Teorema lui Ptolemeu

Prima teoremă a lui Ptolemeu

Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci are loc egalitatea:

AC \cdot BD= AB \cdot CD + AD \cdot BC. \!

Demonstraţie Considerăm o inversiune I de pol A şi putere k.

Notăm cum d transformata prin I a cercului circumscris patrulaterului ABCD şi $B'=I(B),\;C'=I(C),\;D'=I(D).\!$ Avem $B'D'=B'C'+C'D'.\!$

Mai departe:

B'D'= k \frac{BD}{AB \cdot AD}, \; B'C'= k \frac{BC}{AB \cdot AC}, \; C'D'=k \frac{CD}{AC \cdot AD}. \!

Utilizând aceste trei egalităţi, identitatea anterioară se scrie:

k \frac{BD}{AB \cdot AD} = k \frac{BC}{AB \cdot AC} + k \frac{CD}{AC \cdot AD}, \!

de unde:

AC \cdot BD= AB \cdot CD + AD \cdot BC. \!

Teoremă: Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci are loc egalitatea:

\frac{AC}{BD} = \frac{AB \cdot AD + CB \cdot CD}{BA \cdot BC  + DA \cdot DC}. \!

Demonstraţie: Se consideră inversiunea $I_{A, k}. \!$ Se aplică teorema lui Stewart în triunghiul $AB'C' \!$ :

AC'^2 \cdot B'D' = AB'^2 \cdot C'D' + AD'^2 \cdot B'C' - B'C' \cdot C'D' \cdot B'D'. \!

Utilizând proprietăţile inversiunii, avem:

AB'=\frac{k}{AB}, \;\; AC'=\frac{k}{AC}, \; \; DA'=\frac{k}{AD} \!

B'C'=BC \frac{k}{AB \cdot AC}; \; \; C'D'=CD \frac{k}{AC \cdot AD}; \; \; B'D' = BD \frac{k}{AB \cdot AD}. \!

Rezultă:

\frac{k^2}{AC^2} \cdot \frac{k}{AB \cdot AD}= \frac{k^2}{AB^2} \cdot \frac{k}{AC \cdot AD} + \frac{k^2}{AD^2} \cdot \frac{k}{AB \cdot AC}-  \!

- \frac{k^3 \cdot BD \cdot BC \cdot CD}{AB \cdot AD \cdot AB \cdot AC \cdot AC \cdot AD} \;\Rightarrow \!

\Rightarrow \; BD \cdot AB \cdot AD=AC \cdot CD \cdot AD+ BC \cdot AB \cdot AC-BD \cdot BC \cdot CD \; \Rightarrow \!

\Rightarrow \; BD(AB \cdot AD + BC \cdot CD) = AC(AB \cdot BC + AD \cdot CD) \; \Rightarrow \!

\Rightarrow \; \frac{AC}{BD} = \frac{AB \cdot AD + CB \cdot CD}{BA \cdot BC + DA \cdot DC}. \!