FANDOM


Teorema lui Morley 1

Teoremă. Punctele de intersecţie ale trisectoarelor adiacente într-un triunghi ABC, $ A'(\alpha), B'(\beta), C'(\gamma), \! $ formează în triunghi echilateral.


Soluţie. Considerăm rotaţiile:

$ f_1 = r_{A, 2x}, \; f_2 = r_{B, 2y}, f_3 = r_{C, 2z}, \! $

de centre A, B, C, de unghiuri $ x= \frac 1 3 \hat A, \; y = \frac 1 3 \hat B, \; z= \frac 1 3 \hat C. \! $

Notăm $ A', B', C' \! $ punctele fixe ale transformărilor $ f_1 \circ f_2, \; f_2 \circ f_3, \; f_3 \circ f_1. \! $


Teorema lui Morley 2

Pentru a demonstra că triunghiul $ A'B'C' \! $ este echilateral, este suficient să demonstrăm, cu ajutorul teoremei anterioare, că $ f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = 1_{C}. \! $ Compunerea $ s_{AC} \circ s_{AB} \! $ a simetriilor $ s_{AC} \! $ şi $ s_{AB} \! $ în raport cu dreptele AC şi AB este o rotaţie de centru A şi unghi 6x.

Teorema lui Morley 3

Prin urmare,

$ f_1^3 = s_{AC} \circ s_{AB} \! $

şi analog

$ f_2^3=s_{BA} \circ s_{BC}, \! $
$ f_3^3 = s_{CB} \circ s_{CA}. \! $

Rezultă:

$ f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = s_{AC} \circ s_{AB} \circ s_{BA} \circ s_{BC} \circ s_{CB} \circ s_{CA} = 1_C. \! $

Vezi şi Edit


Resurse Edit