Fandom

Math Wiki

Teorema lui Euler (teoria numerelor)

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Enunţ Edit

Teoremă. Dacă a, n sunt două numere întregi prime între ele, atunci:

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \; (mod \; n). \!

unde \varphi \! este indicatorul lui Euler (funcţia \varphi \! a lui Euler).

(Mai este numită şi teorema Fermat-Euler.)


Teorema este o generalizare pentru mica teoremă a lui Fermat.

Demonstraţie Edit

Fie p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \! numerele prime cu n şi mai mici decât acesta şi r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \! resturile împărţirii lui ap_1, ap_2, \cdots , ap_{\varphi(n)} \! la n. Să arătăm că numerele r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \! sunt chiar numerele p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \! eventual luate în altă ordine, adică:

\{ p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \} = \{ r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \}. \!

Conform teoremei 1 de la Teoria numerelor, resturile împărţirii la n a numerelor a, 2a, \cdots na \! sunt distincte două câte două. Deci r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \! sunt distincte între ele deoarece şi numerele ap_1, ap_2, \cdots , ap_{\varphi (n)} \! se află printre numerele a, 2a, \cdots , na \! (căci p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \! sunt mai mici decât n).

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki