Fandom

Math Wiki

Teorema impulsului

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Physics impulse.JPG

Alături de teorema momentului cinetic, teorema impulsului este una dintre teoremele de bază ale dinamicii

Edit

Se numeşte impuls al punctului material cu masa m care se mişcă cu viteza \vec v \! marimea:

\vec p = m \vec v \!   (1)


În SI impulsul se măsoară în kg \frac{m}{s}. \! Legea a doua a dinamicii pentru un punct material se poate scrie:

\vec F = m \vec a = m \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d(m \vec v)}{dt}, \!

deci::

\vec F = \frac{d \vec p}{dt} \!   (2)

adică forţa care acţionează asupra punctului material este egală cu variaţia impulsului acestuia în unitatea de timp, ceea ce constituie teorema impulsului.

Deoarece în dinamica clasică masa este constantă şi poate fi trecută sub operatorul de derivare, relaţia (2) este echivalentă cu legea a doua a dinamicii (\vec F = m \vec a \!) dar este mult mai generală, fiind valabilă şi în cazul în care masa variază în timpul mişcării.

Dacă rezultanta forţelor care acţionează asupra punctului material este nulă, \vec F = 0, \! atunci din (1) rezultă \vec p= constant , \! ceea ce constituie teorema (legea) conservării impulsului pentru punctul material.

Teorema impulsului pentru un sistem de puncte materiale Edit

Teorema impulsului se extinde şi asupra unui sistem de puncte materiale. Ţinând seama că impulsul unui punct k din sistem este:

\vec p_k = m_k \vec v_k = m \dot {\vec r_k}, \!

ecuaţia (1) devine:

\frac{d \vec p_k}{dt} = \vec F_k^{(e)} + \sum_{\overset {j=1}{j \neq k}}^n \vec F_{kj}^{(i)}  \!

Scriind astfel de relaţii pentru toate punctele sistemului şi însumând, obţinem:

\sum_{k=1}^n \frac{d \vec p_k}{dt} = \sum_{k=1}^n \vec F_k^{(e)} + \sum_{k=1}^n \sum_{\underset {j \neq k}{j=1}}^n \vec F_{kj}^{(i)} \!

Suma dublă se anulează, deoarece în baza principiului acţiunii şi al reacţiunii \vec F_{kj}^{(i)} = -\vec F_{jk}^{(i)}; \! suma impulsurilor particulelor din sistem este impulsul sistemului:

\sum_{k=1}^n \frac{d \vec p_k}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^n \vec p_k = \frac{d \vec p_{sist.}}{dt} \!

iar \sum_{k=1}^n \vec F_k^{(e)} = \vec F^{(e)} \!

este rezultanta forţelor exterioare ce acţionează asupra sistemului. Atunci se obţine:

\frac{d \vec p_{sist.}}{dt} = \vec F^{(e)} \!   (3)

care reprezintă teorema impulsului pentru sistemul de puncte materiale. Dacă rezultanta forţelor exterioare este nulă, \vec F^{(e)} =0, \! din (3) se obţine:

\frac{d \vec p_{sist.}}{dt}=0; \; \; \vec p = const. \! ceea ce exprimă legea de

conservare a impulsului.

Varianta II Edit

_____
\vec F_{ij} + \vec F_{ji}=0; \; \; i, j = 1, n \!
\sum_{j} \vec F_{ij} \! - rezultanta forţelor interioare
\vec R_i \! - rezultanta forţelor exterioare ce acţionează asupra fiecărui punct material
m_i \frac{d^2 \vec r_i}{dt^2} = \vec R_i  + \sum_j \vec F_{ij} \!   \Rightarrow \!   \sum_i m_i \frac{d^2 \vec r_i}{dt^2} = \sum_i \vec R_i + \sum_i \sum_j \vec F_{ij} \!
\vec P = \sum_i \frac {d \vec r_i}{dt} \; \; \vec R = \sum_i \vec R_i \!
\Rightarrow \!

\frac{d \vec P}{dt} = \vec R \!

\vec R=0 \!

\vec P = \sum_i m_i \frac{d \vec r_i}{dt} = \sum_i m_i \vec v_i = const.  \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki