FANDOM


Topologischer Raum - Figur

Topologie pe ℝ Edit

DEFINIŢIA 1. O vecinătate a punctului $ x \in \mathbb R^1 \! $ este o mulțime $ V \subset \mathbb R^1 \! $ care conţine un interval deschis $ (a, b) \subset \mathbb R^1 \! $ ce conţine pe x: adică $ x \in (a, b) \subset V. \! $

Orice interval deschis care conţine pe x este o vecinătate pentru x. Un interval deschis este vecinătate pentru orice x ce aparţine intervalului.


DEFINIŢIA 2. Un punct $ x \in \mathbb R^1 \! $ este punct interior al mulţimii $ A \subset \mathbb R^1 \! $ dacă există un interval deschis $ (a, b) \! $ astfel încât $ x \in (a, b) \subset A. \! $

Un punct x al intervalului $ (a, b) \! $ este un punct interior al mulţimii $ (a, b). \! $


DEFINIŢIA 3. Interiorul unei mulţimi $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este mulţimea punctelor interioare ale lui A.

Interiorul mulţimii A se notează $ Int(A) \! $ sau cu $ \overset {\circ}{A} . \! $ Dacă $ A=(a, b), \! $ atunci $ \overset {\circ}{A} = (a, b) = A. \! $


DEFINIŢIA 4. Mulţimea $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este deschisă dacă $ A = \overset {\circ}{A}. \! $

Orice interval deschis este o mulțime deschisă. Mulţimea $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este deschisă, dacă şi numai dacă fiecare punct al ei este în mulţime cu o întreagă vecinătate. Reuniunea unei familii de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Intersecţia unui număr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisă. Mulţimea numerelor reale $ \mathbb R^1 \! $ şi mulţimea vidă $ \empty \! $ sunt mulţimi deschise.

DEFINIŢIA 5. Mulţimea $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este închisă dacă complementara ei $ \mathcal C_{\mathbb R^1} A \! $ este deschisă.

Orice interval închis $ [a, b] \! $ este o mulţime închisă. Intersecţia unei familii de mulţimi închise este închisă. Reuniunea unui număr finit de mulţimi închise este o mulţime închisă. Mulţimea numerelor reale $ \mathbb R^1 \! $ şi mulţimea vidă $ \empty \! $ sunt mulţimi închise.


DEFINIŢIA 6. Punctul $ x \in \mathbb R^1 \! $ este punct limită sau punct de acumulare al mulţimii $ A \subset \mathbb R^1, \! $ dacă orice vecinătate V a lui x conţine cel puţin un punct y din A care este diferit de x; $ y \neq x \! $ şi $ y \in V \cap A. \! $


DEFINIŢIA 7. Închiderea $ \overline A \! $ a mulţimii $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este intersecţia tuturor mulţimilor închise care conţin mulţimea A.

Închiderea unei mulţimi A are următoarele proprietăţi:

$ \overline A \supset A; \; \overline {\overline A} = \overline A; \; \overline {A \cup B} = \overline A \cup \overline B; \! $

$ \overline A = A\! $ dacă şi numai dacă A este mulţime închisă. $ \! $

$ x \in \overline A \! $ dacă şi numai dacă orice vecinătate V a lui x intersectează mulţimea A $ (V \cap A \neq \empty ).\! $


DEFINIŢIA 8. Mulţimea $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este mărginită dacă există $ m, M \in \mathbb R^1 $ astfel încât $ m \le x \le M \! $ pentru orice $ x \in A. \! $


DEFINIŢIA 9. Mulţimea $ A \subset \mathbb R^1 \! $ este compactă dacă este mărginită şi închisă.

Orice interval închis $ [a, b] \! $ este mulţime compactă.

Topologie pe ℝn Edit

Notăm cu $ \mathbb R^n \! $ spaţiul euclidian n-dimensional. Un punct din $ \mathbb R^n \! $ are n coordonate $ x_1, x_2, \cdots , x_n \! $ iar vectorul său de poziţie va fi notat cu $ \mathbf x. \! $ Astfel $ \mathbf x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) . \! $ Pentru $ n \in \{2, 3, 4 \} \! $ putem folosi şi alte litere pentru coordonate; de exemplu $ (x, y) \! $ pentru $ n=2, \; (x, y, z ) \! $ pentru $ n=3 \! $ etc.

Distanţa (euclidiană) dintre două puncte $ x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \! $ şi $ y= (y_1, y_2, \cdots, y_n) \! $ este dată de:

$ d(x, y) = \left ( \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \right )^{1/2}. \! $


Discul (sau bila) deschis de centru $ x^0 \in \mathbb R^n \! $ şi rază $ \rho >0 \! $ este dat de mulţimea punctelor x din $ \mathbb R^n \! $ aflate faţă de $ x^0 \! $ la distanţă mai mică decât $ \rho \! $:

$ B(x^0, \rho) = \{ x \; : \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) < \rho \}. \! $

Corespunzător, bila închisă este:

$ \bar B(x^0, \rho) = \{ x \; : \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) \le \rho \}. \! $

Suprafaţa discului din $ \mathbb R^n \! $ se numeşte sfera din $ \mathbb R^n \! $ şi este dată de:

$ S(x^0, r) = \{ x \; ; \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) = \rho \}. \! $


Spunem că mulţimea $ A \subset \mathbb R^n \! $ este deschisă dacă pentru orice element x din A există o bilă cu centrul în x conţinută în A. Mulţimea $ A \subset \mathbb R^n \! $ se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă.


Spunem că punctul x este punct frontieră al mulţimii A dacă orice bilă cu centrul în x conţine atât puncte din A cât şi din complementara lui A. Mulţimea punctelor frontieră ale mulţimii A poartă denumirea de frontiera lui A şi se notează $ \partial A. \! $

Este uşor de observat că $ \partial B (x^0, \rho) = \partial \bar B (x^0, \rho) = S(x^0, \rho). \! $

Vom spune că frontiera $ \partial A \! $ a mulţimii A este de clasă $ \mathcal C^1 \! $ dacă în fiecare punct al frontierei există spaţiul tangent la A şi acesta variază continuu în raport cu punctul. În acest caz vom mai spune că frontiera este netedă.

Mulţimea deschisă $ A \subset \mathbb R^n \! $ se numeşte conexă dacă oricare două puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonală inclusă în A. O mulţime deschisă şi conexă din $ \mathbb R^n \! $ se numeşte domeniu. În mod obişnuit (exceptând cazurile când se fac precizări speciale) pentru desemnarea unui domeniu vom folosi litera $ \Omega. \! $

Dacă $ \Omega \! $ este un domeniu din $ \mathbb R^n \! $ iar $ u: \Omega \longrightarrow \mathbb R \! $ este o funcţie din clasa $ \mathcal C^1(\Omega), \! $ definim gradientul funcţiei u, notat şi $ grad \; u \! $ sau $ \nabla u, \! $ funcţia cu valori vectoriale dată de:

$ grad \; u = \nabla u= \left ( \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \cdots , \frac{\partial u}{\partial x_n} \right ). \! $


Valoarea gradientului funcţiei u în punctul $ x= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \Omega \! $ este un vector care are drept componente valorile derivatelor parţiale ale lui u în acest punct. Ne putem imagina $ grad \; u \! $ ca un câmp vectorial ce are ca elemente vectorii, $ grad \; u(x), \; x \in \Omega. \! $ Câmpul vectorial $ \nabla u \! $ este orientat în direcţia celei mai mari creşteri a lui u. Dacă $ \vec v= - \nabla u, \! $ atunci u se numeşte potenţialul lui $ \vec v. \! $


Fie $ \vec v= (v_1, v_2, \cdots , v_n) \! $ un câmp de vectori definit pe domeniul $ \Omega, \; \Omega \subset \mathbb R^n \! $ cu $ v_i \in \mathcal C^1 (\Omega), \; i = \overline{1, n}. \! $ Se numeşte divergenţa câmpului $ \vec v, \! $ notat $ div \; \vec v, \! $ funcţia:

$ div \; \vec v= \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2}+ \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n} . \! $

Spunem că $ \vec v \! $ este câmp vectorial solenoidal în $ \Omega \! $ dacă:

$ div \; \vec v=0 \! $ în $ \Omega . \! $

Dacă $ n=3 \! $ iar $ \vec v= (v_1, v_2, v_3) \! $ este un câmp vectorial de clasă $ \mathcal C^1, \! $ rotorul lui $ \vec v, \! $ notat $ rot \; \vec v \! $ este câmpul vectorial definit prin:

$ rot \; \vec v = \left ( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3}, \; \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1}, \; \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right ). \! $


Observaţie.

(i) Noţiunile de divergenţă şi rotor au fost introduse de Maxwell

(ii) Se poate renunţa la săgeata ($ \vec {} \! $) deasupra literei ce desemnează câmpul vectorial, afară de cazul când este pericol de confuzie.


Dacă $ \lambda= (\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n) \! $ este un n-uplu de funcţii continue în domeniul $ \Omega \! $ iar $ u: \Omega \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcţie diferenţiabilă, definim derivata direcţională $ \partial_{\lambda} u \! $ sau $ \frac{\partial u}{\partial \lambda} \! $ prin :

$ \frac{\partial u}{\partial \lambda} (x) = \lambda(x) \cdot \nabla u(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i(x) \cdot \frac{\partial u}{\partial x_i} (x) = \left ( \nabla u(x), \lambda(x) \right ). \! $


Dacă $ \lambda= \nu, \; \; \nu \! $ fiind versorul normalei exterioare la $ \Omega, \! $ de componente $ (\nu_1, \nu_2, \cdots , \nu_n), \! $ atunci:

$ \frac{\partial u}{\partial \nu} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} - \nu_i = (\nabla u, \nu) \! $

se numeşte derivata normală sau derivata după direcţia normalei exterioare la $ \Omega. \! $



Definiţia 10. Fie $ a= (a_1, a_2, \cdots , a_n) \in \mathbb R^n \! $ şi $ r>0. \! $ Se numeşte bilă deschisă (închisă) de centru a şi rază r mulţimea:

$ \mathbf B(a, r) = \{ x \in \mathbb R^n ; \; \| x-a \| <r \} \! $
$ \left [ \mathbf {\breve B}(a, r) = \{ x \in \mathbb R^n ; \; \| x-a \| \le r \} \right ] . \! $

Cum pe mulţimea $ \mathbb R^n \! $ am introdus două norme $ (\| \|_2 \! $ şi $ \| \|_{\infty} ),\! $ rezultă că pe $ \mathbb R^n \! $ avem două tipuri de bile deschise (închise) şi anume:

$ \mathbf B_2 (a, r) = \{ x=(x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n ; \; \|x-a \|_2 <r \} = \! $
$ = \{ x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n ; \; (x_1-a_1)^2 + (x_2-a_2)^2 + \cdots + (x_n-a_n)^2 < r^2 \}. \! $

Topologie pe R la n 1

Topologie pe R la n 2

Topologie pe R la n 3
Topologie pe R la n 4

Topologie pe R la n 5

Topologie pe R la n 6

Topologie pe R la n 7

Topologie pe R la n 8

Topologie pe R la n 9

Topologie pe R la n 10

Topologie pe R la n 11


Resurse Edit

University of Sheffield]