FANDOM


Fie M o mulțime de puncte (notate cu litre mari: A, B, C, P, Q, ş.a.m.d.) şi V un spațiu vectorial definit peste corpul de scalari $ \mathbb K. \! $ Presupunem că există o lege care asociază fiecărei perechi ordonate de puncte din M un vector din V. Astfel, punctelor $ P, Q \in M \! $ le facem să corespundă vectorul $ \vec x \in V \! $ şi scriem $ \overrightarrow {PQ} = \vec x. \! $ P se numeşte originea vectorului $ \overrightarrow {PQ}, \! $ iar Q extremitatea sa. Mulţimea M, asociată spaţiului vectorial $ V/ \mathbb K, \! $ defineşte un spațiu afin, dacă sunt îndeplinite următoarele axiome:


1.   $ \forall P \in M, \; \forall \vec x \in V, \; \exists \; unic \; Q \in M, \; astfel \; ca \; \overrightarrow{PQ} = \vec x. \! $

2. Dacă $ \overrightarrow{PQ} = \vec x $ şi $ \overrightarrow{QR} = \vec y, $ atunci $ \overrightarrow{PR}= \vec x+ \vec y. \! $


Prin definiţie, dimensiunea spaţiului afin M este egala cu dimensiunea spaţiului vectorial $ V/ \mathbb K. \! $ Fie M un spaţiu afin n-dimensional. Fixăm un punct $ O \in M \! $ şi o bază $ \{ \vec e_i \}_{i=\overline{1, n}} \! $ în $ V/ \mathbb K. \! $ Ansamblul $ \left ( O, \{ \vec e_i \}_{i=\overline{1, n}} \right ) \! $ va fi numit sistem de coordonate afine în M. O este originea coordonatelor, iar $ \vec e_i, \; i= \overline{1, n}, \! $ sunt vectorii bazei.

Fie $ P \in M \! $ un punct arbitrar. Perechii ordonate de puncte (O, P) îi facem să corespundă vectorul $ \overrightarrow {OP}, \! $ numit vector de poziţie al lui P faţă de O. Componentele vectorului de poziţie $ \vec x= \overrightarrow{OP}= \sum_{i=1}^n \vec x_i \vec e_i, \! $ în baza $ \{\vec e_i \}_{i= \overline{1, n}}, \; \; \{x_i \}_{\overline{1, n}} \! $ se numesc coordonatele afine ale punctului P în raport cu sistemul de coordonate afine ales.

În fine, fie $ Q \in M \! $ un alt punct, având coordonatele afine $ \{y_i\}_{i= \overline{1, n}} \! $ în raport cu acelaşi sistem de coordonate afine. Atunci, conform axiomei 2) de definire a spaţiului afin, rezultă:

$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OQ} = \sum_{i=1}^n (y_i- x_i) \vec e_i. \! $

Coordonatele $ \{ y_i- x_i \}_{i= \overline{1, n}} \! $ se numesc coordonate canonice (relative) ale vectorului $ \overrightarrow{PQ}. \! $


Fie $ \mathbb R \! $ mulţimea numerelor reale şi $ \mathbb R^n \! $ un spațiu vectorial dimensional. După cum s-a demonstrat, spațiul afin n-dimensional $ A^n \! $ se defineşte pe $ \mathbb R^n \! $ cu ajutorul grupului de translaţii:

$ a \rightarrow a + \mathbf b, \; \; a \in A^n, \; \; \mathbf b \in \mathbb R^n, \; \; a + \mathbf b \in A^n. \! $

Cu alte cuvinte, diferenţa a două puncte ale spaţiului afin $ A^n \! $ este un vector din spaţiul vectorial $ \mathbb R^n. \! $

Dacă pe spaţiul vectorial $ \mathbb R^n \! $ introducem o formă biliniară, simetrică şi pozitiv definită $ \langle, \rangle \! $ (numită produs scalar), spunem că am definit o structură euclidiană. Fie $ x, y \in A^n . \! $ Distanţa dintre punctele x şi y este dată de:

$ \rho_n(x, y) = \| x-y\|_n = \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle} \! $

Spaţiul afin $ A^n, \! $ înzestrat cu distanţa $ \rho_n, \! $ se numeşte spaţiul euclidian n-dimensional şi se notează $ E^n. \! $


Structura spaţio-temporală galileană, specifică mecanicii clasice, cuprinde următoarele elemente esenţiale:

1) Universul evenimentelor (sau continuumul spaţio-temporal) este un spaţiu afin cvadridimensional $ A^4. \! $ Punctele lui $ A^4 \! $ se numesc evenimente. Translaţiile pe $ A^4 \! $ generează spaţiul vectorial $ R^4. \! $

2) Timpul este o aplicație liniară $ t: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R , \! $ definită pe spaţiul vectorial al translaţiilor universului evenimentelor de valori pe axa temporală $ \mathbb R. \! $ Intervalul de timp dintre evenimentul $ a \in A^4 \! $ şi evenimentul $ b \in A^4 \! $ este numărul real $ t(b-a) . \! $ Dacă $ t(b-a)=0, \! $ evenimentele a şi b se numesc simultane. Mulţimea evenimentelor simultane formează, în universul evenimentelor $ A^4, \! $ un subspaţiu afin $ A^3 \! $ numit spaţiul evenimentelor simultane. Nucleul aplicaţiei t este alcătuit din translaţiile pe $ A^4 \! $ care duc la un eveniment arbitrar îintr-un eveniment simultan cu el. Prin urmare, nucleul funcţiei t va fi izomorf cu subspaţiul vectorial $ \mathbb R^3 \! $ al lui $ \mathbb R^4. \! $


Vezi şi Edit

Resurse Edit