Fandom

Math Wiki

Teorema lui Taylor

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Considerăm o serie de puteri \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \! cu raza de convergență  R>0.\! Fie f(x) \! suma seriei pentru |x|< R. \!

Se poate demonstra că f este o funcție derivabilă și derivata verifică egalitatea:

f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot n \cdot x^{n-1} \! pentru |x| < R. \!

Derivata de ordin k verifică:

f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n \cdot n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1) \cdot x^{n-k} \! pentru |x|<R. \!

Dacă x=0, \! atunci:

a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \! pentru k=1, 2, \cdots \!

Așadar coeficientul a_n \! al lui x^n \! în seria de puteri este \frac{f^{(k)}(0)}{n!} \! unde f(x) \! este suma seriei de puteri. Deci:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{n!} \cdot x^n \! pentru |x|<R.

Pentru valori mici ale lui x, suma f(x) \! poate fi aproximată cu polinomul de gradul N:

f(0) + \frac {f'(0)}{1!} x +  \frac {f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \cdots +  \frac {f^{(N)}(0)}{N!} x^N  \!

în care N este un număr natural oarecare.

Vom analiza cât de bine aproximează acest polinom funcția f(x), \! în cazul în care f(x) \! nu este neapărat suma unei serii de puteri.


Definiția 1. Fie f o funcție derivabilă de n-ori în 0. Polinomul Taylor de gradul n pentru f în 0 este definit de egalitatea:

\mathbf T_n f(x) =f(0) + \frac {f'(0)}{1!} x +  \frac {f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \cdots +  \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n.  \!


Exemplul . Fie f(x) = e^x. \! Pentru k=1, 2, \cdots ,  \! avem f^{(f)}(0)=1. \! Astfel:

\mathbf T_0 f(x) = 1 \!
\mathbf T_1 f(x) = 1+x \!
\mathbf T_2 f(x) = 1+x + \frac 1 2 x^2 \!

Primul rezultat se obține din estimarea diferenței între f(b), \! valoarea funcției date în x=b \! și \mathbf T_n f(b), \! valoarea polinomului Taylor de gradul n în x=b. \!


Teorema 1.[Prima teoremă a restului] Dacă f este o funcție de clasă \mathcal C^{(n+1)} \! pe un interval deshis ce conține punctele 0 și b, atunci diferența dintre f și \mathbf T_n f \! în punctul x=b \! este dată de:

f(b) - \mathbf T_n f(b) = \frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \cdot f^{(n+1)}(c) \!

în care c \in (0, b). \!

Demonstrație. Pentru simplificare, vom presupune că b>0. \! Dacă

h_n(x) = f(b) - \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k  \; \; x \in [0, b]. \!

atunci h_n(b) = 0 \! și h_n(0)=f(b)-\mathbf T_n f(b). \! Dacă:

g(x)=h_n(x)- \left ( \frac {b-x}{b} \right )^{n+1} \cdot h_n(0) \; \; x \in [0, b]. \!

atunci g este continuă pe intervalul [0, b], \! este derivabilă pe intervalul (0, b) \! și este verificată relația g(0)=g(b)=0. \! Conform teoremei lui Rolle, există c între 0 și b astfel încât g'(c)=0. \! După un calcul simplu se obține:

h'_n(x)=-\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(b-x)^n \!

Astfel:

g'(x) = -\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!} (b-x)^n + \frac{(n+1)(b-x)^n}{b^{n+1}} \cdot h_n(0) \!

și

0=g'(c) =  -\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-x)^n + \frac{(n+1)(b-c)^n}{b^{n+1}} \cdot h_n(0) \!

obținându-se

h_n(0)=\frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \cdot f^{n+1}(c). \!

QED.

Diferența f(b)-\mathbf T_n f(b) \! se notează cu \mathbf R_n f(b) \! și se numește restul aproximării în x=b. \!

Astfel:

f(b)=\mathbf T_n f(b) + \mathbf R_n f(b) \!

și eroarea de aproximare a lui f(b) \! prin polinomul \mathbf T_n f(b) \! este dată de restul aproximării \mathbf R_n f(b). \! Deoarece f^{(n+1)} \! este continuă pe un interval închis ce conține 0 și b, ea este mărginită pe acest interval. Există un număr M astfel încât |f^{(n+1)}(c)| \le \mathbf M \! și

| \mathbf R_n f(b)| \le \left | \frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \right | \cdot \mathbf M. \!

Astfel, pentru un n fixat, restul aproximării poate fi mai mic pentru valori ale lu b apropiate de zero. \! Cu alte cuvinte, polinoamele Taylor reprezintă o bună aproximare a funcțiilor în vecinătatea lui x=0. \!

Următorul exemplu ilustrează acest fapt.

Exemplu. Dacă f(x)= \sin x, \! atunci:

T_7f(x) = x- \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \;\;\;\; R_7f(x) = \frac{x^8}{8!}(-\sin c) \!

pentru c între 0 şi x. Conform primei teoreme a restului se obţine:

R_7f(0,1) \le \frac{0,1^8}{8!} = 2,48 \cdot 10^{-13}. \!

Vom arăta în continuare cum polinoamele Taylor pot fi utilizate pentru a dezvolta în serie de puteri funcţia f care este indefinit derivabilă pe un interval deschis ce conţine pe 0 şi pe x. Pentru x avem:

f(x) = T_n f(x) + R_n f(x). \!

şi

\lim_{n \to \infty} T_n f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k \! pentru |x|< R \!

unde R este raza de convergenţă a seriei de puteri.


Dacă \lim_{n \to \infty} R_nf(x) =0 \! pentru |x|<R'<R, \! pentru o anumită valoare R' , \! atunci:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n \! pentru |x| < R' \!

Această serie de puteri este numită serie Maclaurin‎‎ pentru f(x).


Exemplu. Dezvoltarea în serie Maclaurin a funcţiei f(x) = e^x. \!

Soluţie. În primul rând:

T_nf(x) = 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} \!

şi R_nf(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^c \! unde c \in (0, x). \! Seria \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \! conform criteriului raportului este absolut convergentă pentru orice număr real x.

\lim_{n \to \infty} T_nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \!


Convergenţa la zero a termenului general (\frac{x^n}{n!} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \!) implică:

|R_nf(x)| = \left | \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} e^c \right | \rightarrow 0 \! pentru n \rightarrow \infty \!

oricare ar fi x fixat. Deci, pentru x fixat, \lim_{n \to infty} R_nf(x) =0, \! şi rezultă:

e^x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \!

În mod asemănător, seriile de puteri pot fi generate pentru funcţiile standard. În fiecare caz, suma seriei de puteri este \lim_{n \to \infty} T_nf(x) \! şi egalitatea dintre funcţie şi suma seriei este valabilă pentru acele valori x pentru care:

a) seria de puteri determinată converge şi

b) restul R_nf(x) \rightarrow 0 \! pentru n \rightarrow \infty. \!

În alcătuirea următoarei liste, dificultatea constă în stabilirea condiţiei de la punctul b):

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \; \; x \in \mathbb R^1 \!
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!} \; \; x \in \mathbb R^1 \!
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!} \; \; x \in \mathbb R^1 \!
(1+x)^t = 1 + \sum{n=1}^{\infty} \frac{t \cdot (t-1) \cdot \cdots \cdot (t-n+1)}{n!} x^n  \; \; t \not \in \mathbb N, \; x \in (-1, 1) \!
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot x^n}{n} \; \; -1 < x \le 1. \!

Forma restului determinată în prima teoremă se numeşte formă Lagrange.



Formula Taylor 1.png Formula Taylor 2.png Formula Taylor 3.png Formula Taylor 4.png Formula Taylor 5.png Formula Taylor 6.png Formula Taylor 7.png Formula Taylor 8.png Formula Taylor 9.png Formula Taylor 10.png Formula Taylor 11.png Formula Taylor 12.png


Formula lui Taylor (aproximare polinom).png

Vezi și Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki