Avem $ \frac {2 \pi}{3} = \frac {\pi}{2} + \frac {\pi}{6} $ deci
$ x= r \cos \theta = 8 \cos \frac {2 \pi}{3} = -4 $
$ y= r \sin \theta = 8 \sin \frac {2 \pi}{3} = 4 \sqrt 3. $

Deci coordonatele carteziene sunt $ (-4, 4 \sqrt 3 , -3). $


Coordonate sferice

Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spaţiul tridimensional. Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului $ x \mathbf i + y \mathbf j $ (care este $ \sqrt {x^2+y^2} $) este acel $ r $ din sistemul de coordonate polare. În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului $ x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k $ şi anume $ \rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2} $ nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul $ \sqrt {x^2+y^2}, $ unghiul $ \theta $ şi înălţimea $ z. $

Vom modifica aceasta introducând sistemul de coordonate sferice, care utilizează $ \rho $ drept coordonată. Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei faţă de o dreaptă.

Dându-se un punct $ (x,y,z) \in \mathbb R^3, $ fie:

$ \rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2} $

şi să reprezentăm $ x, y $ prin coordonate polare în planul $ xy: $

$ x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \qquad $   (2)

unde $ r= \sqrt {x^2+y^2} $ şi $ \theta $ este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru $ \theta $ care succede formulei (1)]. Coordonata $ z $ este dată de:

$ z= \rho \cos \phi, $

unde $ \phi \in [0, \pi] $ este unghiul pe care îl face cu $ Oz $ raza vectoare $ \mathbf v = x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k $ în planul format de $ \mathbf v, Ox. $

Cu ajutorul produsului scalar, se obţine:

$ \cos \phi = \frac {\mathbf v \cdot \mathbf k}{\| \mathbf v \|}, \qquad $ adică $ \phi = \arccos \left ( \frac {\mathbf v \cdot \mathbf k}{\| \mathbf v \|} \right ). $
Coordonate sferice 9,48urjfn

Coordonatele sferice $ (\rho, \theta, \phi); $ graficul punctelor care satisfac $ \rho = a $ este o sferă.

Deoarece:

$ r= \rho \sin \phi, $

putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice:

Definiţie. Coordonatele sferice ale punctului $ (x,y,z) $ reprezintă tripletul $ ( \rho, \theta, \phi ) $ definit astfel:

$ x= \rho \sin \phi \cos \theta, \qquad y= \rho \sin \phi \sin \theta, \qquad z= \rho \cos \phi, $

unde:

$ \rho \ge 0, \qquad 0 \le \theta \le 2 \pi , \qquad 0 \le \phi \le \pi. $


Istoric

În 1773, Joseph Louis Lagrange studia teoria gravitaţiei a lui Newton şi modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluţie. Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice.

Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigaţiei după longitudine şi latitudine. Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul $ \theta $ măsurat de la Greenwich este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul $ \frac {\pi}{2}- \phi $ este pozitiv sau negativ.


Exemple.

(a) Determinaţi coorodnatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene $ (1,-1,1). $
(b) Determinaţi coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice $ (3, \frac {\pi}{6}, \frac {\pi}{4}). $
(c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene $ (2,3,-6). $

Determinaţi coordonatele sferice ale acestuia.

(d) Determinaţi coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice$ (1, - \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{4}). $
(e) Exprimaţi suprafaţa $ xz=1 $ în coordonate sferice.
(f) Exprimaţi suprafaţa $ x^2+y^2 - z^2=1 $ în coordonate sferice.


Soluţie.

(a) $ \rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2} = \sqrt {1^2+(-1)^2 + 1^2} = \sqrt 3, $
$ \theta = 2 \pi + \arctan \frac yx = 2 \pi - \frac {\pi}{4} = \frac {7 \pi}{4}, $
$ \phi = \arccos \frac {z}{\rho} = \arccos \frac {1}{\sqrt 3} \approx 0,955 \approx 54,74^{\circ}. $
398euryhfb8yg


(b) $ x= \rho \sin \phi \cos \theta = 3 \sin \frac {\pi}{4} \cos \frac {\pi}{6} = \frac {3 \sqrt 3}{2 \sqrt 2}, $
$ y= \rho \sin \phi \sin \theta = 3 \sin \frac {\pi}{4} \sin \frac {\pi}{6} = \frac {3}{2 \sqrt 2}, $
$ z= \rho \cos \phi = 3 \cos \frac {\pi}{4} = \frac {3 \sqrt 2}{2}. $
-0ijn3erfgb
(c)
$ \rho= \sqrt {x^2+y^2+z^2} = \sqrt {2^2+(-3)^2+6^2} = 7, $
$ \theta = 2 \pi + \arctan \frac yx \approx 5,3004 rad \approx 303,69^{\circ} $
$ \phi = \arccos \frac {z}{\rho} \approx 0,541 \approx 31,0^{\circ} $
(d)
$ x= \rho \sin \phi \cos \theta = 1 \sin \frac {\pi}{4} \cos (- \frac {\pi}{2}) = 0, $
$ y= \rho \sin \phi \sin \theta = - \frac {\sqrt 2}{2} $
$ z= \rho \cos \theta = \frac {\sqrt 2}{2}. $
(e)

Din formula (3), $ x= \rho \sin \phi \cos \theta, \; z= \rho \cos \phi. $ Ecuaţia suprafeţei devine:

$ \rho^2 \sin \phi \cos \theta \cos \phi =1 $

adică:

$ \rho^2 \sin 2 \phi \cos \theta. $
(f)
$ x^2+y^2-z^2=\rho^2 - 2 \rho^2 \cos^2 \phi, $

deci ecuaţia suprafeţei este:

$ \rho^2 (1-2 \cos^2 \phi) = 1, $

adică:

$ - \rho^2 \cos (2 \phi) =1. $


Similari vectorilor unitari $ \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k $ pentru coordonatele rectangulare, se pot defini vectori similari pentru coordonatele cilindrice şi sferice. De exemplu $ \mathbf e_r $ este vectorul unitar paralel cu planul $ Oxy $ şi orientat în direcţie radială, astfel că $ \mathbf e_r = (\cos \theta ) \mathbf i + (\sin \theta) \mathbf j. $ În mod similar, $ \mathbf e_{\phi} $ este vectorul unitar tangent la curba parametrizată prin variabila $ \phi $, cu variabilele $ \rho, \theta $ menţinute constante.

98un2edfv5rtf

(a) Vectorii ortonormali $ \mathbf e_r, \mathbf e_{\theta}, \mathbf e_z $ asociaţi coordonatelor cilindrice
(b) Vectorii ortonormali $ \mathbf e_{\rho}, e_{\theta}, e_{\phi} $ asociaţi coordonatelor sferice.


Exerciţii

1)

(a) Următoarele puncte sunt date în coordonate cilindrice; exprimaţi-le în coordonate rectangulare şi sferice:

$ (1, 45^{\circ}, 1), \; (2, \frac {\pi}{2}, -4), \; (0, 45^{\circ}, 10), \; (3, \frac {\pi}{6}, 4), \; (1, \frac {\pi}{6}, 0), \; (2, \frac {3 \pi}{4}, -2). $

(b) Transformaţi coordonatele rectangulare ale punctelor de mai jos în coordonate sferice şi cilindrice: $ (2,1,-2), \; (0,3,4), \; (\sqrt 2, 1,1), \; (-2 \sqrt 3, -2, 3), \; $


R.

(a)
Coordonate
cilindrice
$ r $ $ \theta $ $ z $
1 $ 45^{\circ} $ 1
2 $ \frac {\pi}{2} $ -4
0 $ 45^{\circ} $ 10
3 $ \frac {\pi}{6} $ 4
1 $ \frac {\pi}{6} $ 0
2 $ \frac {3 \pi}{4} $ -2
Coordonate
rectangulare
$ x $ $ y $ $ z $
$ \frac {\sqrt 2}{2} $ $ \frac {\sqrt 2}{2} $ 1
0 2 -4
0 0 10
$ \frac {3 \sqrt 3}{2} $ $ \frac 32 $ 4
$ \frac { \sqrt 3}{2} $ $ \frac 12 $ 0
$ - \sqrt 2 $ $ \sqrt 2 $ -2
Coordonate
sferice
$ \rho $ $ \theta $ $ \phi $
$ \sqrt 2 $ $ 45^{\circ} $ $ 45^{\circ} $
$ 2 \sqrt 5 $ $ \frac {\pi}{2} $ $ \pi- \arccos \frac {2 \sqrt 5}{5} $
10 $ 45^{\circ} $ 0
5 $ \frac {\pi}{6} $ $ \arccos \frac 45 $
1 $ \frac {\pi}{6} $ $ \frac {\pi}{2} $
$ 2 \sqrt 2 $ $ \frac {3 \pi}{4} $ $ \frac {3 \pi}{4} $
(b)
Coordonate
rectangulare
$ x $ $ y $ $ z $
$ 2 $ $ 1 $ -2
0 3 4
$ \sqrt 2 $ 1 1
$ -2 \sqrt 3 $ $ -2 $ 3
Coordonate
sferice
$ \rho $ $ \theta $ $ \phi $
3 $ \arctan \frac 12 $ $ \pi - \arccos \frac 23 $
$ 5 $ $ \frac {\pi}{2} $ $ \arccos \frac 45 $
2 $ \arctan \frac {\sqrt 2}{2} $ $ \frac {\pi}{3} $
5 $ \frac {7 \pi}{6} $ $ \arccos \frac 35 $
Coordonate
cilindrice
$ r $ $ \theta $ $ z $
$ \sqrt 5 $ $ \arctan \frac 12 $ -2
3 $ \frac {\pi}{2} $ 4
$ \sqrt 3 $ $ \arctan \frac {\sqrt 2}{2} $ 1
4 $ \frac {7 \pi}{6} $ 3


2) Descrieţi semnificaţia geometrică a următoarelor transformări de coordonate sferice:

(a) $ (\rho, \theta, \phi ) \to (\rho, \theta + \pi , \phi ) $
(b) $ (\rho, \theta, \phi ) \to (\rho, \theta , \pi - \phi ) $
(c) $ (\rho, \theta, \phi ) \to (2 \rho, \theta + \pi , \phi ) $


R.

(a) Rotaţie de unghi $ \pi $ în jurul axei $ Oz. $
(b) Reflexie pe planul $ Oxy. $
(c) Rotaţie de unghi $ \frac {\pi}{2} $ în jurul axei $ Oz $ şi o expansiune radială de factor 2.

5 Demonstraţi că pentru a reprezenta un punct din $ \mathbb R^3 $ în coordonate sferice este necesar ca $ \theta $ să ia valori pe intervalul $ [0, 2 \pi], \qquad \phi \in [0, \pi], \qquad \rho \ge 0. $ Sunt coordonatele unic determinate dacă $ \rho \le 0 ? $


Nu, $ (\rho, \theta, \phi) $ şi $ (- \rho, \theta + \pi, \pi - \phi) $ reprezintă acelaşi punct.

7

(a) $ \mathbf e_{\rho} = \frac {x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k} {x^2+y^2+z^2} = \frac {x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k}{\rho} $
$ e_{\theta} = \frac {- y \mathbf i + x \mathbf j} {x^2+y^2} = \frac {- y \mathbf i + x \mathbf j}{r} $
$ \mathbf e _{\theta} \times \mathbf j =\frac { - y \mathbf k}{\sqrt {x^2+y^2} }, \; \mathbf e_{\phi} \times \mathbf j = \frac {xz}{r \rho} \mathbf k + \frac {r}{\rho} \mathbf i. $


9

(a) Lungimea lui $ x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k $ este $ (x^2+y^2+z^2)^{1/2} = \rho. $
(b) $ \cos \phi = \frac {z}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} $
(c) $ \cos \theta =\frac {x}{(x^2+y^2)^{1/2}} $


11 $ 0 \le r \le a, \; 0 \le \theta \le 2 \pi $ înseamnă că $ (r, \theta, z) $ este în interiorul cilindrului cu rază $ a $ centrat pe axa $ Oz, $ iar $ |z| \le b $ semnifică faptul că acesta se află la o distanţă mai mică decât $ b $ faţă de planul $ Oxy. $

13 $ \frac {d}{6 \cos \phi} \le \rho \le \frac d2, \; 0 \le \theta \le 2 \pi, \; \pi - \arccos \frac 13 \le \phi \le \pi. $

15 Este o suprafaţă a cărei intersecţie cu fiecare suprafaţă $ z=c $ este o roză cu patru petale. Petalele se mărginesc către zero când $ |c| $ variază de la $ 0 $ la $ 1. $