Fandom

Math Wiki

Teorema lui Menelaus

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments4 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Menelaus.png

Teoremă. Dacă o transversală intersectează dreptele AB, BC, AC, \! care conţin laturile  (AB), \; (BC), \; (AC) \! ale triunghiului ABC în punctele A_1, B_1, \! respectiv C_1, \! atunci are loc relaţia:

\frac{A_1B}{A_1C} \cdot \frac{B_1C}{B_1A} \cdot \frac{C_1A}{C_1B} =1. \!


Demonstraţie. Fie t o transversală care intersectează dreptele AB, \; BC, \; AC, \! care conţin laturile triunghiului ABC în punctele A_1, \; B_1, \; C_1. \!

Construim semidreptele paralele (AA_2, ; (BB_2, \; (CC_2, \! care intersectează transversala t în punctele A_2, \; B_2, \; C_2. \! Rezultă că [AA_2], \; [BB_2], \; [CC_2] \! sunt segmente paralele. Considerăm trei omotetii: h_{A_1, k_1} \! care transformă pe B în C, h_{B_1, k_2} \! care transformă pe C în A şi h_{C_1, k_3} \! care transformă pe A în B. Prin urmare:

\frac{A_1B}{A_1C}= k_1, \; \; \frac{B_1C}{B_1A}= k_2, \; \; \frac{C_1A}{C_1B}= k_3 \!

Rezultă că h_{A_1, k_1}(B_2)=C_2, \; h_{B_1, k_2}=A_2, \; h_{C_1, k_3} = B_2 \!

şi

\frac{A_1B}{A_1C}=\frac{BB_2}{CC_2}, \; \frac{B_1C}{B_1A}=\frac{CC_2}{AA_2}, \; \frac{C_1A}{C_1B}=\frac{AA_2}{BB_2}. \!

Înmulţind membru cu membru aceste ultime egalităţi obţinem relaţia din enunţ.


reciproca?

Resurse Edit

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki