FANDOM


Considerăm o serie de puteri $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \! $ cu raza de convergență $ R>0.\! $ Fie $ f(x) \! $ suma seriei pentru $ |x|< R. \! $

Se poate demonstra că f este o funcție derivabilă și derivata verifică egalitatea:

$ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot n \cdot x^{n-1} \! $ pentru $ |x| < R. \! $

Derivata de ordin k verifică:

$ f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n \cdot n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1) \cdot x^{n-k} \! $ pentru $ |x|<R. \! $

Dacă $ x=0, \! $ atunci:

$ a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \! $ pentru $ k=1, 2, \cdots \! $

Așadar coeficientul $ a_n \! $ al lui $ x^n \! $ în seria de puteri este $ \frac{f^{(k)}(0)}{n!} \! $ unde $ f(x) \! $ este suma seriei de puteri. Deci:

$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{n!} \cdot x^n \! $ pentru |x|<R.

Pentru valori mici ale lui x, suma $ f(x) \! $ poate fi aproximată cu polinomul de gradul N:

$ f(0) + \frac {f'(0)}{1!} x + \frac {f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac {f^{(N)}(0)}{N!} x^N \! $

în care N este un număr natural oarecare.

Vom analiza cât de bine aproximează acest polinom funcția $ f(x), \! $ în cazul în care $ f(x) \! $ nu este neapărat suma unei serii de puteri.


Definiția 1. Fie f o funcție derivabilă de n-ori în 0. Polinomul Taylor de gradul n pentru f în 0 este definit de egalitatea:

$ \mathbf T_n f(x) =f(0) + \frac {f'(0)}{1!} x + \frac {f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n. \! $


Exemplul . Fie $ f(x) = e^x. \! $ Pentru $ k=1, 2, \cdots , \! $ avem $ f^{(f)}(0)=1. \! $ Astfel:

$ \mathbf T_0 f(x) = 1 \! $
$ \mathbf T_1 f(x) = 1+x \! $
$ \mathbf T_2 f(x) = 1+x + \frac 1 2 x^2 \! $

Primul rezultat se obține din estimarea diferenței între $ f(b), \! $ valoarea funcției date în $ x=b \! $ și $ \mathbf T_n f(b), \! $ valoarea polinomului Taylor de gradul n în $ x=b. \! $


Teorema 1.[Prima teoremă a restului] Dacă f este o funcție de clasă $ \mathcal C^{(n+1)} \! $ pe un interval deshis ce conține punctele 0 și b, atunci diferența dintre f și $ \mathbf T_n f \! $ în punctul $ x=b \! $ este dată de:

$ f(b) - \mathbf T_n f(b) = \frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \cdot f^{(n+1)}(c) \! $

în care $ c \in (0, b). \! $

Demonstrație. Pentru simplificare, vom presupune că $ b>0. \! $ Dacă

$ h_n(x) = f(b) - \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k \; \; x \in [0, b]. \! $

atunci $ h_n(b) = 0 \! $ și $ h_n(0)=f(b)-\mathbf T_n f(b). \! $ Dacă:

$ g(x)=h_n(x)- \left ( \frac {b-x}{b} \right )^{n+1} \cdot h_n(0) \; \; x \in [0, b]. \! $

atunci g este continuă pe intervalul $ [0, b], \! $ este derivabilă pe intervalul $ (0, b) \! $ și este verificată relația $ g(0)=g(b)=0. \! $ Conform teoremei lui Rolle, există c între 0 și b astfel încât $ g'(c)=0. \! $ După un calcul simplu se obține:

$ h'_n(x)=-\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(b-x)^n \! $

Astfel:

$ g'(x) = -\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!} (b-x)^n + \frac{(n+1)(b-x)^n}{b^{n+1}} \cdot h_n(0) \! $

și

$ 0=g'(c) = -\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-x)^n + \frac{(n+1)(b-c)^n}{b^{n+1}} \cdot h_n(0) \! $

obținându-se

$ h_n(0)=\frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \cdot f^{n+1}(c). \! $

QED.

Diferența $ f(b)-\mathbf T_n f(b) \! $ se notează cu $ \mathbf R_n f(b) \! $ și se numește restul aproximării în $ x=b. \! $

Astfel:

$ f(b)=\mathbf T_n f(b) + \mathbf R_n f(b) \! $

și eroarea de aproximare a lui $ f(b) \! $ prin polinomul $ \mathbf T_n f(b) \! $ este dată de restul aproximării $ \mathbf R_n f(b). \! $ Deoarece $ f^{(n+1)} \! $ este continuă pe un interval închis ce conține 0 și b, ea este mărginită pe acest interval. Există un număr M astfel încât $ |f^{(n+1)}(c)| \le \mathbf M \! $ și

$ | \mathbf R_n f(b)| \le \left | \frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \right | \cdot \mathbf M. \! $

Astfel, pentru un n fixat, restul aproximării poate fi mai mic pentru valori ale lu b apropiate de zero.$ \! $ Cu alte cuvinte, polinoamele Taylor reprezintă o bună aproximare a funcțiilor în vecinătatea lui $ x=0. \! $

Următorul exemplu ilustrează acest fapt.

Exemplu. Dacă $ f(x)= \sin x, \! $ atunci:

$ T_7f(x) = x- \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \;\;\;\; R_7f(x) = \frac{x^8}{8!}(-\sin c) \! $

pentru c între 0 şi x. Conform primei teoreme a restului se obţine:

$ R_7f(0,1) \le \frac{0,1^8}{8!} = 2,48 \cdot 10^{-13}. \! $

Vom arăta în continuare cum polinoamele Taylor pot fi utilizate pentru a dezvolta în serie de puteri funcţia f care este indefinit derivabilă pe un interval deschis ce conţine pe 0 şi pe x. Pentru x avem:

$ f(x) = T_n f(x) + R_n f(x). \! $

şi

$ \lim_{n \to \infty} T_n f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k \! $ pentru $ |x|< R \! $

unde R este raza de convergenţă a seriei de puteri.


Dacă $ \lim_{n \to \infty} R_nf(x) =0 \! $ pentru $ |x|<R'<R, \! $ pentru o anumită valoare $ R' , \! $ atunci:

$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n \! $ pentru $ |x| < R' \! $

Această serie de puteri este numită serie Maclaurin‎‎ pentru f(x).


Exemplu. Dezvoltarea în serie Maclaurin a funcţiei $ f(x) = e^x. \! $

Soluţie. În primul rând:

$ T_nf(x) = 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} \! $

şi $ R_nf(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^c \! $ unde $ c \in (0, x). \! $ Seria $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \! $ conform criteriului raportului este absolut convergentă pentru orice număr real x.

$ \lim_{n \to \infty} T_nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \! $


Convergenţa la zero a termenului general ($ \frac{x^n}{n!} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \! $) implică:

$ |R_nf(x)| = \left | \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} e^c \right | \rightarrow 0 \! $ pentru $ n \rightarrow \infty \! $

oricare ar fi x fixat. Deci, pentru x fixat, $ \lim_{n \to infty} R_nf(x) =0, \! $ şi rezultă:

$ e^x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \! $

În mod asemănător, seriile de puteri pot fi generate pentru funcţiile standard. În fiecare caz, suma seriei de puteri este $ \lim_{n \to \infty} T_nf(x) \! $ şi egalitatea dintre funcţie şi suma seriei este valabilă pentru acele valori x pentru care:

a) seria de puteri determinată converge şi

b) restul $ R_nf(x) \rightarrow 0 \! $ pentru $ n \rightarrow \infty. \! $

În alcătuirea următoarei liste, dificultatea constă în stabilirea condiţiei de la punctul b):

$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \; \; x \in \mathbb R^1 \! $
$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!} \; \; x \in \mathbb R^1 \! $
$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!} \; \; x \in \mathbb R^1 \! $
$ (1+x)^t = 1 + \sum{n=1}^{\infty} \frac{t \cdot (t-1) \cdot \cdots \cdot (t-n+1)}{n!} x^n \; \; t \not \in \mathbb N, \; x \in (-1, 1) \! $
$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot x^n}{n} \; \; -1 < x \le 1. \! $

Forma restului determinată în prima teoremă se numeşte formă Lagrange.



Formula Taylor 1 Formula Taylor 2 Formula Taylor 3 Formula Taylor 4 Formula Taylor 5 Formula Taylor 6 Formula Taylor 7 Formula Taylor 8 Formula Taylor 9 Formula Taylor 10 Formula Taylor 11 Formula Taylor 12


Formula lui Taylor (aproximare polinom)

Vezi și Edit

Resurse Edit