Fandom

Math Wiki

Teorema lui Morley

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Morley 1.png

Teoremă. Punctele de intersecţie ale trisectoarelor adiacente într-un triunghi ABC, A'(\alpha), B'(\beta), C'(\gamma), \! formează în triunghi echilateral.


Soluţie. Considerăm rotaţiile:

f_1 = r_{A, 2x}, \; f_2 = r_{B, 2y}, f_3 = r_{C, 2z}, \!

de centre A, B, C, de unghiuri x= \frac 1 3 \hat A, \; y = \frac 1 3 \hat B, \; z= \frac 1 3 \hat C. \!

Notăm A', B', C' \! punctele fixe ale transformărilor f_1 \circ f_2, \; f_2 \circ f_3, \; f_3 \circ f_1. \!


Teorema lui Morley 2.png

Pentru a demonstra că triunghiul A'B'C' \! este echilateral, este suficient să demonstrăm, cu ajutorul teoremei anterioare, că f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = 1_{C}. \! Compunerea s_{AC} \circ s_{AB} \! a simetriilor s_{AC} \! şi s_{AB} \! în raport cu dreptele AC şi AB este o rotaţie de centru A şi unghi 6x.

Teorema lui Morley 3.png

Prin urmare,

f_1^3 = s_{AC} \circ s_{AB} \!

şi analog

f_2^3=s_{BA} \circ s_{BC}, \!
f_3^3 = s_{CB} \circ s_{CA}. \!

Rezultă:

f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = s_{AC} \circ s_{AB} \circ s_{BA} \circ s_{BC} \circ s_{CB} \circ s_{CA} = 1_C. \!

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki