FANDOM


Teorema lui Schwarz (numită şi Teorema Schwarz-Clairaut sau simetria derivatei a doua) se enunţă astfel:

Teoremă. Fie $ I \subset \mathbb R^n \! $ un interval deschis şi o funcție de clasă $ \mathcal C^2 \! $:

$ f: I \rightarrow \mathbb R^p \! $

Atunci pentru orice $ a \in I \! $ şi pentru orice $ i, j \in \{1, 2, \cdots , n \}, \! $ avem:

$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} (a). \! $

Aşadar, pentru funcţiile regulate, ordinea derivării nu are importanţă. Este suficient ca derivatele parţiale să existe în vecinătatea punctului a şi ca acestea să fie continue. Ipoteza de continuitate este importantă, aşa cum se va vedea în următorul contra-exemplu furnizat de Giuseppe Peano:

$ f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}. \! $

În punctul $ (0, 0), \! $ funcţia admite derivate partiale de ordinul al doilea dar:

$ \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(0, 0)= 1 \! $ şi $ \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}(0, 0)= -1. \! $