Wikia

Teoremă. Dacă o transversală intersectează dreptele $AB, BC, AC, \!$ care conţin laturile $(AB), \; (BC), \; (AC) \!$ ale triunghiului ABC în punctele $A_1, B_1, \!$ respectiv $C_1, \!$ atunci are loc relaţia:

$\frac{A_1B}{A_1C} \cdot \frac{B_1C}{B_1A} \cdot \frac{C_1A}{C_1B} =1. \!$

Demonstraţie. Fie t o transversală care intersectează dreptele $AB, \; BC, \; AC, \!$ care conţin laturile triunghiului ABC în punctele $A_1, \; B_1, \; C_1. \!$

Construim semidreptele paralele $(AA_2, ; (BB_2, \; (CC_2, \!$ care intersectează transversala t în punctele $A_2, \; B_2, \; C_2. \!$ Rezultă că $[AA_2], \; [BB_2], \; [CC_2] \!$ sunt segmente paralele. Considerăm trei omotetii: $h_{A_1, k_1} \!$ care transformă pe B în C, $h_{B_1, k_2} \!$ care transformă pe C în A şi $h_{C_1, k_3} \!$ care transformă pe A în B. Prin urmare: