Teoria mulțimilor

Teoria modernă a mulţimilor debutează cu lucrarea Teoria raţională a infinităţii a lui Georg Cantor. Aici apare conceptul de mulţime infinită şi modul de măsurare a unor astfel de mulţimi (teoria cardinalelor).

Până la Cantor, matematicienii adoptau punctul de vedere al filozofilor Greciei antice, adoptând noţiunile:

• infinit actual: o infinitate de obiecte concepute ca existând simultan;
• infinit potenţial: o mulţime sau o mărime infinită, dar care se poate mări oricât de mult.

Filozoful Zenon, prin faimoasele sale aporii (paradoxuri) atrage atenţia asupra consecinţelor absurde care par să apară introducând infinitul actual în raţionamente. De aceea se considera că infinitul actual nu este accesibil intuiţiei şi doar infinitul potenţial poate fi utilizat în gândirea matematică.

Cantor a depăşit această contradicţie încercând să numere infinitul. Emite ideea de a număra mulţimile cu ajutorul funcţiilor bijective: Două mulţimi sunt la fel de mari (echipotente) dacă există o bijecţie între ele. Astfel se obţin rezultate precum: $\mathbb N \!$ este echipotent cu $\mathbb Q, \!$ ceea ce contrazice percepţia obişnuită conform căreia întregul este mai mare decât partea, afirmaţie care nu mai este valabilă în cazul mulţimilor infinite. Astfel se poate demonstra că există la fel de multe puncte pe un segment câte sunt pe o dreaptă, sau pe întregul plan.

De asemenea, Cantor a demonstrat că $\mathbb N \!$ nu este echipotent cu $\mathbb R \!$ şi că în general o mulţime A nu este echipotentă cu mulţimea părţilor sale $\mathcal P(A).\!$

Însă teoria mulţimilor descrisă de Cantor, numită astăzi teoria naivă a mulţimilor conduce la paradoxuri datorate definiţiei foarte permisive a conceptului de mulţime.

Însuşi Cantor a remarcat în 1895 că nu se poate vorbi de o mulţime a tuturor ordinalelor, paradox publicat de Cesare Burali-Forti în 1897. Ulterior s-a constatat că există şi alte mulţimi contradictorii, cum ar fi: mulţimea tuturor cardinalilor, mulţimea tuturor mulţimilor, mulţimea mulţimilor care nu se conţin ca element.

Resurse

• Fac. A. I. Cuza, Iaşi: Curs
• Institutul de Matematică şi Informatică, Moldova