Fandom

Math Wiki

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite)

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Lagrange fig. 1.JPG

Enunţ Edit

Teorema creşterilor finite a lui Lagrange mai este deumită şi Prima teoremă a creșterilor finite sau Prima teoremă de medie. Este o generalizare a teoremei lui Rolle, în care funcția considerată nu are neapărat valori egale la capetele intervalului de definiţie.

Teoremă (Lagrange). Fie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a, b \in \mathbb R, \; a< b o funcție care respectă următoarele condiţii:

1) f este continuă pe intervalul închis [a, b]; \!

2) f este derivabilă pe intervalul deschis (a, b), \!

atunci există cel puţin un punct c în intervalul deschis (a, b) (deci c \in (a, b) \!) pentru care:

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}. \!

Consecinţe Edit

1) Dacă f are derivata nulă pe un interval atunci f este constantă pe acel interval.

2) Dacă f, g au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă pe acel interval doar printr-o constantă.

f'(x) = g'(x), \; \forall x \in E  \; \Rightarrow \; f(x) - g(x) = k, \; \forall x \in E. \!

3) Dacă derivata unei funcţii este (strict) pozitivă (respectiv negativă) pe un interval, atunci funcţia este (strict) crescătoare (respectiv descrescătoare) pe acel interval:

f'(x) \ge 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! este crescătoare pe E;
f'(x) \le 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! este descrescătoare pe E;
f'(x) > 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! este strict crescătoare pe E;
f'(x) < 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! este strict descrescătoare pe E,

unde s-a considerat f: E \rightarrow \mathbb R, \! E fiind interval închis.


4) Fie f: E \rightarrow \mathbb R, \! E interval închis şi x_0 \in E. \! Dacă f este continuă în x_0 \! şi derivabilă pe E \setminus \{ x_0 \} \! şi există limita \lim_{x \to x_0} f'(x) =l \in \mathbb {\bar R}, \! atunci f admite derivată în x_0 \! şi avem:

f'(x_0) = l. \!

Mai mult, dacă l \in \mathbb R, \! atunci f este derivabilă în x_0 \! şi:

f'(x_0) = l. \!

Aplicaţii Edit

1) Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange în cazul funcţiei:

f: [1, 3] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = \begin{cases} x, & daca \; 1 \le x \le 2 \\ \frac{x^4}{2}+1, & daca \; 2 < x \le 3 \end{cases} \!


Soluţie

\lim_{x \to 2, \; x<2} x=2. \!

Verificăm continuitatea funcţiei:

f(2) =  \lim_{x \to 2, \; x<2} x  =2 \!
f(2) =  \lim_{x \to 2, \; x>2} \frac{x^4}{4}+1  =5 \!

Verificăm derivabilitatea:

f'(x) = \begin{cases} 1 & daca \; 1 \le x < 2 \\ \frac x 2 & daca \; 2< \le 3 \end{cases} \!

În punctul x=2 avem:

f'_s (2) = \lim_{x \to 2 \; x<2} \frac{x-2}{x-2} =1; \!
f'_d (2) = \lim_{x \to 2 \; x>2} \frac{x^2 +1 -2}{x-2} = \frac 1 4 \!
f'_d (2) = \lim_{x \to 2 \; x>2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 1 \!

Am obţinut:

f'_s = f'_d =1, \!

deci funcţia este derivabilă şi atunci se poate aplica teorema lui Lagrange:

\frac{f(3) - f(1)}{3-1} = \frac{\frac 9 4 +1 -1}{2} = \frac 9 8, \!

se disting două cazuri:

  • cazul 1: dacă c \in (1, 2) \;  \Rightarrow \; f'(x) = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; 1=\frac 9 8, imposibil
  • cazul 2: dacă c \in (2, 3) \;  \Rightarrow \; f'(c) = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; \frac c 2 = \frac 9 8  \; \Leftrightarrow \; c= \frac 94 \in (2, 3).


2) Să se demonstreze inegalitatea:

\frac{x}{1+x} < \ln (1+x) < x, \; x>0; \!


Soluţie. Aplicăm teorema lui Lagrange funcţiei f(t) = \ln (1+t) \! pe intervalul [0, x]; \!

\frac{f(b) - f(a)}{b-a}= f'(c) \!

devine

\frac{f(b) - f(0)}{x-0}= f'(c) \!

deci:

\frac{\ln (1+t)}{x} = \frac{1}{1+c}. \!

Cum 0<c< x, \! avem:

1< c+1<x+1 \! şi 1>\frac {1}{c+1}>\frac{1}{x+1} \!
\Rightarrow \; 1>\frac{\ln (1+x)}{x}> \frac{1}{x+1} \; \Rightarrow \; x> \ln (1+x) > \frac{x}{x+1}. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki