FANDOM


Enunţ Edit

Teoremă. Dacă a, n sunt două numere întregi prime între ele, atunci:

$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \; (mod \; n). \! $

unde $ \varphi \! $ este indicatorul lui Euler (funcţia $ \varphi \! $ a lui Euler).

(Mai este numită şi teorema Fermat-Euler.)


Teorema este o generalizare pentru mica teoremă a lui Fermat.

Demonstraţie Edit

Fie $ p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \! $ numerele prime cu n şi mai mici decât acesta şi $ r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \! $ resturile împărţirii lui $ ap_1, ap_2, \cdots , ap_{\varphi(n)} \! $ la n. Să arătăm că numerele $ r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \! $ sunt chiar numerele $ p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \! $ eventual luate în altă ordine, adică:

$ \{ p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \} = \{ r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \}. \! $

Conform teoremei 1 de la Teoria numerelor, resturile împărţirii la n a numerelor $ a, 2a, \cdots na \! $ sunt distincte două câte două. Deci $ r_1, r_2, \cdots , r_{\varphi(n)} \! $ sunt distincte între ele deoarece şi numerele $ ap_1, ap_2, \cdots , ap_{\varphi (n)} \! $ se află printre numerele $ a, 2a, \cdots , na \! $ (căci $ p_1, p_2, \cdots , p_{\varphi(n)} \! $ sunt mai mici decât n).

Resurse Edit