Fandom

Math Wiki

Teoreme de medie

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teoreme de medie pentru funcţii derivabile Edit

În acest capitol vom menţiona proprietăţile remarcabile pe care le au funcţiile derivabile definite pe un interval.

Sunt prezentate: teorema lui Rolle, teorema lui Rolle generalizată, reciproca teoremei lui Rolle, teorema lui Lagrange, reciproca teoremei lui Lagrange, teorema lui Lagrange generalizata, teorema lui Cauchy, teorema lui Cauchy generalizata, formula lui Pompeiu, consecinţe ale teoremelor creşterilor finite, teoreme care sunt, fără îndoială, teoremele cele mai utile şi mai întrebuinţate ale calculului diferenţial.

Teorema lui Rolle Edit

Fie o funcţie f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}

Dacă:

  • f este continuă pe intervalul închis [a, b]
  • f este derivabilă pe intervalul deschis (a, b)
  • f are valori egale la capetele intervalului: f(a) = f(b) \!

atunci există cel puţin un punct c \in (a, b), în care derivata se anulează: f'(c) = 0 \!

Teorema lui Lagrange Edit

(Mai este denumită şi Prima teoremă de medie sau Prima teoremă a creșterilor finite)

Fie o funcţie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a<b, \; a, b \in \mathbb R. \! Dacă:

  • f este continuă pe [a, b]
  • f este derivabilă pe (a, b),

atunci există cel puţin un punct c \in (a, b) \!   astfel incat f(b)-f(a)/b-a =f ' (c)

                                                                       

Teorema lui Cauchy Edit

(Mai este denumită şi A doua teoremă de medie sau A doua teoremă a creșterilor finite)

Fie f, g :[a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a<b, a, b \in \mathbb R două funcţii cu proprietăţile:

  • f, g continue pe [a, b]
  • f, g derivabile pe (a, b)
  • g' (x) \neq 0, \; \forall x \in (a, b).

Atunci g(a) \neq g(b) \! şi există cel puţin un punct c \in (a, b) \! astfel încât să avem:

\frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}   (formula lui Cauchy).

Formula lui Pompeiu a creşterilor finite Edit

Fie o funcţie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a,b \in \mathbb R, \; f(x)> 0, \; \forall x \in [a, b] şi care verifică ipotezele din teorema lui Lagrange.

Aplicând funcţiei F(x) = \ln f(x) prima teoremă a creşterilor finite (Lagrange), obţinem:

F(b) - F(a) = F'(c) \cdot (b-a),
\ln f(b) - \ln f(a) = [\ln f(c)]' (b- a), \!   (1)

unde c \in (a, b) \!

\ln f(b) - \ln f(a) = \frac {f'(c)}{f(c)} (b-a), de unde rezultă:
\frac {f(b)}{f(a)} = e^{(b-a) \frac {f'(c)}{f(c)}}, unde c \in (a, b).   (2)


Teoreme de medie pentru funcţii integrabile Edit

Teoreme de medie 1.png Teoreme de medie 2.png Teoreme de medie 3.png Teoreme de medie 4.png Teoreme de medie 5.png Teoreme de medie 6.png Teoreme de medie 7.png Teoreme de medie 8.png Teoreme de medie 9.png Teoreme de medie 10.png Teoreme de medie 11.png Teoreme de medie 12.png Teoreme de medie 13.png Teoreme de medie 14.png Teoreme de medie 15.png Teoreme de medie 16.png Teoreme de medie 17.png Teoreme de medie 18.png Teoreme de medie 19.png Teoreme de medie 20.png Teoreme de medie 21.png Teoreme de medie 22.png Teoreme de medie 23.png Teoreme de medie 24.png Teoreme de medie 25.png Teoreme de medie 26.png Teoreme de medie 27.png Teoreme de medie 28.png Teoreme de medie 29.png Teoreme de medie 30.png Teoreme de medie 31.png Teoreme de medie 32.png Teoreme de medie 33.png Teoreme de medie 34.png Teoreme de medie 35.png Teoreme de medie 36.png Teoreme de medie 37.png Teoreme de medie 38.png Teoreme de medie 39.png Teoreme de medie 40.png Teoreme de medie 41.png Teoreme de medie 42.png Teoreme de medie 43.png Teoreme de medie 44.png Teoreme de medie 45.png Teoreme de medie 46.png Teoreme de medie 47.png Teoreme de medie 48.png Teoreme de medie 49.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki