Wikia

Math Wiki

Teorema lui Menelaus

Comments2
1.008pages on
this wiki
Teorema lui Menelaus

Teoremă. Dacă o transversală intersectează dreptele AB, BC, AC, \! care conţin laturile  (AB), \; (BC), \; (AC) \! ale triunghiului ABC în punctele A_1, B_1, \! respectiv C_1, \! atunci are loc relaţia:

\frac{A_1B}{A_1C} \cdot \frac{B_1C}{B_1A} \cdot \frac{C_1A}{C_1B} =1. \!


Demonstraţie. Fie t o transversală care intersectează dreptele AB, \; BC, \; AC, \! care conţin laturile triunghiului ABC în punctele A_1, \; B_1, \; C_1. \!

Construim semidreptele paralele (AA_2, ; (BB_2, \; (CC_2, \! care intersectează transversala t în punctele A_2, \; B_2, \; C_2. \! Rezultă că [AA_2], \; [BB_2], \; [CC_2] \! sunt segmente paralele. Considerăm trei omotetii: h_{A_1, k_1} \! care transformă pe B în C, h_{B_1, k_2} \! care transformă pe C în A şi h_{C_1, k_3} \! care transformă pe A în B. Prin urmare:

\frac{A_1B}{A_1C}= k_1, \; \; \frac{B_1C}{B_1A}= k_2, \; \; \frac{C_1A}{C_1B}= k_3 \!

Rezultă că h_{A_1, k_1}(B_2)=C_2, \; h_{B_1, k_2}=A_2, \; h_{C_1, k_3} = B_2 \!

şi

\frac{A_1B}{A_1C}=\frac{BB_2}{CC_2}, \; \frac{B_1C}{B_1A}=\frac{CC_2}{AA_2}, \; \frac{C_1A}{C_1B}=\frac{AA_2}{BB_2}. \!

Înmulţind membru cu membru aceste ultime egalităţi obţinem relaţia din enunţ.


Resurse Edit

Vezi şi Edit

Around Wikia's network

Random Wiki