Fandom

Math Wiki

Teorema lui Ptolemeu

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Prima teorema a lui Ptolemeu.png

Prima teoremă a lui Ptolemeu Edit

Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci are loc egalitatea:

AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC. \!


Demonstraţie Considerăm o inversiune I de pol A şi putere k.

Notăm cum d transformata prin I a cercului circumscris patrulaterului ABCD şi B'=I(B), \; C'=I(C), \; D'=I(D) .\! Avem B'D'=B'C'+C'D'. \!

Mai departe:

B'D'= k \frac{BD}{AB \cdot AD}, \; B'C'= k \frac{BC}{AB \cdot AC}, \; C'D'=k \frac{CD}{AC \cdot AD}. \!

Utilizând aceste trei egalităţi, identitatea anterioară se scrie:

k \frac{BD}{AB \cdot AD} = k \frac{BC}{AB \cdot AC} + k \frac{CD}{AC \cdot AD}, \!

de unde:

AC \cdot BD= AB \cdot CD + AD \cdot BC. \!

A doua relaţie a lui Ptolemeu Edit

Teoremă: Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci are loc egalitatea:

\frac{AC}{BD} = \frac{AB \cdot AD + CB \cdot CD}{BA \cdot BC  + DA \cdot DC}. \!


Demonstraţie: Se consideră inversiunea I_{A, k}. \! Se aplică teorema lui Stewart în triunghiul AB'C' \!:

AC'^2 \cdot B'D' = AB'^2 \cdot C'D' + AD'^2 \cdot B'C' - B'C' \cdot C'D' \cdot B'D'. \!

Utilizând proprietăţile inversiunii, avem:

AB'=\frac{k}{AB}, \;\; AC'=\frac{k}{AC}, \; \; DA'=\frac{k}{AD} \!
B'C'=BC \frac{k}{AB \cdot AC}; \; \; C'D'=CD \frac{k}{AC \cdot AD}; \; \; B'D' = BD \frac{k}{AB \cdot AD}. \!

Rezultă:

\frac{k^2}{AC^2} \cdot \frac{k}{AB \cdot AD}= \frac{k^2}{AB^2} \cdot \frac{k}{AC \cdot AD} + \frac{k^2}{AD^2} \cdot \frac{k}{AB \cdot AC}-  \!
- \frac{k^3 \cdot BD \cdot BC \cdot CD}{AB \cdot AD \cdot AB \cdot AC \cdot AC \cdot AD} \;\Rightarrow \!
\Rightarrow \; BD \cdot AB \cdot AD=AC \cdot CD \cdot AD+ BC \cdot AB \cdot AC-BD \cdot BC \cdot CD \; \Rightarrow \!
\Rightarrow \; BD(AB \cdot AD + BC \cdot CD) = AC(AB \cdot BC + AD \cdot CD) \; \Rightarrow \!
\Rightarrow \; \frac{AC}{BD} = \frac{AB \cdot AD + CB \cdot CD}{BA \cdot BC + DA \cdot DC}. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki