Fandom

Math Wiki

Transformările lui Galilei

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie M o mulțime de puncte (notate cu litre mari: A, B, C, P, Q, ş.a.m.d.) şi V un spațiu vectorial definit peste corpul de scalari \mathbb K. \! Presupunem că există o lege care asociază fiecărei perechi ordonate de puncte din M un vector din V. Astfel, punctelor P, Q \in M \! le facem să corespundă vectorul \vec x \in V \! şi scriem \overrightarrow {PQ} = \vec x. \! P se numeşte originea vectorului \overrightarrow {PQ}, \! iar Q extremitatea sa. Mulţimea M, asociată spaţiului vectorial V/ \mathbb K, \! defineşte un spațiu afin, dacă sunt îndeplinite următoarele axiome:


1.   \forall P \in M, \; \forall \vec x \in V, \; \exists \; unic \; Q \in M, \; astfel \; ca \; \overrightarrow{PQ} = \vec x. \!

2. Dacă \overrightarrow{PQ} = \vec x şi \overrightarrow{QR} = \vec y, atunci \overrightarrow{PR}= \vec x+ \vec y. \!


Prin definiţie, dimensiunea spaţiului afin M este egala cu dimensiunea spaţiului vectorial V/ \mathbb K. \! Fie M un spaţiu afin n-dimensional. Fixăm un punct O \in M \! şi o bază \{ \vec e_i \}_{i=\overline{1, n}} \! în V/ \mathbb K. \! Ansamblul \left ( O, \{ \vec e_i \}_{i=\overline{1, n}} \right ) \! va fi numit sistem de coordonate afine în M. O este originea coordonatelor, iar \vec e_i, \; i= \overline{1, n}, \! sunt vectorii bazei.

Fie P \in M \! un punct arbitrar. Perechii ordonate de puncte (O, P) îi facem să corespundă vectorul \overrightarrow {OP}, \! numit vector de poziţie al lui P faţă de O. Componentele vectorului de poziţie \vec x= \overrightarrow{OP}= \sum_{i=1}^n \vec x_i \vec e_i,  \! în baza \{\vec e_i \}_{i= \overline{1, n}}, \; \; \{x_i \}_{\overline{1, n}} \! se numesc coordonatele afine ale punctului P în raport cu sistemul de coordonate afine ales.

În fine, fie Q \in M \! un alt punct, având coordonatele afine \{y_i\}_{i= \overline{1, n}} \! în raport cu acelaşi sistem de coordonate afine. Atunci, conform axiomei 2) de definire a spaţiului afin, rezultă:

\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OQ} = \sum_{i=1}^n (y_i- x_i) \vec e_i. \!

Coordonatele \{ y_i- x_i \}_{i= \overline{1, n}} \! se numesc coordonate canonice (relative) ale vectorului \overrightarrow{PQ}. \!


Fie \mathbb R \! mulţimea numerelor reale şi \mathbb R^n \! un spațiu vectorial dimensional. După cum s-a demonstrat, spațiul afin n-dimensional A^n \! se defineşte pe \mathbb R^n \! cu ajutorul grupului de translaţii:

a \rightarrow a + \mathbf b, \; \; a \in A^n, \; \; \mathbf b \in \mathbb R^n, \; \; a + \mathbf b \in A^n. \!

Cu alte cuvinte, diferenţa a două puncte ale spaţiului afin A^n \! este un vector din spaţiul vectorial \mathbb R^n. \!

Dacă pe spaţiul vectorial \mathbb R^n \! introducem o formă biliniară, simetrică şi pozitiv definită \langle,  \rangle \! (numită produs scalar), spunem că am definit o structură euclidiană. Fie x, y \in A^n . \! Distanţa dintre punctele x şi y este dată de:

\rho_n(x, y) = \| x-y\|_n = \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle} \!

Spaţiul afin A^n, \! înzestrat cu distanţa \rho_n, \! se numeşte spaţiul euclidian n-dimensional şi se notează E^n. \!


Structura spaţio-temporală galileană, specifică mecanicii clasice, cuprinde următoarele elemente esenţiale:

1) Universul evenimentelor (sau continuumul spaţio-temporal) este un spaţiu afin cvadridimensional A^4. \! Punctele lui A^4 \! se numesc evenimente. Translaţiile pe A^4 \! generează spaţiul vectorial R^4. \!

2) Timpul este o aplicație liniară t: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R , \! definită pe spaţiul vectorial al translaţiilor universului evenimentelor de valori pe axa temporală \mathbb R. \! Intervalul de timp dintre evenimentul a \in A^4 \! şi evenimentul b \in A^4 \! este numărul real t(b-a) . \! Dacă t(b-a)=0, \! evenimentele a şi b se numesc simultane. Mulţimea evenimentelor simultane formează, în universul evenimentelor A^4, \! un subspaţiu afin A^3 \! numit spaţiul evenimentelor simultane. Nucleul aplicaţiei t este alcătuit din translaţiile pe A^4 \! care duc la un eveniment arbitrar îintr-un eveniment simultan cu el. Prin urmare, nucleul funcţiei t va fi izomorf cu subspaţiul vectorial \mathbb R^3 \! al lui \mathbb R^4. \!


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki