FANDOM


Teorema lui Lagrange fig. 1

Enunţ Edit

Teorema creşterilor finite a lui Lagrange mai este deumită şi Prima teoremă a creșterilor finite sau Prima teoremă de medie. Este o generalizare a teoremei lui Rolle, în care funcția considerată nu are neapărat valori egale la capetele intervalului de definiţie.

Teoremă (Lagrange). Fie $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a, b \in \mathbb R, \; a< b $ o funcție care respectă următoarele condiţii:

1) f este continuă pe intervalul închis $ [a, b]; \! $

2) f este derivabilă pe intervalul deschis $ (a, b), \! $

atunci există cel puţin un punct c în intervalul deschis (a, b) (deci $ c \in (a, b) \! $) pentru care:

$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}. \! $

Consecinţe Edit

1) Dacă f'=0, atunci f constantă pe acel interval.

2) Dacă f, g au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă pe acel interval doar printr-o constantă.

$ f'(x) = g'(x), \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f(x) - g(x) = k, \; \forall x \in E. \! $

3) Dacă derivata unei funcţii este (strict) pozitivă (respectiv negativă) pe un interval, atunci funcţia este (strict) crescătoare (respectiv descrescătoare) pe acel interval:

$ f'(x) \ge 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! $ este crescătoare pe E;
$ f'(x) \le 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! $ este descrescătoare pe E;
$ f'(x) > 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! $ este strict crescătoare pe E;
$ f'(x) < 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \! $ este strict descrescătoare pe E,

unde s-a considerat $ f: E \rightarrow \mathbb R, \! $ E fiind interval închis.


4) Fie $ f: E \rightarrow \mathbb R, \! $ E interval închis şi $ x_0 \in E. \! $ Dacă f este continuă în $ x_0 \! $ şi derivabilă pe $ E \setminus \{ x_0 \} \! $ şi există limita $ \lim_{x \to x_0} f'(x) =l \in \mathbb {\bar R}, \! $ atunci f admite derivată în $ x_0 \! $ şi avem:

$ f'(x_0) = l. \! $

Mai mult, dacă $ l \in \mathbb R, \! $ atunci f este derivabilă în $ x_0 \! $ şi:

$ f'(x_0) = l. \! $

Aplicaţii Edit

1) Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange în cazul funcţiei:

$ f: [1, 3] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = \begin{cases} x, & daca \; 1 \le x \le 2 \\ \frac{x^4}{ & daca \; 2 < x \le 3 \end{cases} \! $


Soluţie:

$ \lim_{x \to 2, \; x<2} x=2. \! $

Verificăm continuitatea funcţiei:

$ f(2) = \lim_{x \to 2, \; x<2} x =2 \! $
$ f(2) = \lim_{x \to 2, \; x>2} \frac{x^4}{4}+1 =5 \! $

Verificăm derivabilitatea:

$ f'(x) = \begin{cases} 1 & daca \; 1 \le x < 2 \\ \frac x 2 & daca \; 2< \le 3 \end{cases} \! $

În punctul x=2 avem:

$ f'_s (2) = \lim_{x \to 2 \; x<2} \frac{x-2}{x-2} =1; \! $
$ f'_d (2) = \lim_{x \to 2 \; x>2} \frac{x^2 +1 -2}{x-2} = \frac 1 4 \! $
$ f'_d (2) = \lim_{x \to 2 \; x>2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 1 \! $

Am obţinut:

$ f'_s = f'_d =1, \! $

deci funcţia este derivabilă şi atunci se poate aplica teorema lui Lagrange:

$ \frac{f(3) - f(1)}{3-1} = \frac{\frac 9 4 +1 -1}{2} = \frac 9 8, \! $

se disting două cazuri:

  • cazul 1: dacă $ c \in (1, 2) \; \Rightarrow \; f'(x) = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; 1=\frac 9 8, $ imposibil
  • cazul 2: dacă $ c \in (2, 3) \; \Rightarrow \; f'(c) = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; \frac c 2 = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; c= \frac 94 \in (2, 3). $


2) Să se demonstreze inegalitatea:

$ \frac{x}{1+x} < \ln (1+x) < x, \; x>0; \! $


Soluţie. Aplicăm teorema lui Lagrange funcţiei $ f(t) = \ln (1+t) \! $ pe intervalul $ [0, x]; \! $

$ \frac{f(b) - f(a)}{b-a}= f'(c) \! $

devine

$ \frac{f(b) - f(0)}{x-0}= f'(c) \! $

deci:

$ \frac{\ln (1+t)}{x} = \frac{1}{1+c}. \! $

Cum $ 0<c< x, \! $ avem:

$ 1< c+1<x+1 \! $ şi $ 1>\frac {1}{c+1}>\frac{1}{x+1} \! $
$ \Rightarrow \; 1>\frac{\ln (1+x)}{x}> \frac{1}{x+1} \; \Rightarrow \; x> \ln (1+x) > \frac{x}{x+1}. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit