FANDOM


Teorema lui Euler (geometrie)

Teoremă. În orice triunghi ABC are loc următoarea relaţie:

$ OI = \sqrt{R^2-2Rr}, \! $

numită relaţia Euler, unde:

  • O - centrul cercului circumscris
  • I - centrul cercului înscris
  • R - Raza cercului circumscris
  • r - raza cercului înscris.


Demonstraţia 1 Edit

Utilizăm puterea unui punct față de un cerc. Scriem puterea lui I faţă de cercul circumscris triunghiului ABC:

$ (R-OI)(R+OI) = AI \cdot IE, \! $

unde E este al doilea punct de intersecţie dintre bisectoarea unghiului A şi cercul circumscris.

Mai departe:

$ R^2 - d^2 = AI \cdot IE. \! $

Dacă demonstrăm că $ AI \cdot IE = 2Rr, \! $ atunci problema este rezolvată.

Construind un diametru in cercul circumscris prin punctul E obţţinem, împreună cu punctul B un triunghi dreptunghic asemena cu AID (iîn cele două triunghiuri există doua unghiuri care subîntind aceeaşi coardă BE).

Triunghiul BEI este isoscel (două unghiuri congruente), rezultă că $ \frac{AI}{ID} = \frac{AE}{BE} \! $ sau $ AI \cdot IE = 2Rr. \! $


Demonstraţia 2 Edit

Fie $ i_{I, r^2} \! $ inversiunea de pol I şi putere $ r^2. \! $

Notăm:

$ \{ A_1 \} = AI \cap BC, \; \; \{B_1 \} = BI \cap AC, \; \; \{ C_1 \} = CI \cap AB. \! $

Cercurile de diametre $ IA_1, \; IB_1, \; IC_1 \! $ se transformă prin $ i_{I, r^2} \! $ în dreptele $ BC, \; CA, \! $ respectiv $ AB. \! $

Rezultă că:

$ i_{I, r^2}(A)=A' , \; \; i_{I, r^2}(B)=B' , \; \; i_{I, r^2}(B)=B' , \! $

unde $ A', B', C' \! $ sunt punctele de intersecţie, diferite de I, ale cercurilor de diametre $ IA_1, \; IB_1, \; IC_1. \! $

Cercul $ \mathcal C, \! $ circumscris triunghiului ABC se transformă prin $ i_{I, r^2} \! $ în cercul $ \omega \! $ circumscris triunghiului $ A'B'C'. \! $

Conform problemei piesei e cinci lei a lui Gheorghe Țițeica, rezultă că raza cercului $ \omega \! $ este $ \frac r 2. \! $

Avem relaţia:

$ \frac{r}{2R} = \frac{r^2}{R^2-OI^2} \! $

de unde:

$ OI^2= R^2-2Rr. \! $

Consecinţă Edit

$ R \ge 2r \! $ (inegalitatea lui Euler)

cu egalitate dacă şi numai dacă triunghiul ABC este echilateral.

Vezi şi Edit

Resurse Edit


Euler thumb portrait
Leonhard Euler
  • Dreapta lui Euler‎‎Cercul lui EulerEcuația Cauchy–EulerNumărul lui EulerConstanta lui EulerCaracteristica EulerTeorema lui Euler (geometrie)Teorema lui Euler (teoria numerelor)Formula lui EulerFormula lui Euler (mecanică)Metoda EulerIntegrala Euler-PoissonFormula Euler-MaclaurinProdusul lui EulerIntegrală EulerUnghiurile lui EulerInegalitatea lui EulerRelația lui Euler pentru patrulatere