FANDOM


Alain Connes 1

Alain Connes (n. 1947), matematician francez

Teoremă. Se consideră transformările planului complex de forma:

$ f_i: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; \; f_1(z) = a_i z + b_i, \; i=\overline{1, 2, 3}, \! $ cu $ a_i \neq 0. \! $

Presupunem că $ f_1 \circ f_2, \; f_2 \circ f_3, \; f_3 \circ f_1 \! $ şi $ f_1 \circ f_2 \circ f_3 \! $ nu sunt translaţii, ceea ce este echivalent cu $ a_1a_2, \; a_2a_3, \; a_3a_1, \; a_1a_2a_3 \in \mathbb C \setminus \{1\}. \! $ Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(1) $ f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = 1_C; \! $

(2) $ j^3 = 1 \! $ şi $ \alpha + j \beta + j^2 \gamma = 0, \! $ unde $ j=a_1a_2a_3 \neq 1 \! $ şi $ \alpha, \beta, \gamma \! $ sunt unicele puncte fixe ale transformărilor $ f_1 \circ f_2, f_2 \circ f_3, \! $ respectiv $ f_3 \circ f_1. \! $


Demonstraţie.

Dacă:

$ (f_1 \circ f_2) (z) = a_1a_2z + a_1b_2+ b_1, \; a_1a_2 \neq 1, \! $
$ (f_2 \circ f_3) (z) = a_2a_3z + a_2b_3+ b_2, \; a_2a_3 \neq 1, \! $
$ (f_3 \circ f_1) (z) = a_3a_1z + a_3b_1+ b_3, \; a_3a_1 \neq 1. \! $

atunci:

$ \alpha = \frac{a_1b_2+ b_1}{1-a_1a_2} = \frac{a_1a_3b_2+a_3b_1}{a_3-j}, \! $
$ \beta = \frac{a_2b_3+ b_2}{1-a_1a_2} = \frac{a_1a_2b_3+a_1b_2}{a_1-j}, \! $
$ \gamma = \frac{a_3b_1+ b_3}{1-a_3a_1} = \frac{a_2a_3b_1+a_2b_3}{a_2-j}. \! $

Pentru cuburile transformărilor $ f_1, f_2, f_3 \! $ avem formulele:

$ f_1^3(z) = a_1^3z + b_1(a_1^2+a_1+1), \! $
$ f_2^3(z) = a_2^3z + b_2(a_2^2+a_2+1), \! $
$ f_3^3(z) = a_3^3z + b_3(a_3^2+a_3+1). \! $

deci:

$ (f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 )(z) = a_1^3a_2^3a_3^3z + a_1^3a_2^3b_3 (a_3^2+a_3+1) + a_1^3 b_2 (a_2^2+a_2+1) + b_1(a_1^2+a_1+1). \! $

Aşadar, $ f_1^3 \circ f_2^3 \circ f_3^3 = 1_C \! $ dacă şi numai dacă $ a_1^3 a_2^3 a_3^3 = 1 \! $ şi:

$ a_1^3 a_2^3 b_3 (a_3^2 + a_3 + 1) + a_1^3 b_2 (a_2^2 +a_2 +1) +b_1(a_1^2 + a_1 +1) = 0. \! $

Pentru a demonstra echivalenţa afirmaţiilor (1) şi (2) trebuie să arătăm că $ \alpha + j \beta + j^2 \gamma \! $ este diferit de termenul liber al lui $ f_1^3 \circ f_2^3 \circ f^3_3 . \! $

Într-adevăr, folosind relaţia $ j^3 =1 \! $ şi implicit $ j^2 + j + 1 = 0, \! $ putem scrie succesiv egalităţile:


Teorema lui Alain Connes 1

Teorema lui Alain Connes 2