Fandom

Math Wiki

Tor

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Param torus anim.gif Blue torus.jpg Colored torus.png Tipuri de tor.png Pink background torus.png

Suprafaţa:

S =4 \pi^2 R r \!


Volumul:

V = 2 \pi^2 R r^2 \!

Ecuaţia arcului superior al cercului generator este:

f_1(x) = A+ \sqrt {a^2-x^2} \; \; \; a, A >0, \!

unde b=A-a \! este raza interioară a torului. A este distanţa de la centrul torului la centru cercului generator, iar a raza cercului generator.

Arcul inferior al cercului generator e dat de:

f_2(x)= A- \sqrt {a^2-x^2}. \!

Calculul volumului Edit

Torus VRML.gif

Volumul se calculează utilizând formula volumului generat de o suprafaţă de revoluţie dată de funcţia f(x) \! pentru x \in [a, b]: \!

V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx. \!

În cazul nostru:

V = \pi \int_{-a}^a (A+ \sqrt {a^2-x^2})^2 - (A - \sqrt {a^2-x^2})^2 dx = \!
= \pi \left  [ Aa^2 \sin^{-1} ( \frac x a) + Ax \sqrt {a^2-x^2} - \frac {x^3}{3} + (A^2 + a^2)x + \right. \!
\left. + Aa^2 \sin^{-1} ( \frac x a) + Ax \sqrt {a^2-x^2} + \frac {x^3}{3} - (A^2 + a^2)x \right ] _{-a}^a = \!
= \pi \left [ zAa^2 \sin^{-1} (\frac x a) + 2Ax \sqrt {a^2-x^2} \right ] _{-a}^a = \!
= 2 \pi Aa^2. \!

Dacă b este raza interioară a torului, iar c cea exteroară, atunci A = \frac {b+c}{2} \! şi a = \frac {c-b}{2} \! şi volumul va fi:

V= \frac {\pi^2}{4} (b+c) (c-b)^2 \!

Calculul ariei Edit

Utilizăm formula pentru calculul suprafeţei descrisă de funcţia f(x) \! pentru x \in [a, b] \! ce se roteşte în jurul lui Ox

A= 2 \pi \int_a^b \sqrt {1+ f'(x)} dx. \!

Sunt necesare derivatele lui f_1 \! şi f_2: \!

f'_1(x) = \frac {-x}{\sqrt {a^2-x^2}} \; \; \; f'_2(x) = \frac {x}{\sqrt {a^2-x^2}}. \!
A= 2 \pi \int_{-a}^a f_1(x) \sqrt {1 + f'_1 (x)^2} + f_2(x) \sqrt {1 + f'_2(x)^2} dx = \!
= 4 \pi Aa \left [ \arctan \left ( \frac {x}{\sqrt {a^2-x^2}} \right ) \right ] _{-a}^a = \!
= 4 \pi^2 Aa = \!
= \pi (b+c)(c-b). \!


De asemenea, putem să utilizăm parametrizarea torului:

x(u, v) = (Aa \cos u \cos v, Aa \cos u \sin v, a \sin u), \; (u, v) \in (0, 2 \pi) \times (0, 2 \pi) = U \!

Formula unei suprafeţe bidimensionale R, în \mathbb R^3 \!:

A(R) = \int_{x^{-1} (R)} |x_u \land x_v| du dv = \int_{x^{-1} (R)} \sqrt {EG-F^2} du dv, \!

unde E, G, F: U \rightarrow \mathbb R \! sunt coeficienţii primei forme fundamentale (do Carno, 1976), R \subset U' \! o mulţime compactă, iar U(x) \! este acoperirea suprafeţei căreia îi determinăm aria. x_u \! şi x_v \! sunt derivatele parţiale ale lui x.

x: U \rightarrow U' \supset R \! acoperă întregul tor cu excepţia cercurilor. Dar acestea sunt de dimensiune 1 iar integrala de suprfaţă este nulă pe o curbă unidimensională, astfel că nu se modifică aria.

E= \langle x_u, x_v \rangle = r^2 \!
 F=  \langle x_u, x_v \rangle =0 \!
G =  \langle x_u, x_v \rangle = (a \cos u - A)^2 \!

Dacă (u, v) \in (\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon) \times (\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon) \! şi

R_{\varepsilon} = \overline {x ((\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon) \times (\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon))} \!

atunci A(R_{\varepsilon}) \rightarrow A(R) \! căci \varepsilon \rightarrow 0. \!

\int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} a^2 \cos u + Aa du dv = \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} a(a \cos u + A) 2 (\pi - \varepsilon) du = \!
= 4 (\pi- \varepsilon)^2 a A + 2 (\pi - \varepsilon) a \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} a \cos u du= \!
= 4 (\pi - \varepsilon)^2 aA + 2 (\pi - \varepsilon) a^2 (\sin (2 \pi - \varepsilon) - \sin (\varepsilon)) \rightarrow \!
\rightarrow 4 \pi Aa  \! când \varepsilon \rightarrow 0. \!

Tangenta la tor 1.png Tangenta la tor 2.png Tangenta la tor 3.png Tangenta la tor 4.png Tangenta la tor 5.png Tangenta la tor 6.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki