Fandom

Math Wiki

Topologie

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Topologischer Raum - Figur.png

Topologie pe ℝ Edit

DEFINIŢIA 1. O vecinătate a punctului x \in \mathbb R^1 \! este o mulțime V \subset \mathbb R^1 \! care conţine un interval deschis (a, b) \subset \mathbb R^1 \! ce conţine pe x: adică x \in (a, b) \subset V. \!

Orice interval deschis care conţine pe x este o vecinătate pentru x. Un interval deschis este vecinătate pentru orice x ce aparţine intervalului.


DEFINIŢIA 2. Un punct x \in \mathbb R^1 \! este punct interior al mulţimii A \subset \mathbb R^1 \! dacă există un interval deschis (a, b) \! astfel încât x \in (a, b) \subset A. \!

Un punct x al intervalului (a, b) \! este un punct interior al mulţimii (a, b). \!


DEFINIŢIA 3. Interiorul unei mulţimi A \subset \mathbb R^1 \! este mulţimea punctelor interioare ale lui A.

Interiorul mulţimii A se notează Int(A) \! sau cu \overset {\circ}{A} . \! Dacă A=(a, b), \! atunci \overset {\circ}{A} = (a, b) = A. \!


DEFINIŢIA 4. Mulţimea A \subset \mathbb R^1 \! este deschisă dacă A = \overset {\circ}{A}. \!

Orice interval deschis este o mulțime deschisă. Mulţimea A \subset \mathbb R^1 \! este deschisă, dacă şi numai dacă fiecare punct al ei este în mulţime cu o întreagă vecinătate. Reuniunea unei familii de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Intersecţia unui număr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisă. Mulţimea numerelor reale \mathbb R^1 \! şi mulţimea vidă \empty \! sunt mulţimi deschise.

DEFINIŢIA 5. Mulţimea A \subset \mathbb R^1 \! este închisă dacă complementara ei \mathcal C_{\mathbb R^1} A \! este deschisă.

Orice interval închis [a, b] \! este o mulţime închisă. Intersecţia unei familii de mulţimi închise este închisă. Reuniunea unui număr finit de mulţimi închise este o mulţime închisă. Mulţimea numerelor reale \mathbb R^1 \! şi mulţimea vidă \empty \! sunt mulţimi închise.


DEFINIŢIA 6. Punctul x \in \mathbb R^1 \! este punct limită sau punct de acumulare al mulţimii A \subset \mathbb R^1, \! dacă orice vecinătate V a lui x conţine cel puţin un punct y din A care este diferit de x; y \neq x \! şi y \in V \cap A. \!


DEFINIŢIA 7. Închiderea \overline A \! a mulţimii A \subset \mathbb R^1 \! este intersecţia tuturor mulţimilor închise care conţin mulţimea A.

Închiderea unei mulţimi A are următoarele proprietăţi:

\overline A \supset A; \; \overline {\overline A} = \overline A; \; \overline {A \cup B} = \overline A \cup \overline B; \!

\overline A = A\! dacă şi numai dacă A este mulţime închisă.  \!

x \in \overline A \! dacă şi numai dacă orice vecinătate V a lui x intersectează mulţimea A (V \cap A \neq \empty ).\!


DEFINIŢIA 8. Mulţimea A \subset \mathbb R^1 \! este mărginită dacă există m, M \in \mathbb R^1 astfel încât m \le x \le M \! pentru orice x \in A. \!


DEFINIŢIA 9. Mulţimea A \subset \mathbb R^1 \! este compactă dacă este mărginită şi închisă.

Orice interval închis [a, b] \! este mulţime compactă.

Topologie pe ℝn Edit

Notăm cu \mathbb R^n \! spaţiul euclidian n-dimensional. Un punct din \mathbb R^n \! are n coordonate x_1, x_2, \cdots , x_n \! iar vectorul său de poziţie va fi notat cu \mathbf x. \! Astfel \mathbf x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) . \! Pentru n \in \{2, 3, 4 \} \! putem folosi şi alte litere pentru coordonate; de exemplu (x, y) \! pentru n=2, \; (x, y, z ) \! pentru n=3 \! etc.

Distanţa (euclidiană) dintre două puncte x=  (x_1, x_2, \cdots , x_n) \! şi y= (y_1, y_2, \cdots, y_n) \! este dată de:

d(x, y) = \left ( \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \right )^{1/2}. \!


Discul (sau bila) deschis de centru x^0 \in \mathbb R^n \! şi rază \rho >0 \! este dat de mulţimea punctelor x din \mathbb R^n \! aflate faţă de x^0 \! la distanţă mai mică decât \rho \!:

B(x^0, \rho) = \{ x \; : \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) < \rho \}. \!

Corespunzător, bila închisă este:

\bar B(x^0, \rho) = \{ x \; : \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) \le \rho \}.  \!

Suprafaţa discului din \mathbb R^n \! se numeşte sfera din \mathbb R^n \! şi este dată de:

S(x^0, r) =  \{ x \; ; \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) = \rho \}.  \!


Spunem că mulţimea A \subset \mathbb R^n \! este deschisă dacă pentru orice element x din A există o bilă cu centrul în x conţinută în A. Mulţimea A \subset \mathbb R^n \! se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă.


Spunem că punctul x este punct frontieră al mulţimii A dacă orice bilă cu centrul în x conţine atât puncte din A cât şi din complementara lui A. Mulţimea punctelor frontieră ale mulţimii A poartă denumirea de frontiera lui A şi se notează \partial A. \!

Este uşor de observat că \partial B (x^0, \rho) = \partial \bar B (x^0, \rho) = S(x^0, \rho). \!

Vom spune că frontiera \partial A \! a mulţimii A este de clasă \mathcal C^1 \! dacă în fiecare punct al frontierei există spaţiul tangent la A şi acesta variază continuu în raport cu punctul. În acest caz vom mai spune că frontiera este netedă.

Mulţimea deschisă A \subset \mathbb R^n \! se numeşte conexă dacă oricare două puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonală inclusă în A. O mulţime deschisă şi conexă din \mathbb R^n \! se numeşte domeniu. În mod obişnuit (exceptând cazurile când se fac precizări speciale) pentru desemnarea unui domeniu vom folosi litera \Omega. \!

Dacă \Omega \! este un domeniu din \mathbb R^n \! iar u: \Omega \longrightarrow \mathbb R \! este o funcţie din clasa \mathcal C^1(\Omega), \! definim gradientul funcţiei u, notat şi grad \; u \! sau \nabla u, \! funcţia cu valori vectoriale dată de:

grad \; u = \nabla u= \left ( \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2},  \cdots , \frac{\partial u}{\partial x_n} \right ). \!


Valoarea gradientului funcţiei u în punctul x= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \Omega \! este un vector care are drept componente valorile derivatelor parţiale ale lui u în acest punct. Ne putem imagina grad \; u \! ca un câmp vectorial ce are ca elemente vectorii, grad \; u(x), \; x \in \Omega. \! Câmpul vectorial \nabla u \! este orientat în direcţia celei mai mari creşteri a lui u. Dacă \vec v= - \nabla u, \! atunci u se numeşte potenţialul lui \vec v. \!


Fie \vec v= (v_1, v_2, \cdots , v_n) \! un câmp de vectori definit pe domeniul \Omega, \; \Omega \subset \mathbb R^n \! cu v_i \in \mathcal C^1 (\Omega), \; i = \overline{1, n}. \! Se numeşte divergenţa câmpului \vec v, \! notat div \; \vec v, \! funcţia:

div \; \vec v= \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2}+ \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n} . \!

Spunem că \vec v \! este câmp vectorial solenoidal în \Omega \! dacă:

div \; \vec v=0 \! în \Omega . \!

Dacă n=3 \! iar \vec v= (v_1, v_2, v_3) \! este un câmp vectorial de clasă \mathcal C^1, \! rotorul lui \vec v, \! notat rot \; \vec v \! este câmpul vectorial definit prin:

rot \; \vec v = \left ( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3}, \; \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1}, \; \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2}  \right ). \!


Observaţie.

(i) Noţiunile de divergenţă şi rotor au fost introduse de Maxwell

(ii) Se poate renunţa la săgeata (\vec {} \!) deasupra literei ce desemnează câmpul vectorial, afară de cazul când este pericol de confuzie.


Dacă \lambda= (\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n) \! este un n-uplu de funcţii continue în domeniul \Omega \! iar u: \Omega \rightarrow \mathbb R \! este o funcţie diferenţiabilă, definim derivata direcţională \partial_{\lambda} u \! sau \frac{\partial u}{\partial \lambda} \! prin :

\frac{\partial u}{\partial \lambda} (x) = \lambda(x) \cdot \nabla u(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i(x) \cdot \frac{\partial u}{\partial x_i} (x) = \left ( \nabla u(x), \lambda(x) \right ). \!


Dacă \lambda= \nu, \; \; \nu \! fiind versorul normalei exterioare la \Omega, \! de componente (\nu_1, \nu_2, \cdots , \nu_n), \! atunci:

\frac{\partial u}{\partial \nu} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} - \nu_i = (\nabla u, \nu) \!

se numeşte derivata normală sau derivata după direcţia normalei exterioare la \Omega. \!



Definiţia 10. Fie a= (a_1, a_2, \cdots , a_n) \in \mathbb R^n \! şi r>0. \! Se numeşte bilă deschisă (închisă) de centru a şi rază r mulţimea:

\mathbf B(a, r) = \{ x \in \mathbb R^n ; \; \| x-a \| <r \} \!
\left [ \mathbf {\breve B}(a, r) = \{ x \in \mathbb R^n ; \; \| x-a \| \le r \} \right ] . \!

Cum pe mulţimea \mathbb R^n \! am introdus două norme (\| \|_2  \! şi  \| \|_{\infty} ),\! rezultă că pe \mathbb R^n \! avem două tipuri de bile deschise (închise) şi anume:

\mathbf B_2 (a, r) = \{ x=(x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n ; \; \|x-a \|_2 <r \} = \!
= \{ x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n ; \; (x_1-a_1)^2 + (x_2-a_2)^2 + \cdots + (x_n-a_n)^2 < r^2 \}. \!

Topologie pe R la n 1.png

Topologie pe R la n 2.png

Topologie pe R la n 3.png

Topologie pe R la n 4.png

Topologie pe R la n 5.png

Topologie pe R la n 6.png

Topologie pe R la n 7.png

Topologie pe R la n 8.png

Topologie pe R la n 9.png

Topologie pe R la n 10.png

Topologie pe R la n 11.png


Resurse Edit

University of Sheffield]

Also on Fandom

Random Wiki