FANDOM


Param torus anim Blue torus Colored torus Tipuri de tor Pink background torus

Suprafaţa:

$ S =4 \pi^2 R r \! $


Volumul:

$ V = 2 \pi^2 R r^2 \! $

Ecuaţia arcului superior al cercului generator este:

$ f_1(x) = A+ \sqrt {a^2-x^2} \; \; \; a, A >0, \! $

unde $ b=A-a \! $ este raza interioară a torului. A este distanţa de la centrul torului la centru cercului generator, iar a raza cercului generator.

Arcul inferior al cercului generator e dat de:

$ f_2(x)= A- \sqrt {a^2-x^2}. \! $

Calculul volumului Edit

Torus VRML

Volumul se calculează utilizând formula volumului generat de o suprafaţă de revoluţie dată de funcţia $ f(x) \! $ pentru $ x \in [a, b]: \! $

$ V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx. \! $

În cazul nostru:

$ V = \pi \int_{-a}^a (A+ \sqrt {a^2-x^2})^2 - (A - \sqrt {a^2-x^2})^2 dx = \! $
$ = \pi \left [ Aa^2 \sin^{-1} ( \frac x a) + Ax \sqrt {a^2-x^2} - \frac {x^3}{3} + (A^2 + a^2)x + \right. \! $
$ \left. + Aa^2 \sin^{-1} ( \frac x a) + Ax \sqrt {a^2-x^2} + \frac {x^3}{3} - (A^2 + a^2)x \right ] _{-a}^a = \! $
$ = \pi \left [ zAa^2 \sin^{-1} (\frac x a) + 2Ax \sqrt {a^2-x^2} \right ] _{-a}^a = \! $
$ = 2 \pi Aa^2. \! $

Dacă b este raza interioară a torului, iar c cea exteroară, atunci $ A = \frac {b+c}{2} \! $ şi $ a = \frac {c-b}{2} \! $ şi volumul va fi:

$ V= \frac {\pi^2}{4} (b+c) (c-b)^2 \! $

Calculul ariei Edit

Utilizăm formula pentru calculul suprafeţei descrisă de funcţia $ f(x) \! $ pentru $ x \in [a, b] \! $ ce se roteşte în jurul lui Ox

$ A= 2 \pi \int_a^b \sqrt {1+ f'(x)} dx. \! $

Sunt necesare derivatele lui $ f_1 \! $ şi $ f_2: \! $

$ f'_1(x) = \frac {-x}{\sqrt {a^2-x^2}} \; \; \; f'_2(x) = \frac {x}{\sqrt {a^2-x^2}}. \! $
$ A= 2 \pi \int_{-a}^a f_1(x) \sqrt {1 + f'_1 (x)^2} + f_2(x) \sqrt {1 + f'_2(x)^2} dx = \! $
$ = 4 \pi Aa \left [ \arctan \left ( \frac {x}{\sqrt {a^2-x^2}} \right ) \right ] _{-a}^a = \! $
$ = 4 \pi^2 Aa = \! $
$ = \pi (b+c)(c-b). \! $


De asemenea, putem să utilizăm parametrizarea torului:

$ x(u, v) = (Aa \cos u \cos v, Aa \cos u \sin v, a \sin u), \; (u, v) \in (0, 2 \pi) \times (0, 2 \pi) = U \! $

Formula unei suprafeţe bidimensionale R, în $ \mathbb R^3 \! $:

$ A(R) = \int_{x^{-1} (R)} |x_u \land x_v| du dv = \int_{x^{-1} (R)} \sqrt {EG-F^2} du dv, \! $

unde $ E, G, F: U \rightarrow \mathbb R \! $ sunt coeficienţii primei forme fundamentale (do Carno, 1976), $ R \subset U' \! $ o mulţime compactă, iar $ U(x) \! $ este acoperirea suprafeţei căreia îi determinăm aria. $ x_u \! $ şi $ x_v \! $ sunt derivatele parţiale ale lui x.

$ x: U \rightarrow U' \supset R \! $ acoperă întregul tor cu excepţia cercurilor. Dar acestea sunt de dimensiune 1 iar integrala de suprfaţă este nulă pe o curbă unidimensională, astfel că nu se modifică aria.

$ E= \langle x_u, x_v \rangle = r^2 \! $
$ F= \langle x_u, x_v \rangle =0 \! $
$ G = \langle x_u, x_v \rangle = (a \cos u - A)^2 \! $

Dacă $ (u, v) \in (\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon) \times (\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon) \! $ şi

$ R_{\varepsilon} = \overline {x ((\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon) \times (\varepsilon, 2 \pi - \varepsilon))} \! $

atunci $ A(R_{\varepsilon}) \rightarrow A(R) \! $ căci $ \varepsilon \rightarrow 0. \! $

$ \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} a^2 \cos u + Aa du dv = \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} a(a \cos u + A) 2 (\pi - \varepsilon) du = \! $
$ = 4 (\pi- \varepsilon)^2 a A + 2 (\pi - \varepsilon) a \int_{\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} a \cos u du= \! $
$ = 4 (\pi - \varepsilon)^2 aA + 2 (\pi - \varepsilon) a^2 (\sin (2 \pi - \varepsilon) - \sin (\varepsilon)) \rightarrow \! $
$ \rightarrow 4 \pi Aa \! $ când $ \varepsilon \rightarrow 0. \! $

Tangenta la tor 1 Tangenta la tor 2 Tangenta la tor 3 Tangenta la tor 4 Tangenta la tor 5 Tangenta la tor 6

Resurse Edit