FANDOM


Punctul lui Feuerbach

Teoremă. Într-un triunghi, cercul lui Euler este tangent la cercul înscris şi la cercurile exînscrise. (Teorema lui Feuerbach)


Demonstraţie. Fie ABC un triunghi, I centru cercului înscris şi $ I_a \! $ centrul cercului exinscris tangent laturii $ [BC]. \! $ Notăm cu $ A_1 \! $ piciorul înălţimii din A şi cu $ A_2 \! $ mijlocul laturii [BC], cu D şi D' punctele de tangenţă ale celor două cercuri cu latura $ [BC] \! $ şi $ \{E \} = H_a \cap BC. \! $ Considerăm inversiunea de pol $ A_2 \! $ şi putere $ k = \frac{(\beta - \gamma)^2}{4}, \! $ unde $ \beta = AC \! $ şi $ \gamma= AB. \! $

Puterea punctului $ A_2 \! $ în raport cu $ \mathcal C(I, r) \! $ este:

$ \rho(A_2) = A_2 I^2 - r^2 = A_2D^2 = \left ( \frac{\alpha}{2} - p + \beta \right )^2 = \frac{(\beta- \gamma)^2}{4} = A_2D'^2 = A_2E \cdot A_2A_1 = \! $
$ = \left | \frac{\alpha(\beta - \gamma)}{2(\beta + \gamma)} \right | \cdot \left | \frac{\beta^2 - \gamma^2}{4} \right | = k. \! $

Deoarece $ A_2E \cdot A_2A_1 = k, \! $ rezultă că punctul $ A_2 \! $ se trasnformă în E şi $ A_1 \! $ se află pe cercul lui Euler al triunghiului ABC, rezultă că punctul E se află pe dreapta d care este transformata cercului lui Euler prin $ i_{A_2, k}, \! $ dreaptă care este perpendiculară pe dreapta $ A_2 \omega, \! $ $ \omega \! $ fiind centrul cercului lui Euler. Deci d trece prin E şi fiind perpendiculară pe $ A_2 \omega, \! $ este perpendiculară pe paralela acestuia, diametrul [AO]. Dreapta $ DD' \! $ fiind o tangentă comună interioară a cercurilor înscris şi exinscris, a doua tangentă interioară $ FF' \! $ trebuie să treacă prin punctul de intersecţie al dreptei $ DD' \! $ cu dreapta centrelor $ H_a, \! $ deci prin E. În acelaşi timp $ FF' \! $ şi $ DD' \! $ fac unghiuri congruente cu $ H_a, \! $ de unde rezultă că sunt antiparalele în A şi deci dreapta $ FF' \! $ este perpendiculară pe AO. Rezultă că $ d = FF' . \! $ Deci transformata cercului lui Euler prin $ i_{A_2, k} \! $ este dreapta $ FF' \! $ şi cum această dreaptă este tangentă cercurilor înscris şi exînscris triunghiului în punctele $ F, \! $ respectiv $ F', \! $ cercului lui Euler este de asemenea tangent la cercurile înscris şi exînscris în punctele $ F_1, \! $ respectiv $ F'_1, \! $ transformatele punctelor $ F \! $ şi $ F' \! $ prin inversiunea $ i_{A_2, k}. \! $

Analog se arată, prin inversiuni având polurile în mijloacele laturilor [AC] şi [AB] şi modulele $ (a-c)^2, \! $ respectiv $ (a-b)^2, \! $ că cercul lui Euler este tangent cercurilor exînscrise tangente la laturile [AC] şi [AB].

Resurse Edit