Fandom

Math Wiki

Transformata Laplace

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Pentru a studia mai eficient semnalul de intrare în tr-un sistem electric sau unul de control, este necesară transformarea ecuaţiilor diferenţiale în ecuaţii algebrice. Acesta se realizează prin transformata Laplace.

Intrare
Transformata Laplace
Ieşire
\longrightarrow \! \longrightarrow \!
Funcţie în domeniul timp Funcţie în domeniul s


Astfel, ecuaţiile diferenţiale care descriu comportarea sistemului pe domeniul timp devin ecuaţii algebrice care descriu funcţionarea acestuia pe domeniul s.

Transformarea Laplace constă în:

Se multiplică funcţia de timp f(t) \! cu e^{-st}, \! şi calculăm integrala produsului de la zero la infinit. Dacă această integrală există, aceasta se va numi transformata Laplace:

F(s) = \mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt. \!   (1)


Exemple.

a) Să determinăm transformata Laplace pentru f(t)=1. \!


\mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st} dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right ]_0^{\infty} = \frac 1 s. \!

Şi aceasta deoarece s> 0 \! astfel că e^{-st} \to 0 \! când t \to \infty. \!


b) Să determinăm transformata Laplace pentru f(t)=e^{at}. \!

\mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{at} e^{-st} dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} dt = \left[ \frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)} \right ]_0^{\infty} = \frac {1}{s-a}. \!


b) Să determinăm transformata Laplace pentru f(t)=t. \!

\mathcal L\{ f(t) \} = \int_0^{\infty} t e^{-st} dt \!

Utilizând integrarea prin părţi:

\mathcal L\{ f(t) \} = \left [ - \frac t s e^{-st}  \right ]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \frac 1 s e^{-st} dt = \left [ - \frac{1}{s^2} \right ]_0^{\infty} = \frac{1}{s^2}. \!

Aceasta este asigurată de faptul că s>0. \!

Funcţia treaptă şi impuls Edit

Functia treapta la momentul zero.png

Funcția treaptă

Consideră funcția treaptă u(t) \! Transformata Laplace este:

\mathcal L \{ u(t) \} = \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \left [ \frac{e^{-st}}{-s} \right ]_0^{\infty} = \frac 1 s. \!

Astfel, un semnal treaptă unitară care îşi are originea la momentul zero admite o transformată Laplace de valoare 1/s.


Impuls dreptunghiular de arie unitara.png

Impuls dreptunghiular de arie unitară


Laplace transform 3.png Laplace transform 4.png Laplace transform 5.png Laplace transform 6.png Laplace transform 7.png Laplace transform 8.png Laplace transform 9.png Laplace transform 10.png Laplace transform 11.png Laplace transform 12.png Laplace transform 13.png Laplace transform 14.png Laplace transform 15.png Laplace transform 16.png Laplace transform 17.png Laplace transform 18.png Laplace transform 19.png Laplace transform 20.png Laplace transform 21.png Laplace transform 22.png Laplace transform 23.png Laplace transform 24.png Laplace transform 25.png Laplace transform 26.png Laplace transform 27.png Laplace transform 28.png Laplace transform 29.png Laplace transform 30.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki