Fandom

Math Wiki

Teorema lui Feuerbach

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Punctul lui Feuerbach.gif

Teoremă. Într-un triunghi, cercul lui Euler este tangent la cercul înscris şi la cercurile exînscrise. (Teorema lui Feuerbach)


Demonstraţie. Fie ABC un triunghi, I centru cercului înscris şi I_a \! centrul cercului exinscris tangent laturii [BC]. \! Notăm cu A_1 \! piciorul înălţimii din A şi cu A_2 \! mijlocul laturii [BC], cu D şi D' punctele de tangenţă ale celor două cercuri cu latura [BC] \! şi \{E \} = H_a \cap BC. \! Considerăm inversiunea de pol A_2 \! şi putere k = \frac{(\beta - \gamma)^2}{4}, \! unde \beta = AC \! şi \gamma= AB. \!

Puterea punctului A_2 \! în raport cu \mathcal C(I, r) \! este:

\rho(A_2) = A_2 I^2 - r^2 = A_2D^2 = \left ( \frac{\alpha}{2} - p + \beta \right )^2 = \frac{(\beta- \gamma)^2}{4} = A_2D'^2 = A_2E \cdot A_2A_1 =  \!
= \left | \frac{\alpha(\beta - \gamma)}{2(\beta + \gamma)} \right | \cdot \left | \frac{\beta^2 - \gamma^2}{4} \right | = k.  \!

Deoarece A_2E \cdot A_2A_1 = k, \! rezultă că punctul A_2 \! se trasnformă în E şi A_1 \! se află pe cercul lui Euler al triunghiului ABC, rezultă că punctul E se află pe dreapta d care este transformata cercului lui Euler prin i_{A_2, k}, \! dreaptă care este perpendiculară pe dreapta A_2 \omega, \! \omega \! fiind centrul cercului lui Euler. Deci d trece prin E şi fiind perpendiculară pe A_2 \omega, \! este perpendiculară pe paralela acestuia, diametrul [AO]. Dreapta DD' \! fiind o tangentă comună interioară a cercurilor înscris şi exinscris, a doua tangentă interioară FF' \! trebuie să treacă prin punctul de intersecţie al dreptei DD' \! cu dreapta centrelor H_a, \! deci prin E. În acelaşi timp FF' \! şi DD' \! fac unghiuri congruente cu H_a, \! de unde rezultă că sunt antiparalele în A şi deci dreapta FF' \! este perpendiculară pe AO. Rezultă că d = FF' . \! Deci transformata cercului lui Euler prin i_{A_2, k} \! este dreapta FF' \! şi cum această dreaptă este tangentă cercurilor înscris şi exînscris triunghiului în punctele F, \! respectiv F', \! cercului lui Euler este de asemenea tangent la cercurile înscris şi exînscris în punctele F_1, \! respectiv F'_1, \! transformatele punctelor F \! şi F' \! prin inversiunea i_{A_2, k}. \!

Analog se arată, prin inversiuni având polurile în mijloacele laturilor [AC] şi [AB] şi modulele (a-c)^2, \! respectiv (a-b)^2, \! că cercul lui Euler este tangent cercurilor exînscrise tangente la laturile [AC] şi [AB].

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki