FANDOM


Teoremă. Dacă punctele $ O, A, B, C \! $ sunt pe acelaşi cerc, atunci cercurile de diametre $ [OA], [OB], [OC] \! $ se întâlnesc două câte două în trei puncte coliniare.

Teorema lui Salmon

Demonstraţie.

Se consideră inversiunea $ i(O, k), \! $ k arbitrar. Cercul circumscris patrulaterului OABC se va transforma într-o dreaptă d perpendiculară pe diametrul ce trece prin pol. Dacă se notează $ A'=i(A), \; B'=i(B), \; C'=i(C), \! $ atunci $ A', B', C' \in d. \! $

Prin inversiunea considerată, cercul de diametru [OA] se transformă într-o dreaptă a (evident $ a \perp OA \! $).

Cercul de diametru [OB] se transformă într-o dreaptă $ b \perp OB, \! $ iar cercul de diametru [OC] se transformă într-o dreaptă $ c \perp OC. \! $

Fie $ \alpha, \beta, \! $ respectiv $ \gamma \! $ punctele de intersecţie ale cercurilor de diametre [OC] şi [OB], [OA] şi [OC], respectiv [OA] şi [OB]. Se notează $ \alpha'=i(\alpha), \; \beta'=i(\beta), \; \gamma'= i(\gamma). \! $

Este evident că:

$ \{ \alpha'\} = b \cap c, \; \; \{\beta'\} = c \cap a, \; \; \{ \gamma'\} = a \cap b. \! $

Deoarece punctele $ A'= pr_{\beta' \gamma'} A, \; \; B'= pr_{\alpha' \gamma'} B, \; \; C' = pr_{\alpha' \gamma'} C \! $ sunt coliniare, rezultă, conform teoremei lui Simpson, că punctul O se află pe cercul circumscris triunghiului $ \alpha' \beta' \gamma'. \! $

Deoarece cercul circumscris triunghiului $ \alpha' \beta' \gamma' \! $ trece prin polul O, rezultă că acesta (mai puţin polul O) se va transforma, prin inversiunea considerată, într-o dreaptă $ d_1. \! $ Este evident că punctele $ \alpha'=i(\alpha), \; \beta'=i(\beta), \; \gamma'= i(\gamma) \! $ aparţin dreptei $ d_1. \! $