Fandom

Math Wiki

Transformările lui Galilei

1.032pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Fie M o mulțime de puncte (notate cu litre mari: A, B, C, P, Q, ş.a.m.d.) şi V un spațiu vectorial definit peste corpul de scalari \mathbb K. \! Presupunem că există o lege care asociază fiecărei perechi ordonate de puncte din M un vector din V. Astfel, punctelor P, Q \in M \! le facem să corespundă vectorul \vec x \in V \! şi scriem \overrightarrow {PQ} = \vec x. \! P se numeşte originea vectorului \overrightarrow {PQ}, \! iar Q extremitatea sa. Mulţimea M, asociată spaţiului vectorial V/ \mathbb K, \! defineşte un spațiu afin, dacă sunt îndeplinite următoarele axiome:


1.   \forall P \in M, \; \forall \vec x \in V, \; \exists \; unic \; Q \in M, \; astfel \; ca \; \overrightarrow{PQ} = \vec x. \!

2. Dacă \overrightarrow{PQ} = \vec x şi \overrightarrow{QR} = \vec y, atunci \overrightarrow{PR}= \vec x+ \vec y. \!


Prin definiţie, dimensiunea spaţiului afin M este egala cu dimensiunea spaţiului vectorial V/ \mathbb K. \! Fie M un spaţiu afin n-dimensional. Fixăm un punct O \in M \! şi o bază \{ \vec e_i \}_{i=\overline{1, n}} \! în V/ \mathbb K. \! Ansamblul \left ( O, \{ \vec e_i \}_{i=\overline{1, n}} \right ) \! va fi numit sistem de coordonate afine în M. O este originea coordonatelor, iar \vec e_i, \; i= \overline{1, n}, \! sunt vectorii bazei.

Fie P \in M \! un punct arbitrar. Perechii ordonate de puncte (O, P) îi facem să corespundă vectorul \overrightarrow {OP}, \! numit vector de poziţie al lui P faţă de O. Componentele vectorului de poziţie \vec x= \overrightarrow{OP}= \sum_{i=1}^n \vec x_i \vec e_i,  \! în baza \{\vec e_i \}_{i= \overline{1, n}}, \; \; \{x_i \}_{\overline{1, n}} \! se numesc coordonatele afine ale punctului P în raport cu sistemul de coordonate afine ales.

În fine, fie Q \in M \! un alt punct, având coordonatele afine \{y_i\}_{i= \overline{1, n}} \! în raport cu acelaşi sistem de coordonate afine. Atunci, conform axiomei 2) de definire a spaţiului afin, rezultă:

\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OQ} = \sum_{i=1}^n (y_i- x_i) \vec e_i. \!

Coordonatele \{ y_i- x_i \}_{i= \overline{1, n}} \! se numesc coordonate canonice (relative) ale vectorului \overrightarrow{PQ}. \!


Fie \mathbb R \! mulţimea numerelor reale şi \mathbb R^n \! un spațiu vectorial dimensional. După cum s-a demonstrat, spațiul afin n-dimensional A^n \! se defineşte pe \mathbb R^n \! cu ajutorul grupului de translaţii:

a \rightarrow a + \mathbf b, \; \; a \in A^n, \; \; \mathbf b \in \mathbb R^n, \; \; a + \mathbf b \in A^n. \!

Cu alte cuvinte, diferenţa a două puncte ale spaţiului afin A^n \! este un vector din spaţiul vectorial \mathbb R^n. \!

Dacă pe spaţiul vectorial \mathbb R^n \! introducem o formă biliniară, simetrică şi pozitiv definită \langle,  \rangle \! (numită produs scalar), spunem că am definit o structură euclidiană. Fie x, y \in A^n . \! Distanţa dintre punctele x şi y este dată de:

\rho_n(x, y) = \| x-y\|_n = \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle} \!

Spaţiul afin A^n, \! înzestrat cu distanţa \rho_n, \! se numeşte spaţiul euclidian n-dimensional şi se notează E^n. \!


Structura spaţio-temporală galileană, specifică mecanicii clasice, cuprinde următoarele elemente esenţiale:

1) Universul evenimentelor (sau continuumul spaţio-temporal) este un spaţiu afin cvadridimensional A^4. \! Punctele lui A^4 \! se numesc evenimente. Translaţiile pe A^4 \! generează spaţiul vectorial R^4. \!

2) Timpul este o aplicație liniară t: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R , \! definită pe spaţiul vectorial al translaţiilor universului evenimentelor de valori pe axa temporală \mathbb R. \! Intervalul de timp dintre evenimentul a \in A^4 \! şi evenimentul b \in A^4 \! este numărul real t(b-a) . \! Dacă t(b-a)=0, \! evenimentele a şi b se numesc simultane. Mulţimea evenimentelor simultane formează, în universul evenimentelor A^4, \! un subspaţiu afin A^3 \! numit spaţiul evenimentelor simultane. Nucleul aplicaţiei t este alcătuit din translaţiile pe A^4 \! care duc la un eveniment arbitrar îintr-un eveniment simultan cu el. Prin urmare, nucleul funcţiei t va fi izomorf cu subspaţiul vectorial \mathbb R^3 \! al lui \mathbb R^4. \!


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki