FANDOM


Teoremă. Fie ABC un triunghi echilateral şi M un punct în planul triunghiului. Atunci:

a) Dacă M nu aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci există un triunghi cu laturile congruente cu segmentele $ MA, MB, MC. \! $

b) Dacă M aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci lungimea unuia dintre segmentele $ MA, MB, MC \! $ este egală cu suma lungimilor celorlalte două.


Demonstraţie.

Teorema lui Pompeiu 1

a) Fie inversiunea $ i_{M, k}, \; k \in \mathbb R \setminus \{0\} \! $ şi $ A'= i_{M, k}(A), \; B'=i_{M, k}(B), \; C' = i_{M, k} (C). \! $

Notăm cu $ a, b, c \! $ lungimile segmentelor $ MA, MB, MC \! $ şi cu l lungimea laturilor triunghiului echilateral ABC. Deoarece punctul M nu este situat pe cercul circumscris triunghiului ABC, punctele $ A', B', C'\! $ nu sunt coliniare.

$ A'B'= AB \cdot \frac{k}{ab} = l \cdot \frac{k}{ab} = \frac{c \cdot l \cdot k}{abc}. \! $

Analog, $ B'C' = \frac{a \cdot l \cdot k}{abc} \! $ şi $ C'A' = \frac{b \cdot l \cdot k}{abc}. \! $ Rezultă:

$ \frac{a}{B'C'} = \frac{b}{C'A'} = \frac{c}{A'B'} = \frac{abc}{l \cdot k}. \! $

Prin urmare, lungimile segmentelor $ MA, MB, MC \! $ sunt proporţionale cu lungimile laturilor triunghiului A'B'C'. Aşadar segmentele $ MA, MB, MC \! $ pot forma un triunghi asemenea cu triunghiul $ A'B'C'. \! $


b)

Teorema lui Pompeiu 2

Dacă M aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci prin aceeaşi inversiune $ i_{M, k}, \! $ punctele $ A, B, C \! $ se transformă în punctele $ A', B', C' \! $ situate pe o dreaptă (perpendiculară pe diametrul ce trece prin M). Avem:

$ A'B' = B'C' + C'A' \; \; \Leftrightarrow \; \; AB \cdot \frac{k}{ab} = BC \cdot \frac{k}{bc} + CA \cdot \frac{k}{ca} \; \; \Leftrightarrow \; \; c=a+b. \! $

Vezi şi Edit