Fandom

Math Wiki

Teorema lui Alain Connes

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Alain Connes 1.jpg

Alain Connes (n. 1947), matematician francez

Teoremă. Se consideră transformările planului complex de forma:

f_i: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; \; f_1(z) = a_i z + b_i, \; i=\overline{1, 2, 3}, \! cu a_i \neq 0. \!

Presupunem că f_1 \circ f_2, \; f_2 \circ f_3, \; f_3 \circ f_1 \! şi f_1 \circ f_2 \circ f_3 \! nu sunt translaţii, ceea ce este echivalent cu a_1a_2, \; a_2a_3, \; a_3a_1, \; a_1a_2a_3 \in \mathbb C \setminus \{1\}. \! Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(1) f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = 1_C; \!

(2) j^3 = 1 \! şi \alpha + j \beta + j^2 \gamma = 0, \! unde j=a_1a_2a_3 \neq 1 \! şi \alpha, \beta, \gamma \! sunt unicele puncte fixe ale transformărilor f_1 \circ f_2, f_2 \circ f_3, \! respectiv f_3 \circ f_1. \!


Demonstraţie.

Dacă:

(f_1 \circ f_2) (z) = a_1a_2z + a_1b_2+ b_1, \; a_1a_2 \neq 1, \!
(f_2 \circ f_3) (z) = a_2a_3z + a_2b_3+ b_2, \; a_2a_3 \neq 1, \!
(f_3 \circ f_1) (z) = a_3a_1z + a_3b_1+ b_3, \; a_3a_1 \neq 1. \!

atunci:

\alpha = \frac{a_1b_2+ b_1}{1-a_1a_2} = \frac{a_1a_3b_2+a_3b_1}{a_3-j}, \!
\beta = \frac{a_2b_3+ b_2}{1-a_1a_2} = \frac{a_1a_2b_3+a_1b_2}{a_1-j}, \!
\gamma = \frac{a_3b_1+ b_3}{1-a_3a_1} = \frac{a_2a_3b_1+a_2b_3}{a_2-j}. \!

Pentru cuburile transformărilor f_1, f_2, f_3 \! avem formulele:

f_1^3(z) = a_1^3z + b_1(a_1^2+a_1+1), \!
f_2^3(z) = a_2^3z + b_2(a_2^2+a_2+1), \!
f_3^3(z) = a_3^3z + b_3(a_3^2+a_3+1). \!

deci:

(f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 )(z) = a_1^3a_2^3a_3^3z + a_1^3a_2^3b_3 (a_3^2+a_3+1) + a_1^3 b_2 (a_2^2+a_2+1) + b_1(a_1^2+a_1+1). \!

Aşadar, f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3  = 1_C \! dacă şi numai dacă a_1^3 a_2^3 a_3^3 = 1 \! şi:

a_1^3 a_2^3 b_3 (a_3^2 + a_3 + 1) + a_1^3 b_2 (a_2^2 +a_2 +1) +b_1(a_1^2 + a_1 +1) = 0. \!

Pentru a demonstra echivalenţa afirmaţiilor (1) şi (2) trebuie să arătăm că \alpha + j \beta + j^2 \gamma \! este diferit de termenul liber al lui f_1^3 \circ f_2^3 \circ f^3_3 . \!

Într-adevăr, folosind relaţia j^3 =1 \! şi implicit j^2 + j + 1 = 0, \! putem scrie succesiv egalităţile:


Teorema lui Alain Connes 1.png

Teorema lui Alain Connes 2.png

Also on Fandom

Random Wiki