Teorema lui Pompeiu

Teoremă. Fie ABC un triunghi echilateral şi M un punct în planul triunghiului. Atunci:

a) Dacă M nu aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci există un triunghi cu laturile congruente cu segmentele $MA, MB, MC. \!$

b) Dacă M aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci lungimea unuia dintre segmentele $MA, MB, MC \!$ este egală cu suma lungimilor celorlalte două.

Demonstraţie.

a) Fie inversiunea $i_{M, k}, \; k \in \mathbb R \setminus \{0\} \!$ şi $A'= i_{M, k}(A), \; B'=i_{M, k}(B), \; C' = i_{M, k} (C). \!$

Notăm cu $a, b, c \!$ lungimile segmentelor $MA, MB, MC \!$ şi cu l lungimea laturilor triunghiului echilateral ABC. Deoarece punctul M nu este situat pe cercul circumscris triunghiului ABC, punctele $A', B', C' \!$ nu sunt coliniare.

$A'B'= AB \cdot \frac{k}{ab} = l \cdot \frac{k}{ab} = \frac{c \cdot l \cdot k}{abc}. \!$

Analog, $B'C' = \frac{a \cdot l \cdot k}{abc} \!$ şi $C'A' = \frac{b \cdot l \cdot k}{abc}. \!$ Rezultă:

$\frac{a}{B'C'} = \frac{b}{C'A'} = \frac{c}{A'B'} = \frac{abc}{l \cdot k}. \!$

Prin urmare, lungimile segmentelor $MA, MB, MC \!$ sunt proporţionale cu lungimile laturilor triunghiului A'B'C'. Aşadar segmentele $MA, MB, MC \!$ pot forma un triunghi asemenea cu triunghiul $A'B'C'. \!$

b)

Dacă M aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci prin aceeaşi inversiune $i_{M, k}, \!$ punctele $A, B, C \!$ se transformă în punctele $A', B', C' \!$ situate pe o dreaptă (perpendiculară pe diametrul ce trece prin M). Avem:

$A'B' = B'C' + C'A' \; \; \Leftrightarrow \; \; AB \cdot \frac{k}{ab} = BC \cdot \frac{k}{bc} + CA \cdot \frac{k}{ca} \; \; \Leftrightarrow \; \; c=a+b. \!$

Vezi şi

• Teorema lui Țițeica