FANDOM


Pentru a studia mai eficient semnalul de intrare în tr-un sistem electric sau unul de control, este necesară transformarea ecuaţiilor diferenţiale în ecuaţii algebrice. Acesta se realizează prin transformata Laplace.

Intrare
Transformata Laplace
Ieşire
$ \longrightarrow \! $ $ \longrightarrow \! $
Funcţie în domeniul timp Funcţie în domeniul s


Astfel, ecuaţiile diferenţiale care descriu comportarea sistemului pe domeniul timp devin ecuaţii algebrice care descriu funcţionarea acestuia pe domeniul s.

Transformarea Laplace constă în:

Se multiplică funcţia de timp $ f(t) \! $ cu $ e^{-st}, \! $ şi calculăm integrala produsului de la zero la infinit. Dacă această integrală există, aceasta se va numi transformata Laplace:

$ F(s) = \mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt. \! $   (1)


Exemple.

a) Să determinăm transformata Laplace pentru $ f(t)=1. \! $


$ \mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st} dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right ]_0^{\infty} = \frac 1 s. \! $

Şi aceasta deoarece $ s> 0 \! $ astfel că $ e^{-st} \to 0 \! $ când $ t \to \infty. \! $


b) Să determinăm transformata Laplace pentru $ f(t)=e^{at}. \! $

$ \mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{at} e^{-st} dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} dt = \left[ \frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)} \right ]_0^{\infty} = \frac {1}{s-a}. \! $


b) Să determinăm transformata Laplace pentru $ f(t)=t. \! $

$ \mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} t e^{-st} dt \! $

Utilizând integrarea prin părţi:

$ \mathcal L\{ f(t) \} = \left [ - \frac t s e^{-st} \right ]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \frac 1 s e^{-st} dt = \left [ - \frac{1}{s^2} \right ]_0^{\infty} = \frac{1}{s^2}. \! $

Aceasta este asigurată de faptul că $ s>0. \! $

Funcţia treaptă şi impuls Edit

Functia treapta la momentul zero

Funcția treaptă

Consideră funcția treaptă $ u(t) \! $ Transformata Laplace este:

$ \mathcal L \{ u(t) \} = \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \left [ \frac{e^{-st}}{-s} \right ]_0^{\infty} = \frac 1 s. \! $

Astfel, un semnal treaptă unitară care îşi are originea la momentul zero admite o transformată Laplace de valoare 1/s.


Impuls dreptunghiular de arie unitara

Impuls dreptunghiular de arie unitară


Laplace transform 3 Laplace transform 4 Laplace transform 5 Laplace transform 6 Laplace transform 7 Laplace transform 8 Laplace transform 9 Laplace transform 10 Laplace transform 11 Laplace transform 12 Laplace transform 13 Laplace transform 14 Laplace transform 15 Laplace transform 16 Laplace transform 17 Laplace transform 18 Laplace transform 19 Laplace transform 20 Laplace transform 21 Laplace transform 22 Laplace transform 23 Laplace transform 24 Laplace transform 25 Laplace transform 26 Laplace transform 27 Laplace transform 28 Laplace transform 29 Laplace transform 30

Vezi şi Edit

Resurse Edit