FANDOM


Teorema lui Menelaus

Teoremă. Dacă o transversală intersectează dreptele $ AB, BC, AC, \! $ care conţin laturile $ (AB), \; (BC), \; (AC) \! $ ale triunghiului ABC în punctele $ A_1, B_1, \! $ respectiv $ C_1, \! $ atunci are loc relaţia:

$ \frac{A_1B}{A_1C} \cdot \frac{B_1C}{B_1A} \cdot \frac{C_1A}{C_1B} =1. \! $


Demonstraţie. Fie t o transversală care intersectează dreptele $ AB, \; BC, \; AC, \! $ care conţin laturile triunghiului ABC în punctele $ A_1, \; B_1, \; C_1. \! $

Construim semidreptele paralele $ (AA_2, ; (BB_2, \; (CC_2, \! $ care intersectează transversala t în punctele $ A_2, \; B_2, \; C_2. \! $ Rezultă că $ [AA_2], \; [BB_2], \; [CC_2] \! $ sunt segmente paralele. Considerăm trei omotetii: $ h_{A_1, k_1} \! $ care transformă pe B în C, $ h_{B_1, k_2} \! $ care transformă pe C în A şi $ h_{C_1, k_3} \! $ care transformă pe A în B. Prin urmare:

$ \frac{A_1B}{A_1C}= k_1, \; \; \frac{B_1C}{B_1A}= k_2, \; \; \frac{C_1A}{C_1B}= k_3 \! $

Rezultă că $ h_{A_1, k_1}(B_2)=C_2, \; h_{B_1, k_2}=A_2, \; h_{C_1, k_3} = B_2 \! $

şi

$ \frac{A_1B}{A_1C}=\frac{BB_2}{CC_2}, \; \frac{B_1C}{B_1A}=\frac{CC_2}{AA_2}, \; \frac{C_1A}{C_1B}=\frac{AA_2}{BB_2}. \! $

Înmulţind membru cu membru aceste ultime egalităţi obţinem relaţia din enunţ.


reciproca?

Resurse Edit

Vezi şi Edit