FANDOM


Teorema lui Steiner

Enunţ Edit

Teoremă (Teorema lui Steiner):Fie ABC un triunghi şi $ AA_1, \; AA_2 \! $ două ceviene izogonale. ($ A_2, A_1 \in BC \! $ şi $ \angle A_1AB \equiv \angle A_2AC \! $).Atunci:

$ \frac{A_1B}{A_1C} = \frac{A_2B}{A_2C} = \frac{AB^2}{AC^2}. \! $

Demonstraţie:

Fie inversiunea $ i_{A, k} \! $ şi:

$ B' = i_{A, k} (B), \; C'= i_{A, k}(C), \; A'_1 = i_{A, k}(A_1), \; A'_2 = i_{A, k}(A_2). \! $
$ m(\angle BAA_1) = m(\angle CAA_2) \! $ şi $ m(\angle BAA_2) = m(\angle CAA_1) \; \; \Rightarrow \! $
$ \Rightarrow \; B'A'_1 \equiv C'A'_2 \! $ şi $ B'A'_2 \equiv C'A'_1 \! $

(la arce congruente corespund coarde congruente)

Prin urmare:

$ \frac{k \cdot BA_1}{AB \cdot AA_1} = \frac{k \cdot A_2C}{AA_2 \cdot AC}, \; \; \frac{k \cdot BA_2}{AB \cdot AA_2} = \frac{k \cdot A_1C}{AA_1 \cdot AC} \; \; \Rightarrow \! $
$ \Rightarrow \; \frac{BA_1 \cdot BA_2}{AB^2 \cdot AA_1 \cdot AA_2} = \frac{CA_1 \cdot CA_2}{AC^2 \cdot AA_1 \cdot AA_2} \; \Leftrightarrow \! $
$ \Leftrightarrow \; \; \frac{A_1B \cdot A_2B}{A_1C \cdot A_2 C} = \frac{AB^2}{AC^2}. \! $

Altă demonstraţie Edit

Fie $ AM, AN \! $ ceviene izogonale în triunghiul ABC. Prin vârfurile B, respectiv C ale triunghiului se duc paralele la laturile opuse. Se obţine paralelogramul ABDC.

Notăm:

$ \{E\} = AM \cap BD \! $ şi $ \{F\} = AN \cap CD. \! $

Cu teorema fundamentală a asemănării deducem:

$ \frac {BE}{AC} = \frac {BM}{CM}, \; \frac {AB}{CF} = \frac {BN}{CN}. \! $

Relaţia de demonstrat devine $ \frac {BE}{CF} = \frac {AB}{AC}, \! $ care rezultă din asemănarea triunghiurilor ABE şi ACF.

Exemplu Edit

Un exemplu de ceviene izogonale îl constituie înălţimea dintr-un vârf şi diametrul cercului circumscris triunghiului, dus din vârful respectiv.

Alte rezultate cunoscute sub numele Teorema lui Steiner Edit

Vezi aici: Wolfram MathWorld

Vezi şi Edit