Fandom

Math Wiki

Teorema lui Bretschneider

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Bretschneider.png

(Se mai numeşte şi Teorema întâi a lui Ptolemeu generalizată)

Teoremă: Într-un patrulater ABCD are loc egalitatea:

AC^2 \cdot BD^2 = AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2 - 2 AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \cos (B+D). \!


Demonstraţie. Considerăm inversiunea  i_{a, AC^2} \! de pol A(a) \! şi putere AC^2. \!

Este clar că:

i_{a, AC^2}(C) = a + \frac{AC^2}{\overline {c-a}} = a + \frac{|c-a|^2}{c-a} = a+ c-a =c. \!

Considerăm cazul m(\hat B)+ m(\hat C) < \pi , \! cazul m(\hat B)+ m(\hat C) > \pi  \! tratându-l analog.

Deoarece \triangle ABC \sim \triangle ACE \! şi \triangle ADC \sim \triangle ACF, \! rezultă că:

m(\hat{ECG}) = \pi -B \! şi m(\hat{ECF}) = \pi-D, \!

deci

m(\hat{ECF}) = 2 \pi -(B+D). \!

Teorema cosinusului aplicată în triunghiul ECF conduce la:

EF^2=CF^2+ CE^2-2 CE \cdot CF \cos (B+D). \!

Utilizând proprietăţile inversiunii, avem:

CF=\frac{AC \cdot CD}{AD}, \; \; CE= \frac{AC \cdot BC}{AB}, \; \; EF=\frac{AC^2 \cdot BD}{AB \cdot AD}.  \!

După aducerea la acelaşi numitor şi simplificarea prin factorul nenul AC^2 \! se obţine egalitatea din enunţ.


Observaţie. Teorema este valabilă şi într-un patrulater concav.


Consecinţa 1. În patrulaterul ABCD au loc inegalităţile:

|AB \cdot CD -BC \cdot AD| < AC \cdot BD \le AB \cdot CD - BC \cdot AD. \!


Demonstraţie. Deoarece 1< \cos (B+D) \le -1, \! se ajunge imediat din relaţia lui Bretschneider la această inegalitate.


Consecinţa 2. Patrulaterul ABCD este inscriptibil dacă şi numai dacă suma produselor laturilor opuse este egală cu produsul diagonalelor, adică:

AC \cdot BD = AB \cdot CD +AD \cdot BC. \!

Also on Fandom

Random Wiki