Fandom

Math Wiki

Teorema lui Pompeiu

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments12 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teoremă. Fie ABC un triunghi echilateral şi M un punct în planul triunghiului. Atunci:

a) Dacă M nu aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci există un triunghi cu laturile congruente cu segmentele MA, MB, MC. \!

b) Dacă M aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci lungimea unuia dintre segmentele MA, MB, MC \! este egală cu suma lungimilor celorlalte două.


Demonstraţie.

Teorema lui Pompeiu 1.png

a) Fie inversiunea i_{M, k}, \; k \in \mathbb R \setminus \{0\} \! şi A'= i_{M, k}(A), \; B'=i_{M, k}(B), \; C' = i_{M, k} (C). \!

Notăm cu a, b, c \! lungimile segmentelor MA, MB, MC \! şi cu l lungimea laturilor triunghiului echilateral ABC. Deoarece punctul M nu este situat pe cercul circumscris triunghiului ABC, punctele A', B', C'\! nu sunt coliniare.

A'B'= AB \cdot \frac{k}{ab} = l \cdot \frac{k}{ab} = \frac{c \cdot l \cdot k}{abc}. \!

Analog, B'C' = \frac{a \cdot l \cdot k}{abc} \! şi C'A' = \frac{b \cdot l \cdot k}{abc}. \! Rezultă:

\frac{a}{B'C'} = \frac{b}{C'A'} = \frac{c}{A'B'} = \frac{abc}{l \cdot k}. \!

Prin urmare, lungimile segmentelor MA, MB, MC \! sunt proporţionale cu lungimile laturilor triunghiului A'B'C'. Aşadar segmentele MA, MB, MC \! pot forma un triunghi asemenea cu triunghiul A'B'C'. \!


b)

Teorema lui Pompeiu 2.png

Dacă M aparţine cercului circumscris triunghiului ABC, atunci prin aceeaşi inversiune i_{M, k}, \! punctele A, B, C \! se transformă în punctele A', B', C' \! situate pe o dreaptă (perpendiculară pe diametrul ce trece prin M). Avem:

A'B' = B'C' + C'A' \; \; \Leftrightarrow \; \; AB \cdot \frac{k}{ab} = BC \cdot \frac{k}{bc} + CA \cdot \frac{k}{ca} \; \; \Leftrightarrow \; \; c=a+b. \!

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki