Fandom

Math Wiki

Teorema lui Rolle

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Michel Rolle.gif

Michel Rolle

Teorema lui Rolle susţine faptul că o funcție care are valori egale la capetele unui interval, adimte un punct în acel interval pentru care derivata sa se anulează.

Enunţ Edit

Teorema Rolle.png

Fie funcţia f: [a, b] \rightarrow \mathbb {R}, \; a,b \in \mathbb{R}, \; a<b \!

Dacă

  • f este continuă pe intervalul [a, b]
  • f este derivabilă pe (a, b)
  • f(a) = f(b)

Atunci:

Există cel puţin un punct c \in (a, b) pentru care f' (c) = 0 \!

Cu alte cuvinte, între două rădăcini ale funcţiei f sa află cel puţin o rădăcină a derivatei f' .

Observaţie: Toate condiţiile din enunţ sunt necesare!. Dacă se renunţă la una din acestea, teorema nu mai este valabilă.

Interpretare geometrică Edit

Teorema lui Rolle, interpretare geometrica.png

Tangentele duse prin punctele c corespunzătoare graficului funcţiei sunt paralele cu Ox.

Aplicaţii Edit

Exemplul 1 Edit

f(x) = \left\{ \begin{array}{lr}
x^2 +1, \; x \in [-1, 0)
\\ \\
x+1, \; x \in [0, 1]
\end{array} \right.

Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R

  • continuitate

l_s = \lim_{x \uparrow 0} {f(x)} = \lim_{x \uparrow 0} (x^2 + 1) = 1

l_d = \lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{x \downarrow 0} (x+1) = 1

l_s = l_d  = 1 \Rightarrow \! continuă în x = 0

f continuă pe [-1, 1] \!


  • derivabilitate

f_s = \lim_{x \uparrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x^2 + 1 - 1}{x} = \lim_{x \uparrow 0} x = 0

f_d = \lim_{x \downarrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x + 1 - 1}{x} = \lim_{x \downarrow 0} x = 0

f_s \ne f_d  \Rightarrow  \! f nu este derivabilă în x = 0.

f nu satisface teorema lui Rolle.


Exemplul 2 Edit

f: [0, \frac {\pi}{2}] \rightarrow \mathbb R


f(x)=
\begin{cases}
\tan x, \; x \in [0, \frac {\pi}{4})
\\
\cot x, \; x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]
\end{cases}

  • continuitate:

l_s = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \tan x= 1

l_d = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \cot x= 1

  • derivabilitate:

l_s = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {f(x) - f (\frac {\pi}{4})}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\tan x - 1}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\tan x - \tan {\frac {\pi}{4}}}{x - \frac {\pi}{4}} = = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\frac{\sin (x - \frac{\pi}{4})}{\cos x \cos \frac {\pi}{4}}}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\sin (x - \frac {\pi}{4})}{x - \frac {\pi}{4}} \cdot \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {1}{\cos x \cos \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}}  \frac{1}{\cos x \cos \frac {\pi}{4}} = \frac {1}{\frac{\sqrt 2}{2} \frac {\sqrt2}{2}} = 2

f_d = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {f(x)- f(\frac {\pi}{4})}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {\cot x - 1}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {\cot x - \cot \frac{\pi}{4}}{x - \frac {\pi}{4}} =  = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}}\frac {\frac {\sin (\frac {\pi}{x} - x)}{\sin x \sin \frac {\pi}{4}}}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {\sin (\frac{\pi}{4} - x)}{- (- \frac {\pi}{4} - x)} \cdot  \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {1}{\sin x \sin \frac {\pi}{4}} =  = -  \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {1}{\sin x \sin \frac {\pi}{4}} = - \frac {1}{ \frac {\sqrt 2}{2}}
{ \frac {\sqrt 2}{2}}
= -2.

f_s \neq f_d \; \Rightarrow f nu este derivabilă în x = \frac{\pi}{4}

f nu satisface teorema lui Rolle.


Exemplul 3 Edit

Fie funcţia f(x) = (ax+b)^m (cx +d)^n, \; , \; m>1, \; n>1, \; x \in \mathbb R. Să se demonstreze că \frac {mad + nbc}{ac (m+n)} este cuprins între \frac ba şi \frac dc.

f'(x) = m(ax +b)^{m-1}a(cx+d)^{n-1}c(ax+b)^m

f'(x)  = (ax+b)^{m-1}(cx+d)^{n-1}[macx + mad + ncax + ncb]

f'(x)  = (ax+b)^{m-1}(cx+d)^{n-1}[(mac  + nca)x + mad + ncb]


f'(x) =0 \! \Rightarrow \; (ax+b)^{m-1}=0  \Rightarrow \; x= - \frac ba

sau (cx+d)^{n-1}= 0 \; \Rightarrow \; x= - \frac dc \Rightarrow nu aparţin intervalului considerat.

x = - \frac {mad+nbc}{mac+nca}

f(x) =0 \!

\Rightarrow \; (ax+b)^m=0 \; \Rightarrow \; x =- \frac ba.

(cx+d)^n=0 \; \Rightarrow \; x= - \frac dc.

\Rightarrow \!(conform corolarului lui Rolle) \frac ba < \frac {mad + nbc}{ac(m+n)} < \frac dc sau

\frac dc < \frac {mad+nbc}{ac(m+n)} < \frac ba după cum \frac ba < \frac dc sau \frac dc < \frac ba.


Exemplul 4 Edit

Fie funcţia


f(x)=
\begin{cases}
x^2 + mx + n, & x \in [-1, 0)
\\
px^2+4x+4, & x \in [0, 1]
\end{cases}
definită pe [-1, 1], \; m, n, p \in \mathbb R.

Să se determine parametrii m, n, p, astfel încât funcţiei date să i se poată aplica teorema lui Rolle pe intervalul [-1, 1].

  • continuitate

l_s = \lim_{x \uparrow 0} f(x) = \lim_{x \uparrow 0}(x^2+ mx+n) =n.

l_d= \lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{x \downarrow 0} (px^2 + 4x + 4) = 4.

  • derivabilitate

f_s= \lim_{x \uparrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {p x^2 + 4x -4}{x} = 0

f_d=\lim_{x \downarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \downarrow 0} \frac {px^2+4x+4-4}{x} = 0

f satisface teorema lui Rolle \Rightarrow

l_s = l_d \; \Rightarrow \; n=4

f_s = f_d= \; \Rightarrow \; m=4.

f(-1)  =f(1)\; \Rightarrow 1-m+n=p+8 \!

1-4+4=p+8
p=7 \!

Exemplul 5 Edit

Se consideră funcţia f: [0, 1] \rightarrow \mathbb R:

f(x)=
\begin{cases}
x \sin \frac {\pi}{x}, & x \in (0, 1]
\\
0, & x=0
\end{cases}

Aplicând lui f teorema lui Rolle pe fiecare interval \left [\frac {1}{n+1}, \frac {1}{n} \right ], n \ge 1 întreg, să se arate că ecuaţia \tan x = x \! are soluţii pe fiecare interval ( n \pi, (n+1) \pi ). \!

f(\frac {1}{n+1}) = \frac {1}{n+1} \sin \pi (n+1) = 0

f (\frac 1 n) = \frac 1 n \sin \pi n = 0

\Rightarrow \; \exists \; \xi \in (\frac {1}{n+1}, \frac 1 n) astfel încât f'(\xi) =0 \!

f'(x) = \sin \frac {\pi}{x}+ \cos \frac {\pi}{x}

f'(\xi)=0 \!

\Rightarrow \; \sin \frac {\pi}{\xi} + x \cos \frac {\pi}{\xi}=0 \; \; |: \cos \frac {\pi}{\xi}

\tan \frac {\pi}{\xi} = \frac {\pi}{\xi} \; \Rightarrow \; \frac {\pi}{\xi} soluţie a ecuaţiei \tan x = x \!

\frac {1}{n+1} < \xi < \frac 1 n

n < \frac {1}{\xi} < n+1  \; \; | \pi

n \pi < \frac {\pi}{\xi}< \pi (n+1) \; \Rightarrow \; \frac {\pi}{\xi} \in (n \pi, \pi (n+1)).

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki