Fandom

Math Wiki

Teorema lui Salmon

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teoremă. Dacă punctele O, A, B, C \! sunt pe acelaşi cerc, atunci cercurile de diametre [OA], [OB], [OC] \! se întâlnesc două câte două în trei puncte coliniare.

Teorema lui Salmon.png

Demonstraţie.

Se consideră inversiunea i(O, k), \! k arbitrar. Cercul circumscris patrulaterului OABC se va transforma într-o dreaptă d perpendiculară pe diametrul ce trece prin pol. Dacă se notează A'=i(A), \; B'=i(B), \; C'=i(C), \! atunci A', B', C' \in d. \!

Prin inversiunea considerată, cercul de diametru [OA] se transformă într-o dreaptă a (evident a \perp OA \!).

Cercul de diametru [OB] se transformă într-o dreaptă b \perp OB, \! iar cercul de diametru [OC] se transformă într-o dreaptă c \perp OC. \!

Fie  \alpha, \beta, \! respectiv \gamma \! punctele de intersecţie ale cercurilor de diametre [OC] şi [OB], [OA] şi [OC], respectiv [OA] şi [OB]. Se notează \alpha'=i(\alpha), \; \beta'=i(\beta), \; \gamma'= i(\gamma). \!

Este evident că:

\{ \alpha'\} = b \cap c, \; \; \{\beta'\} = c \cap a, \; \; \{ \gamma'\} = a \cap b.  \!

Deoarece punctele A'= pr_{\beta' \gamma'} A, \; \; B'= pr_{\alpha' \gamma'} B, \; \; C' = pr_{\alpha' \gamma'} C \! sunt coliniare, rezultă, conform teoremei lui Simpson, că punctul O se află pe cercul circumscris triunghiului \alpha' \beta' \gamma'. \!

Deoarece cercul circumscris triunghiului \alpha' \beta' \gamma' \! trece prin polul O, rezultă că acesta (mai puţin polul O) se va transforma, prin inversiunea considerată, într-o dreaptă d_1. \! Este evident că punctele \alpha'=i(\alpha), \; \beta'=i(\beta), \; \gamma'= i(\gamma) \! aparţin dreptei d_1. \!

Also on Fandom

Random Wiki