Fandom

Math Wiki

Teorema lui Euler (geometrie)

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Euler (geometrie).jpg

Teoremă. În orice triunghi ABC are loc următoarea relaţie:

OI = \sqrt{R^2-2Rr}, \!

numită relaţia Euler, unde:

  • O - centrul cercului circumscris
  • I - centrul cercului înscris
  • R - Raza cercului circumscris
  • r - raza cercului înscris.


Demonstraţia 1 Edit

Utilizăm puterea unui punct față de un cerc. Scriem puterea lui I faţă de cercul circumscris triunghiului ABC:

(R-OI)(R+OI) = AI \cdot IE, \!

unde E este al doilea punct de intersecţie dintre bisectoarea unghiului A şi cercul circumscris.

Mai departe:

R^2 - d^2 = AI \cdot IE. \!

Dacă demonstrăm că AI \cdot IE = 2Rr, \! atunci problema este rezolvată.

Construind un diametru in cercul circumscris prin punctul E obţţinem, împreună cu punctul B un triunghi dreptunghic asemena cu AID (iîn cele două triunghiuri există doua unghiuri care subîntind aceeaşi coardă BE).

Triunghiul BEI este isoscel (două unghiuri congruente), rezultă că \frac{AI}{ID} = \frac{AE}{BE} \! sau AI \cdot IE = 2Rr. \!


Demonstraţia 2 Edit

Fie i_{I, r^2} \! inversiunea de pol I şi putere r^2. \!

Notăm:

\{ A_1 \} = AI \cap BC, \; \; \{B_1 \} = BI \cap AC, \; \; \{ C_1 \} = CI \cap AB. \!

Cercurile de diametre IA_1, \; IB_1, \; IC_1 \! se transformă prin i_{I, r^2} \! în dreptele BC, \; CA, \! respectiv AB. \!

Rezultă că:

i_{I, r^2}(A)=A' , \; \;  i_{I, r^2}(B)=B' , \; \;  i_{I, r^2}(B)=B' ,  \!

unde A', B', C' \! sunt punctele de intersecţie, diferite de I, ale cercurilor de diametre IA_1, \; IB_1, \; IC_1. \!

Cercul \mathcal C, \! circumscris triunghiului ABC se transformă prin i_{I, r^2} \! în cercul \omega \! circumscris triunghiului A'B'C'. \!

Conform problemei piesei e cinci lei a lui Gheorghe Țițeica, rezultă că raza cercului \omega \! este \frac r 2. \!

Avem relaţia:

\frac{r}{2R} = \frac{r^2}{R^2-OI^2} \!

de unde:

OI^2= R^2-2Rr. \!

Consecinţă Edit

R \ge 2r \! (inegalitatea lui Euler)

cu egalitate dacă şi numai dacă triunghiul ABC este echilateral.

Vezi şi Edit

Resurse Edit


Euler thumb portrait.png
Leonhard Euler
  • Dreapta lui Euler‎‎Cercul lui EulerEcuația Cauchy–EulerNumărul lui EulerConstanta lui EulerCaracteristica EulerTeorema lui Euler (geometrie)Teorema lui Euler (teoria numerelor)Formula lui EulerFormula lui Euler (mecanică)Metoda EulerIntegrala Euler-PoissonFormula Euler-MaclaurinProdusul lui EulerIntegrală EulerUnghiurile lui EulerInegalitatea lui EulerRelația lui Euler pentru patrulatere

Also on Fandom

Random Wiki