Traiectorie

Generalităţi 1

Traiectoria unui mobil este curba descrisă de centrul de greutate al acestuia in decursul miscării, adică locul geometric al pozițiilor succesive ocupate de mobil in decursul miscării. In mecanica clasică se consideră că traiectoria corpului este bine determinată, iar mulțimea pozițiilor succesive ocupate de acesta in decursul miscării este continuă.

Pentru a studia modul in care se modifică in timp poziția unui punct material in raport cu un altul, este nevoie de a defini un sistem de referință (denumit adesea si reper), considerat fix in contextul problemei de studiat. Poziția in raport cu reperul a punctului material a cărui miscare o studiem este precizată prin asa-numitul vector de poziție. Acesta, notat cel mai adesea cu $\vec r \!$ , are originea in originea reperului, iar varful – in punctul material studiat. Proiecțiile lui $\vec r \!$ pe axele sistemului de referință utilizat (notat prescurtat cu SR) determină, de asemenea, in mod univoc, poziția unui punct din spațiu.

Intr-un spațiu tridimensional, poziția mobilului, notată cu P in Fig.1.1, este determinată de un triplet de numere, numite coordonate, care reprezintă distanțe si/sau unghiuri. Utilizarea reprezentării vectoriale are avantajul că expresiile mărimilor cinematice nu depind de tipul de coordonate ales.

Să descriem, asadar, poziția unui punct material care se deplasează pe o curbă oarecare, cu ajutorul unui vector de poziție, notat $\vec r \!$ (Fig.1.1). Legea de miscare a mobilului este exprimată generic prin ecuația vectorială:

\vec r \! = \vec r (t),\!

(1)

care este echivalentă cu trei ecuații scalare, ce descriu variațiile in timp ale coordonatelor mobilului. De exemplu, in cazul unui sistem de coordonate cartezian tridimensional:

{\displaystyle \begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \\ z = z(t). \end{cases}}

(2)

Ecuațiile (2) se numesc ecuații parametrice ale miscării (parametrul este timpul t). Prin eliminarea timpului din ecuațiile parametrice sus-menționate, se obține ecuația traiectoriei.

Principiul perfectei localizări

Conform principiului perfectei localizări, se presupune că punctul material descrie o traiectorie continuă bine determinată, că în fiecare moment ocupă pe traiectorie o poziţie bine determinată şi că această poziţie variază în timp în mod continuu. Aceasta înseamnă că coordonatele punctului material x, y, z sunt funcții finite, uniforme şi continue de timp:

x= f_1 (t), \; y= f_2 (t), \; z= f_3 (t), \!

(3)

\vec r = x \vec i + y \vec j + z \vec k = f_1(t) \vec i +  f_2(t) \vec j +  f_3(t) \vec k = \vec r (t). \!

(4)

Distanța dintre două puncte din spațiu se numeste metrică. Mecanica newtoniană foloseste metrica euclidiană, denumită adesea si metrica galileeană, in memoria lui Galileo Galilei.^[1] Distanța dintre două puncte $P_1(x_1, y_1, z_1) \!$ si $P_2(x_2, y_2, z_2) \!$ , exprimată intr-un sistem de coordonate carteziene, este dată de relația:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

(1.1)

Modelul matematic al traiectoriei

Fie $M(t) \in E_3, \!$ unde $t \in \mathbb R. \!$ Dubletul $(M(t), m), \!$ unde $m>0 \!$ este o constantă numită masă, poartă denumirea de punct material. Componentele punctului material (ca element al spațiului aritmetic $\mathbb R^3 \!$ ):

M= (x_M(t), y_M(t), z_M(t)) \!

putând varia, punctul material trebuie privit ca fiind perpetuu în mișcare (mobil). Variabila considerată aici este timpul.

Modelul matematic al timpului ca variabilă reală ține seama de caracteristicile acestuia, admise de mecanica clasică. Timpul este:

infinit (fără început sau sfârșit)

ireversibil (succesiunea evenimentelor nu poate fi modificată)

absolut (independent de spațiu)

omogen.

În particular, doi observatori evaluează timpul în mod identic, "durata" unui fenomen coincizând la amândoi, independent de mișcarea instrumentelor de măsură.

Scopul mecanicii punctului material este acela de a studia comportamentul acestuia (mișcare/repaus) față de diferite repere ale spațiului fizic. Astfel, calculele specifice mecanicii teoretice nu au sens dacă nu se precizează reperul (numit de obicei, sistem de referință) în raport cu care au fost efectuate.

Despre vectorul:

\overline {OM} = x(t) \vec i + y(t) \vec j + z(t) \vec k \overset{not}{=} \overline r(t) \!

se presupune, în general, că aparține lui $\mathcal C^{\infty} (\mathbb R, T \mathbb R^3); \!$ în acest sens, mecanica newtoniană este netedă. Deși derivatele de ordin $n \ge 3 \!$ nu vor fi prezente în ecuațiile mecanicii teoretice, se pare că anumite mărimi fizice care caracterizează fenomene ce implică variația extrem de rapidă în timp a modulului forțelor (ciocniri, cutremure, etc.) pot fi exprimate cu ajutorul acestora. Gradul de confort al unui autovehicul este precizat folosind derivatele de ordinul $n=3 \!$ (supraaccelerația). Vectorul $\overline r(t) \!$ se numește raza vectoare a punctului material M.

Vectorul $\overrightarrow {OM} \!$ este vectorul de poziție al punctului material M. Mulțimea:

\Gamma = \{ M(t) \; : \; t \in \mathbb R \} \!

(locul geometric al punctelor prin care trece mobilul) se numește traiectoria punctului material M.

Vectorul:

\dot {\overline r} (t) = \dot x (t) \overline i + \dot y (t) \overline j + \dot z (t) \overline k \overset {not}{=} \overline v(t) \!

este vectorul-viteză al punctului material M. Aici, $''\cdot {} '' \; \overset{not}{=} \; \frac{d}{dt}. \!$

Prin viteza punctului material M înțelegem vectorul $\overrightarrow {MN} \in \overline v(t). \!$ Atunci când nu este pericol de confuzie, prin viteză vom înțelege și mărimea $v(t) = \overset {def}{=} |\overline v(t)|. \!$

Vectorul:

\ddot {\overline r}(t) = \ddot x (t) \overline i + \ddot y (t) \overline j + \ddot z (t) \overline k  \overset {not}{=} \overline a(t) \!

este vectorul-accelerație al punctului material 'M. Prin accelerația punctului material M înțelegem vectorul $\overrightarrow {MP} \in \overline a (t). \!$ Atunci când nu există pericol de confuzie, prin accelerație vom înțelege și mărimea $a(t) \overset{def}{=} |\overline a (t)|. \!$

Noțiunile cinematice de mai sus se definesc în raport cu oricare dintre reperele din spațiul fizic în mod analog. În plus, punctul material M poate fi în repaus față de un reper al spațiului fizic ( $\overline r(t) = const. \!$ ) și în mișcare față de altul ( $v(t) >0 \!$ ). Este, de asemenea, subînțeles că orice două repere ale spațiului fizic se mișcă neted ( $\mathcal C^{\infty} \!$ ) unul față de celălalt.

Note

↑ Galileo Galilei (1564-1642), fizician italian, este considerat primul om de stiință al epocii moderne. Prin- cipalele sale contribuții in fizică sunt legate de descoperirea legilor miscării pendulului, ale căderii libere a corpurilor, precum si unele dispozitive tehnice (luneta astronomică, un nou model de pompa hidraulică, balanța hidrostatică). A susținut ipoteza heliocentrică a lui Copernicus. Cartea sa cea mai importantă este Dialoguri despre principalele două sisteme ale lumii, publicată la Florența in 1632 si dedicată analizei critice a sistemului geocentric al lui Ptolemeu si, respectiv, heliocentric al lui Copernicus. Printr-o coincidență, 1642 este anul morții lui Galilei si nasterii lui Newton. Informații suplimentare despre viața si opera lui Galilei pot fi găsite si la adresa de web: Galileo.imss.firenze.it

Vezi și

[1] Galileo Galilei (1564-1642), fizician italian, este considerat primul om de stiință al epocii moderne. Prin- cipalele sale contribuții in fizică sunt legate de descoperirea legilor miscării pendulului, ale căderii libere a corpurilor, precum si unele dispozitive tehnice (luneta astronomică, un nou model de pompa hidraulică, balanța hidrostatică). A susținut ipoteza heliocentrică a lui Copernicus. Cartea sa cea mai importantă este Dialoguri despre principalele două sisteme ale lumii, publicată la Florența in 1632 si dedicată analizei critice a sistemului geocentric al lui Ptolemeu si, respectiv, heliocentric al lui Copernicus. Printr-o coincidență, 1642 este anul morții lui Galilei si nasterii lui Newton. Informații suplimentare despre viața si opera lui Galilei pot fi găsite si la adresa de web: Galileo.imss.firenze.it

[1]