FANDOM


Teorema lui Bretschneider

(Se mai numeşte şi Teorema întâi a lui Ptolemeu generalizată)

Teoremă: Într-un patrulater ABCD are loc egalitatea:

$ AC^2 \cdot BD^2 = AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2 - 2 AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \cos (B+D). \! $


Demonstraţie. Considerăm inversiunea $ i_{a, AC^2} \! $ de pol $ A(a) \! $ şi putere $ AC^2. \! $

Este clar că:

$ i_{a, AC^2}(C) = a + \frac{AC^2}{\overline {c-a}} = a + \frac{|c-a|^2}{c-a} = a+ c-a =c. \! $

Considerăm cazul $ m(\hat B)+ m(\hat C) < \pi , \! $ cazul $ m(\hat B)+ m(\hat C) > \pi \! $ tratându-l analog.

Deoarece $ \triangle ABC \sim \triangle ACE \! $ şi $ \triangle ADC \sim \triangle ACF, \! $ rezultă că:

$ m(\hat{ECG}) = \pi -B \! $ şi $ m(\hat{ECF}) = \pi-D, \! $

deci

$ m(\hat{ECF}) = 2 \pi -(B+D). \! $

Teorema cosinusului aplicată în triunghiul ECF conduce la:

$ EF^2=CF^2+ CE^2-2 CE \cdot CF \cos (B+D). \! $

Utilizând proprietăţile inversiunii, avem:

$ CF=\frac{AC \cdot CD}{AD}, \; \; CE= \frac{AC \cdot BC}{AB}, \; \; EF=\frac{AC^2 \cdot BD}{AB \cdot AD}. \! $

După aducerea la acelaşi numitor şi simplificarea prin factorul nenul $ AC^2 \! $ se obţine egalitatea din enunţ.


Observaţie. Teorema este valabilă şi într-un patrulater concav.


Consecinţa 1. În patrulaterul ABCD au loc inegalităţile:

$ |AB \cdot CD -BC \cdot AD| < AC \cdot BD \le AB \cdot CD - BC \cdot AD. \! $


Demonstraţie. Deoarece $ 1< \cos (B+D) \le -1, \! $ se ajunge imediat din relaţia lui Bretschneider la această inegalitate.


Consecinţa 2. Patrulaterul ABCD este inscriptibil dacă şi numai dacă suma produselor laturilor opuse este egală cu produsul diagonalelor, adică:

$ AC \cdot BD = AB \cdot CD +AD \cdot BC. \! $