Fandom

Math Wiki

Tratat de calcul vectorial/Spațiul euclidian/Coordonate cilindrice și sferice

< Tratat de calcul vectorial | Spațiul euclidian

1.032pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share
1.4. Coordonate cilindrice şi sferice

Cel mai cunocut mod de a reprezenta un punct în planul \mathbb R^2 o constituie coordonatele rectangulare (x,y). Anumite probleme necesită utilizarea coordonatelor polare (r, \theta), care sunt legate de cele rectangulare prin relaţiile:

x=r \cos \theta, \; \; y=r \sin \theta,

unde r \ge 0, \; 0 \le \theta \le 2 \pi.

Legatura dintre coordonatele carteziene si cele polare.PNG

Coordonatele polare ale punctului (x,y) sunt (r, \theta).

Istoric

În 1671, Isaac Newton a scris o lucrare intitulată Metoda fluxiunilor şi serii infinite, care conţinea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare.

În 1691, Jacob Bernoulli a publicat un document care de asemenea conţinea referiri la coordonatele polare. Dar, deoarece lucrarea lui Newton a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui Bernoulli.


Coordonate cilindrice

Definiţie. Coordonatele cilindrice (r, \theta, z) ale unui punct (x,y,z) sunt definite ca:

x=r \cos \theta, \; y=r \sin \theta, \; z=z. \qquad   (1)
Coordonate cilindrice 4ihrnf.PNG

Reprezentarea unui punct cu ajutorul coordonatelor cilindrice

Pentru a exprima r, \theta, z cu ajutorul lui x,y,z şi pentru a ne asigura că \theta \in [0, 2 \pi], putem scrie:

r= \sqrt {x^2+y^2}, \quad \theta = \begin{cases} \arctan \frac yx & dac \breve a \; x>0, y \ge 0 \\ \pi + \arctan \frac yx & dac \breve a \; x<0 \\ 2 \pi + \arctan \frac yx & dac \breve a \; x>0, \; y<0   \end{cases} \qquad  z=z,


unde \arctan \frac yx este luat între - \frac {\pi}{2} şi \frac {\pi}{2}. Necesitatea ca \theta \in [0,  2 \pi] determină un unic \theta şi r \ge 0 pentru un anumit x şi y. Dacă x=0, atunci \theta = \frac {\pi}{2} pentru y>0 şi \frac {3 \pi}{2} pentru y<0. Dacă x=y=0, atunci \theta nu este definit.

Cu alte cuvinte, pentru orice punct (x,y,z) se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată. Formula (1) arată faptul că, dându-se (r, \theta, z), tripletul (x,y,z) este complet determinat şi invers, dacă restricţionăm \theta la intervalul [0, 2 \pi] (uneori este convenabil şi domeniul (- \pi, \pi]) şi impunem ca r>0.

Pentru a înţelege de ce se utilizează denumirea de coordonate cilindrice, trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condiţiile 0 \le \theta < 2 \pi, \; - \infty < z < \infty şi r=a este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază a.

Coordonate cilindrice -09iuhn.PNG

Graficul unui punct ale cărui coordonate cilindrice satisfac r=a este un cilindru.


Exemple.

(a) Determinaţi coordonatele cilindrice ale punctului 6,6,8.
(b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice (8, \frac {2 \pi}{3}, -3), care sunt coordonatele carteziene?

Soluţie.

(a) Avem: r = \sqrt {6^2 + 6^2} = 6 \sqrt 2 şi \theta = \arctan \frac 66 = \frac {\pi}{4}.

Deci coordonatele cilindrice sunt (6 \sqrt 2, \frac {\pi}{4}, 8).

(b) Avem \frac {2 \pi}{3} = \frac {\pi}{2} + \frac {\pi}{6} deci
x= r \cos \theta = 8 \cos \frac {2 \pi}{3} = -4
y= r \sin \theta = 8 \sin \frac {2 \pi}{3} = 4 \sqrt 3.

Deci coordonatele carteziene sunt (-4, 4 \sqrt 3 , -3).


Coordonate sferice

Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spaţiul tridimensional. Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului x \mathbf i + y \mathbf j (care este \sqrt {x^2+y^2}) este acel r din sistemul de coordonate polare. În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k şi anume \rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2} nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul \sqrt {x^2+y^2}, unghiul \theta şi înălţimea z.

Vom modifica aceasta introducând sistemul de coordonate sferice, care utilizează \rho drept coordonată. Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei faţă de o dreaptă.

Dându-se un punct (x,y,z) \in \mathbb R^3, fie:

\rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2}

şi să reprezentăm x, y prin coordonate polare în planul xy:

x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \qquad   (2)

unde r= \sqrt {x^2+y^2} şi \theta este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru \theta care succede formulei (1)]. Coordonata z este dată de:

z= \rho \cos \phi,

unde \phi \in [0, \pi] este unghiul pe care îl face cu Oz raza vectoare \mathbf v = x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k în planul format de \mathbf v, Ox.

Cu ajutorul produsului scalar, se obţine:

\cos \phi = \frac {\mathbf v \cdot \mathbf k}{\| \mathbf v \|},  \qquad adică \phi = \arccos \left (  \frac {\mathbf v \cdot \mathbf k}{\| \mathbf v \|} \right ).
Coordonate sferice 9,48urjfn.PNG

Coordonatele sferice (\rho, \theta, \phi); graficul punctelor care satisfac \rho = a este o sferă.

Deoarece:

r= \rho \sin \phi,

putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice:

Definiţie. Coordonatele sferice ale punctului (x,y,z) reprezintă tripletul ( \rho, \theta, \phi ) definit astfel:

x= \rho \sin \phi \cos \theta, \qquad y= \rho \sin \phi \sin \theta, \qquad z= \rho \cos \phi,

unde:

\rho \ge 0, \qquad 0 \le \theta \le 2 \pi , \qquad 0 \le \phi \le \pi.


Istoric

În 1773, Joseph Louis Lagrange studia teoria gravitaţiei a lui Newton şi modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluţie. Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice.

Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigaţiei după longitudine şi latitudine. Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul \theta măsurat de la Greenwich este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul \frac {\pi}{2}- \phi este pozitiv sau negativ.


Exemple.

(a) Determinaţi coorodnatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene (1,-1,1).
(b) Determinaţi coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice (3, \frac {\pi}{6}, \frac {\pi}{4}).
(c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene (2,3,-6).

Determinaţi coordonatele sferice ale acestuia.

(d) Determinaţi coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice(1, - \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{4}).
(e) Exprimaţi suprafaţa xz=1 în coordonate sferice.
(f) Exprimaţi suprafaţa x^2+y^2 - z^2=1 în coordonate sferice.


Soluţie.

(a) \rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2} = \sqrt {1^2+(-1)^2 + 1^2} = \sqrt 3,
\theta = 2 \pi + \arctan \frac yx = 2 \pi - \frac {\pi}{4} = \frac {7 \pi}{4},
\phi = \arccos \frac {z}{\rho} = \arccos \frac {1}{\sqrt 3} \approx 0,955 \approx 54,74^{\circ}.
398euryhfb8yg.PNG


(b) x= \rho \sin \phi \cos \theta = 3 \sin \frac {\pi}{4} \cos \frac {\pi}{6} = \frac {3 \sqrt 3}{2 \sqrt 2},
y= \rho \sin \phi \sin \theta = 3 \sin \frac {\pi}{4} \sin \frac {\pi}{6} = \frac {3}{2 \sqrt 2},
z= \rho \cos \phi = 3 \cos \frac {\pi}{4} = \frac {3 \sqrt 2}{2}.
-0ijn3erfgb.PNG
(c)
\rho= \sqrt {x^2+y^2+z^2} = \sqrt {2^2+(-3)^2+6^2} = 7,
\theta = 2 \pi + \arctan \frac yx \approx 5,3004 rad \approx 303,69^{\circ}
\phi = \arccos \frac {z}{\rho} \approx 0,541 \approx 31,0^{\circ}
(d)
x= \rho \sin \phi \cos \theta = 1 \sin \frac {\pi}{4} \cos (- \frac {\pi}{2}) = 0,
y= \rho \sin \phi \sin \theta = - \frac {\sqrt 2}{2}
z= \rho \cos \theta = \frac {\sqrt 2}{2}.
(e)

Din formula (3), x= \rho \sin \phi \cos \theta, \; z= \rho \cos \phi. Ecuaţia suprafeţei devine:

\rho^2 \sin \phi \cos \theta \cos \phi =1

adică:

\rho^2 \sin 2 \phi \cos \theta.
(f)
x^2+y^2-z^2=\rho^2 - 2 \rho^2 \cos^2 \phi,

deci ecuaţia suprafeţei este:

\rho^2 (1-2 \cos^2 \phi) = 1,

adică:

- \rho^2 \cos (2 \phi) =1.


Similari vectorilor unitari \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k pentru coordonatele rectangulare, se pot defini vectori similari pentru coordonatele cilindrice şi sferice. De exemplu \mathbf e_r este vectorul unitar paralel cu planul Oxy şi orientat în direcţie radială, astfel că \mathbf e_r = (\cos \theta ) \mathbf i + (\sin \theta) \mathbf j. În mod similar, \mathbf e_{\phi} este vectorul unitar tangent la curba parametrizată prin variabila \phi, cu variabilele \rho, \theta menţinute constante.

98un2edfv5rtf.PNG

(a) Vectorii ortonormali \mathbf e_r, \mathbf e_{\theta}, \mathbf e_z asociaţi coordonatelor cilindrice
(b) Vectorii ortonormali \mathbf e_{\rho}, e_{\theta}, e_{\phi} asociaţi coordonatelor sferice.


Exerciţii

1)

(a) Următoarele puncte sunt date în coordonate cilindrice; exprimaţi-le în coordonate rectangulare şi sferice:

(1, 45^{\circ}, 1), \; (2, \frac {\pi}{2}, -4), \; (0, 45^{\circ}, 10), \;  (3, \frac {\pi}{6}, 4), \;  (1, \frac {\pi}{6}, 0), \;  (2, \frac {3 \pi}{4}, -2).

(b) Transformaţi coordonatele rectangulare ale punctelor de mai jos în coordonate sferice şi cilindrice: (2,1,-2), \; (0,3,4), \; (\sqrt 2, 1,1), \; (-2 \sqrt 3, -2, 3), \;


R.

(a)
Coordonate
cilindrice
r \theta z
1 45^{\circ} 1
2 \frac {\pi}{2} -4
0 45^{\circ} 10
3 \frac {\pi}{6} 4
1 \frac {\pi}{6} 0
2 \frac {3 \pi}{4} -2
Coordonate
rectangulare
x y z
\frac {\sqrt 2}{2} \frac {\sqrt 2}{2} 1
0 2 -4
0 0 10
\frac {3 \sqrt 3}{2} \frac 32 4
\frac { \sqrt 3}{2} \frac 12 0
- \sqrt 2  \sqrt 2 -2
Coordonate
sferice
\rho \theta \phi
\sqrt 2 45^{\circ} 45^{\circ}
2 \sqrt 5 \frac {\pi}{2} \pi- \arccos \frac {2 \sqrt 5}{5}
10 45^{\circ} 0
5 \frac {\pi}{6} \arccos \frac 45
1 \frac {\pi}{6} \frac {\pi}{2}
2 \sqrt 2 \frac {3 \pi}{4} \frac {3 \pi}{4}
(b)
Coordonate
rectangulare
x y z
2 1 -2
0 3 4
\sqrt 2 1 1
 -2  \sqrt 3 -2 3
Coordonate
sferice
\rho \theta \phi
3 \arctan \frac 12 \pi - \arccos \frac 23
5 \frac {\pi}{2}  \arccos \frac 45
2 \arctan \frac {\sqrt 2}{2} \frac {\pi}{3}
5 \frac {7 \pi}{6} \arccos \frac 35
Coordonate
cilindrice
r \theta z
\sqrt 5 \arctan \frac 12 -2
3 \frac {\pi}{2} 4
\sqrt 3 \arctan \frac {\sqrt 2}{2} 1
4 \frac {7 \pi}{6} 3


2) Descrieţi semnificaţia geometrică a următoarelor transformări de coordonate sferice:

(a) (\rho, \theta, \phi ) \to (\rho, \theta + \pi , \phi )
(b) (\rho, \theta, \phi ) \to (\rho, \theta , \pi - \phi )
(c) (\rho, \theta, \phi ) \to (2 \rho, \theta + \pi , \phi )


R.

(a) Rotaţie de unghi \pi în jurul axei Oz.
(b) Reflexie pe planul Oxy.
(c) Rotaţie de unghi \frac {\pi}{2} în jurul axei Oz şi o expansiune radială de factor 2.

5 Demonstraţi că pentru a reprezenta un punct din \mathbb R^3 în coordonate sferice este necesar ca \theta să ia valori pe intervalul [0, 2 \pi], \qquad \phi \in [0, \pi], \qquad \rho \ge 0. Sunt coordonatele unic determinate dacă \rho \le 0 ?


Nu, (\rho, \theta, \phi) şi (- \rho, \theta + \pi, \pi - \phi) reprezintă acelaşi punct.

7

(a) \mathbf e_{\rho} = \frac {x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k}  {x^2+y^2+z^2} = \frac {x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k}{\rho}
  e_{\theta} = \frac {- y \mathbf i + x \mathbf j}  {x^2+y^2} = \frac {- y \mathbf i + x \mathbf j}{r}
\mathbf e _{\theta} \times \mathbf j =\frac { - y \mathbf k}{\sqrt {x^2+y^2} }, \; \mathbf e_{\phi} \times \mathbf j = \frac {xz}{r \rho} \mathbf k + \frac {r}{\rho} \mathbf i.


9

(a) Lungimea lui  x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k este  (x^2+y^2+z^2)^{1/2} = \rho.
(b) \cos \phi = \frac {z}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}}
(c) \cos \theta =\frac {x}{(x^2+y^2)^{1/2}}


11 0 \le r \le a, \; 0 \le \theta \le 2 \pi înseamnă că (r, \theta, z) este în interiorul cilindrului cu rază a centrat pe axa Oz, iar |z| \le b semnifică faptul că acesta se află la o distanţă mai mică decât b faţă de planul Oxy.

13 \frac {d}{6 \cos \phi} \le \rho \le \frac d2, \; 0 \le \theta \le 2 \pi, \; \pi - \arccos \frac 13 \le \phi \le \pi.

15 Este o suprafaţă a cărei intersecţie cu fiecare suprafaţă z=c este o roză cu patru petale. Petalele se mărginesc către zero când |c| variază de la 0 la 1.





Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki