Fandom

Math Wiki

Teorema lui Țițeica

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Problema piesei de cinci lei.png

Teoremă. Trei cercuri având razele egale se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obţin încă trei puncte de intersecţie. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.


Demonstraţie. Se consideră un triunghi ABC. Fie \mathcal C(I, r), \! respectiv \mathcal C(O, R), \! cercul înscris, respectiv circumscris triunghiului ABC. Se consideră inversiunea i_{I, -R^2 + OI^2}. \! Cercul \mathcal C(O, R) \! se va transforma prin i tot într-un cerc.

Fie A', B', C' \! punctele de intersecţie ale bisectoarelor [AI, [BI, [CI \! cu cercul \mathcal C(O, R). \! Folosind puterea punctului I faţă de cercul \mathcal C(O, R), \! rezultă relaţiile:

IA \cdot IA' = IB \cdot IB' = IC \cdot IC' = R^2 - OI^2, \!

de unde

A'=i(A), \; B'= i(B), \; C'=i(C). \!

Aceste trei egalităţi arată că:

T(\mathcal C(O, R)) = \mathcal C(O, R). \!

Dreapta BC (care nu trece prin polul de inversiune I) se va transforma prin i într-un cerc care trece prin punctele I, B', C', \! astfel încât tangenta în I la acest cerc este paralelă cu BC. Fie D punctul de contact al cercului înscris cu latura [BC]. Deoarece ID \perp BC, \! rezultă că D'=i(D) \! va fi punctul diametral opus lui I în cercul circumscris triunghiului IB'C'. \! Atunci:

ID \cdot ID' =R^2- OI^2. \!

Dacă se notează cu 2R_1 \! lungimea diametrului [ID'], \! atunci, ultima egalitate se scrie:

r \cdot 2R_1 = R^2 - OI^2. \!

Din această egalitate şi din egalitatea lui Euler în triunghiul ABC   OI^2 = R^2 - 2 Rr,   se obţine:

 R_1 = R.


Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki