FANDOM


Michel Rolle

Michel Rolle

Teorema lui Rolle susţine faptul că o funcție care are valori egale la capetele unui interval, adimte un punct în acel interval pentru care derivata sa se anulează.

Enunţ Edit

Teorema Rolle

Fie funcţia $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb {R}, \; a,b \in \mathbb{R}, \; a<b \! $

Dacă

  • f este continuă pe intervalul [a, b]
  • f este derivabilă pe (a, b)
  • f(a) = f(b)

Atunci:

Există cel puţin un punct $ c \in (a, b) $ pentru care $ f' (c) = 0 \! $

Cu alte cuvinte, între două rădăcini ale funcţiei f sa află cel puţin o rădăcină a derivatei f' .

Observaţie: Toate condiţiile din enunţ sunt necesare!. Dacă se renunţă la una din acestea, teorema nu mai este valabilă.

Interpretare geometrică Edit

Teorema lui Rolle, interpretare geometrica

Tangentele duse prin punctele c corespunzătoare graficului funcţiei sunt paralele cu Ox.

Aplicaţii Edit

Exemplul 1 Edit

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x^2 +1, \; x \in [-1, 0) \\ \\ x+1, \; x \in [0, 1] \end{array} \right. $

Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru $ f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R $

  • continuitate

$ l_s = \lim_{x \uparrow 0} {f(x)} = \lim_{x \uparrow 0} (x^2 + 1) = 1 $

$ l_d = \lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{x \downarrow 0} (x+1) = 1 $

$ l_s = l_d = 1 \Rightarrow \! $ continuă în x = 0

f continuă pe $ [-1, 1] \! $


  • derivabilitate

$ f_s = \lim_{x \uparrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x^2 + 1 - 1}{x} = \lim_{x \uparrow 0} x = 0 $

$ f_d = \lim_{x \downarrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x + 1 - 1}{x} = \lim_{x \downarrow 0} x = 0 $

$ f_s \ne f_d \Rightarrow \! $ f nu este derivabilă în x = 0.

f nu satisface teorema lui Rolle.


Exemplul 2 Edit

$ f: [0, \frac {\pi}{2}] \rightarrow \mathbb R $

$ f(x)= \begin{cases} \tan x, \; x \in [0, \frac {\pi}{4}) \\ \cot x, \; x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \end{cases} $

  • continuitate:

$ l_s = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \tan x= 1 $

$ l_d = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \cot x= 1 $

  • derivabilitate:

$ l_s = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {f(x) - f (\frac {\pi}{4})}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\tan x - 1}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\tan x - \tan {\frac {\pi}{4}}}{x - \frac {\pi}{4}} = $ $ = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\frac{\sin (x - \frac{\pi}{4})}{\cos x \cos \frac {\pi}{4}}}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {\sin (x - \frac {\pi}{4})}{x - \frac {\pi}{4}} \cdot \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac {1}{\cos x \cos \frac {\pi}{4}} = $ $ \lim_{x \uparrow \frac {\pi}{4}} \frac{1}{\cos x \cos \frac {\pi}{4}} = \frac {1}{\frac{\sqrt 2}{2} \frac {\sqrt2}{2}} = 2 $

$ f_d = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {f(x)- f(\frac {\pi}{4})}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {\cot x - 1}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {\cot x - \cot \frac{\pi}{4}}{x - \frac {\pi}{4}} = $ $ = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}}\frac {\frac {\sin (\frac {\pi}{x} - x)}{\sin x \sin \frac {\pi}{4}}}{x - \frac {\pi}{4}} = \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {\sin (\frac{\pi}{4} - x)}{- (- \frac {\pi}{4} - x)} \cdot \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {1}{\sin x \sin \frac {\pi}{4}} = $ $ = - \lim_{x \downarrow \frac {\pi}{4}} \frac {1}{\sin x \sin \frac {\pi}{4}} = - \frac {1}{ \frac {\sqrt 2}{2}} { \frac {\sqrt 2}{2}} = -2. $

$ f_s \neq f_d \; \Rightarrow $ f nu este derivabilă în $ x = \frac{\pi}{4} $

f nu satisface teorema lui Rolle.


Exemplul 3 Edit

Fie funcţia $ f(x) = (ax+b)^m (cx +d)^n, \; , \; m>1, \; n>1, \; x \in \mathbb R. $ Să se demonstreze că $ \frac {mad + nbc}{ac (m+n)} $ este cuprins între $ \frac ba $ şi $ \frac dc. $

$ f'(x) = m(ax +b)^{m-1}a(cx+d)^{n-1}c(ax+b)^m $

$ f'(x) = (ax+b)^{m-1}(cx+d)^{n-1}[macx + mad + ncax + ncb] $

$ f'(x) = (ax+b)^{m-1}(cx+d)^{n-1}[(mac + nca)x + mad + ncb] $


$ f'(x) =0 \! $ $ \Rightarrow \; (ax+b)^{m-1}=0 \Rightarrow \; x= - \frac ba $

sau $ (cx+d)^{n-1}= 0 \; \Rightarrow \; x= - \frac dc $ $ \Rightarrow $ nu aparţin intervalului considerat.

$ x = - \frac {mad+nbc}{mac+nca} $

$ f(x) =0 \! $

$ \Rightarrow \; (ax+b)^m=0 \; \Rightarrow \; x =- \frac ba. $

$ (cx+d)^n=0 \; \Rightarrow \; x= - \frac dc. $

$ \Rightarrow \! $(conform corolarului lui Rolle) $ \frac ba < \frac {mad + nbc}{ac(m+n)} < \frac dc $ sau

$ \frac dc < \frac {mad+nbc}{ac(m+n)} < \frac ba $ după cum $ \frac ba < \frac dc $ sau $ \frac dc < \frac ba. $


Exemplul 4 Edit

Fie funcţia

$ f(x)= \begin{cases} x^2 + mx + n, & x \in [-1, 0) \\ px^2+4x+4, & x \in [0, 1] \end{cases} $ definită pe $ [-1, 1], \; m, n, p \in \mathbb R. $

Să se determine parametrii m, n, p, astfel încât funcţiei date să i se poată aplica teorema lui Rolle pe intervalul $ [-1, 1]. $

  • continuitate

$ l_s = \lim_{x \uparrow 0} f(x) = \lim_{x \uparrow 0}(x^2+ mx+n) =n. $

$ l_d= \lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{x \downarrow 0} (px^2 + 4x + 4) = 4. $

  • derivabilitate

$ f_s= \lim_{x \uparrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {p x^2 + 4x -4}{x} = 0 $

$ f_d=\lim_{x \downarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \downarrow 0} \frac {px^2+4x+4-4}{x} = 0 $

f satisface teorema lui Rolle $ \Rightarrow $

$ l_s = l_d \; \Rightarrow \; n=4 $

$ f_s = f_d= \; \Rightarrow \; m=4. $

$ f(-1) =f(1)\; \Rightarrow 1-m+n=p+8 \! $

$ 1-4+4=p+8 $
$ p=-7 $

Exemplul 5 Edit

Se consideră funcţia $ f: [0, 1] \rightarrow \mathbb R: $

$ f(x)= \begin{cases} x \sin \frac {\pi}{x}, & x \in (0, 1] \\ 0, & x=0 \end{cases} $

Aplicând lui f teorema lui Rolle pe fiecare interval $ \left [\frac {1}{n+1}, \frac {1}{n} \right ], n \ge 1 $ întreg, să se arate că ecuaţia $ \tan x = x \! $ are soluţii pe fiecare interval $ ( n \pi, (n+1) \pi ). \! $

$ f(\frac {1}{n+1}) = \frac {1}{n+1} \sin \pi (n+1) = 0 $

$ f (\frac 1 n) = \frac 1 n \sin \pi n = 0 $

$ \Rightarrow \; \exists \; \xi \in (\frac {1}{n+1}, \frac 1 n) $ astfel încât $ f'(\xi) =0 \! $

$ f'(x) = \sin \frac {\pi}{x}+ \cos \frac {\pi}{x} $

$ f'(\xi)=0 \! $

$ \Rightarrow \; \sin \frac {\pi}{\xi} + x \cos \frac {\pi}{\xi}=0 \; \; |: \cos \frac {\pi}{\xi} $

$ \tan \frac {\pi}{\xi} = \frac {\pi}{\xi} \; \Rightarrow \; \frac {\pi}{\xi} $ soluţie a ecuaţiei $ \tan x = x \! $

$ \frac {1}{n+1} < \xi < \frac 1 n $

$ n < \frac {1}{\xi} < n+1 \; \; | \pi $

$ n \pi < \frac {\pi}{\xi}< \pi (n+1) \; \Rightarrow \; \frac {\pi}{\xi} \in (n \pi, \pi (n+1)). $

Vezi şi Edit


Resurse Edit