FANDOM


Teorema lui Pascal

Teoremă. Într-un hexagon înscris într-un cerc, punctele de intersecţie ale laturilor opuse sunt coliniare.


Demonstraţie. Fie

$ AB \cap DE = \{ L \}; \; \; CB \cap FE = \{ M \}; \; \; AF \cap DC = \{N \}. \! $

Considerăm triunghiul IJK format de prelungirile laturilor $ (AB), (CD), (EF). \! $ Aplicăm teorema lui Menelaus pentru triunghiul IJK şi transversalele $ ED, BC, AF. \! $

Obţinem următoarele relaţii:

$ \frac{EK}{EI} \cdot \frac{DI}{DJ} \cdot \frac{LJ}{LK} = 1 \! $   (1)
$ \frac{BJ}{BK} \cdot \frac{CI}{CJ} \cdot \frac{MK}{MI} = 1 \! $   (2)
$ \frac{AJ}{AK} \cdot \frac{FK}{FI} \cdot \frac{NI}{NJ} = 1 \! $   (3)

Ţinând cont de relaţiile deduse din scrierea puterilor punctelor $ I, J, K \! $ faţă de cerc:

$ IC \cdot ID = IE \cdot IF; \; \; JB \cdot JA= CJ \cdot CD; \; \; KA \cdot KB = KE \cdot KF; \! $

şi înmulţind relaţiile (1), (2) şi (3) membru cu membru, obţinem:

$ \frac{LJ}{LK} \cdot \frac{MK}{MI} \cdot \frac{NI}{NJ} = 1 \; \Rightarrow \; \! $ conform teoremei lui Menlaus, punctele $ L, M, N \! $ coliniare.
Pascal1 theorem

Vezi şi Edit

Resurse Edit