Fandom

Math Wiki

Teorema lui Steiner

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Steiner.png

Enunţ Edit

Teoremă (Teorema lui Steiner): Fie ABC un triunghi şi AA_1, \; AA_2 \! două ceviene izogonale. (A_2, A_1 \in BC \! şi \angle A_1AB \equiv \angle A_2AC \!). Atunci:

\frac{A_1B}{A_1C} = \frac{A_2B}{A_2C} = \frac{AB^2}{AC^2}. \!

(vezi demontratia pentru formula corecta !)

Demonstraţie:

Fie inversiunea i_{A, k} \! şi:

B' = i_{A, k} (B), \; C'= i_{A, k}(C), \; A'_1 = i_{A, k}(A_1), \; A'_2 = i_{A, k}(A_2). \!
m(\angle BAA_1) = m(\angle CAA_2) \! şi m(\angle BAA_2) = m(\angle CAA_1) \; \; \Rightarrow \!
 \Rightarrow \; B'A'_1 \equiv C'A'_2 \! şi B'A'_2 \equiv C'A'_1 \!

(la arce congruente corespund coarde congruente)

Prin urmare:

\frac{k \cdot BA_1}{AB \cdot AA_1} = \frac{k \cdot A_2C}{AA_2 \cdot AC}, \; \; \frac{k \cdot BA_2}{AB \cdot AA_2} = \frac{k \cdot A_1C}{AA_1 \cdot AC} \; \; \Rightarrow \!
\Rightarrow \; \frac{BA_1 \cdot BA_2}{AB^2 \cdot AA_1 \cdot AA_2} = \frac{CA_1 \cdot CA_2}{AC^2 \cdot AA_1 \cdot AA_2} \; \Leftrightarrow \!
\Leftrightarrow \; \; \frac{A_1B \cdot A_2B}{A_1C \cdot A_2 C} = \frac{AB^2}{AC^2}. \!

Altă demonstraţie Edit

Fie AM, AN \! ceviene izogonale în triunghiul ABC. Prin vârfurile B, respectiv C ale triunghiului se duc paralele la laturile opuse. Se obţine paralelogramul ABDC.

Notăm:

\{E\} = AM \cap BD \! şi \{F\} = AN \cap CD. \!

Cu teorema fundamentală a asemănării deducem:

\frac {BE}{AC} = \frac {BM}{CM}, \; \frac {AB}{CF} = \frac {BN}{CN}. \!

Relaţia de demonstrat devine \frac {BE}{CF} = \frac {AB}{AC}, \! care rezultă din asemănarea triunghiurilor ABE şi ACF.

Exemplu Edit

Un exemplu de ceviene izogonale îl constituie înălţimea dintr-un vârf şi diametrul cercului circumscris triunghiului, dus din vârful respectiv.

Alte rezultate cunoscute sub numele Teorema lui Steiner Edit

Vezi aici: Wolfram MathWorld

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki