FANDOM


Teoreme de medie pentru funcţii derivabile Edit

În acest capitol vom menţiona proprietăţile remarcabile pe care le au funcţiile derivabile definite pe un interval.

Sunt prezentate: teorema lui Rolle, teorema lui Rolle generalizată, reciproca teoremei lui Rolle, teorema lui Lagrange, reciproca teoremei lui Lagrange, teorema lui Lagrange generalizata, teorema lui Cauchy, teorema lui Cauchy generalizata, formula lui Pompeiu, consecinţe ale teoremelor creşterilor finite, teoreme care sunt, fără îndoială, teoremele cele mai utile şi mai întrebuinţate ale calculului diferenţial.

Teorema lui Rolle Edit

Fie o funcţie f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}

Dacă:

  • f este continuă pe intervalul închis [a, b]
  • f este derivabilă pe intervalul deschis (a, b)
  • f are valori egale la capetele intervalului: f(a) = f(b) \!

atunci există cel puţin un punct c \in (a, b), în care derivata se anulează: f'(c) = 0 \!

Teorema lui Lagrange Edit

(Mai este denumită şi Prima teoremă de medie sau Prima teoremă a creșterilor finite)

Fie o funcţie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a<b, \; a, b \in \mathbb R. \! Dacă:

  • f este continuă pe [a, b]
  • f este derivabilă pe (a, b),

atunci există cel puţin un punct c \in (a, b) \!   astfel incat f(b)-f(a)/b-a =f ' (c)

                                                                       

Teorema lui Cauchy Edit

(Mai este denumită şi A doua teoremă de medie sau A doua teoremă a creșterilor finite)

Fie f, g :[a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a<b, a, b \in \mathbb R două funcţii cu proprietăţile:

  • f, g continue pe [a, b]
  • f, g derivabile pe (a, b)
  • g' (x) \neq 0, \; \forall x \in (a, b).

Atunci g(a) \neq g(b) \! şi există cel puţin un punct c \in (a, b) \! astfel încât să avem:

Geon Blanaru.

\frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}   (formula lui Cauchy).

Formula lui Pompeiu a creşterilor finite Edit

Fie o funcţie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a,b \in \mathbb R, \; f(x)> 0, \; \forall x \in [a, b] şi care verifică ipotezele din teorema lui Lagrange.

Aplicând funcţiei F(x) = \ln f(x) prima teoremă a creşterilor finite (Lagrange), obţinem:

F(b) - F(a) = F'(c) \cdot (b-a),
\ln f(b) - \ln f(a) = [\ln f(c)]' (b- a), \!   (1)

unde c \in (a, b) \!

\ln f(b) - \ln f(a) = \frac {f'(c)}{f(c)} (b-a), de unde rezultă:
\frac {f(b)}{f(a)} = e^{(b-a) \frac {f'(c)}{f(c)}}, unde c \in (a, b).   (2)


Teoreme de medie pentru funcţii integrabile Edit

Teoreme de medie 1 Teoreme de medie 2 Teoreme de medie 3 Teoreme de medie 4 Teoreme de medie 5 Teoreme de medie 6 Teoreme de medie 7 Teoreme de medie 8 Teoreme de medie 9 Teoreme de medie 10 Teoreme de medie 11 Teoreme de medie 12 Teoreme de medie 13 Teoreme de medie 14 Teoreme de medie 15 Teoreme de medie 16 Teoreme de medie 17 Teoreme de medie 18 Teoreme de medie 19 Teoreme de medie 20 Teoreme de medie 21 Teoreme de medie 22 Teoreme de medie 23 Teoreme de medie 24 Teoreme de medie 25 Teoreme de medie 26 Teoreme de medie 27 Teoreme de medie 28 Teoreme de medie 29 Teoreme de medie 30 Teoreme de medie 31 Teoreme de medie 32 Teoreme de medie 33 Teoreme de medie 34 Teoreme de medie 35 Teoreme de medie 36 Teoreme de medie 37 Teoreme de medie 38 Teoreme de medie 39 Teoreme de medie 40 Teoreme de medie 41 Teoreme de medie 42 Teoreme de medie 43 Teoreme de medie 44 Teoreme de medie 45 Teoreme de medie 46 Teoreme de medie 47 Teoreme de medie 48 Teoreme de medie 49

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.