Fandom

Math Wiki

Teorema lui Schwarz

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Schwarz (numită şi Teorema Schwarz-Clairaut sau simetria derivatei a doua) se enunţă astfel:

Teoremă. Fie I \subset \mathbb R^n \! un interval deschis şi o funcție de clasă \mathcal C^2 \!:

f: I \rightarrow \mathbb R^p \!

Atunci pentru orice a \in I \! şi pentru orice i, j \in \{1, 2, \cdots , n \}, \! avem:

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} (a). \!

Aşadar, pentru funcţiile regulate, ordinea derivării nu are importanţă. Este suficient ca derivatele parţiale să existe în vecinătatea punctului a şi ca acestea să fie continue. Ipoteza de continuitate este importantă, aşa cum se va vedea în următorul contra-exemplu furnizat de Giuseppe Peano:

f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}. \!

În punctul (0, 0), \! funcţia admite derivate partiale de ordinul al doilea dar:

\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(0, 0)= 1 \! şi \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}(0, 0)= -1. \!

Also on Fandom

Random Wiki