FANDOM


Problema piesei de cinci lei

Teoremă. Trei cercuri având razele egale se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obţin încă trei puncte de intersecţie. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.


Demonstraţie. Se consideră un triunghi ABC. Fie $ \mathcal C(I, r), \! $ respectiv $ \mathcal C(O, R), \! $ cercul înscris, respectiv circumscris triunghiului ABC. Se consideră inversiunea $ i_{I, -R^2 + OI^2}. \! $ Cercul $ \mathcal C(O, R) \! $ se va transforma prin i tot într-un cerc.

Fie $ A', B', C' \! $ punctele de intersecţie ale bisectoarelor $ [AI, [BI, [CI \! $ cu cercul $ \mathcal C(O, R). \! $ Folosind puterea punctului I faţă de cercul $ \mathcal C(O, R), \! $ rezultă relaţiile:

$ IA \cdot IA' = IB \cdot IB' = IC \cdot IC' = R^2 - OI^2, \! $

de unde

$ A'=i(A), \; B'= i(B), \; C'=i(C). \! $

Aceste trei egalităţi arată că:

$ T(\mathcal C(O, R)) = \mathcal C(O, R). \! $

Dreapta BC (care nu trece prin polul de inversiune I) se va transforma prin i într-un cerc care trece prin punctele $ I, B', C', \! $ astfel încât tangenta în I la acest cerc este paralelă cu BC. Fie D punctul de contact al cercului înscris cu latura [BC]. Deoarece $ ID \perp BC, \! $ rezultă că $ D'=i(D) \! $ va fi punctul diametral opus lui I în cercul circumscris triunghiului $ IB'C'. \! $ Atunci:

$ ID \cdot ID' =R^2- OI^2. \! $

Dacă se notează cu $ 2R_1 \! $ lungimea diametrului $ [ID'], \! $ atunci, ultima egalitate se scrie:

$ r \cdot 2R_1 = R^2 - OI^2. \! $

Din această egalitate şi din egalitatea lui Euler în triunghiul ABC  $ OI^2 = R^2 - 2 Rr, $  se obţine:

$ R_1 = R. $


Vezi şi Edit