Oricărei curbe în plan i se asociază funcția curbură , funcţie ce determină complet curba în sensul teoremei următoare:
Teoremă .
Fiind dată o funcţie
k
:
[
0
,
L
]
→
R
,
s
→
k
(
s
)
,
{\displaystyle k: [0, L] \rightarrow \mathbb R, \; s \rightarrow k(s), \!}
de clasă
C
r
,
r
≥
0
,
{\displaystyle \mathcal C^r, \; r \ge 0, \!}
există o curbă, unică până la o deplasare în plan , pentru care s este lungime de arc şi funcţia k este funcţia curbură a curbei.
Demonstraţia existenţei .
Fie
s
0
∈
[
0
,
L
)
.
{\displaystyle s_0 \in [0, L). \!}
Considerăm ecuația diferențială :
θ
˙
=
k
(
s
)
.
{\displaystyle \dot {\theta} = k(s). \!}
Prin integrarea ei, obţinem:
θ
(
s
)
=
θ
0
∫
s
0
s
k
(
τ
)
d
τ
,
{\displaystyle \theta(s) = \theta_0 \int_{s_0}^s k(\tau) d \tau, \!}
(1)
unde
θ
0
=
θ
0
(
s
0
)
{\displaystyle \theta_0 = \theta_0 (s_0) \!}
este un număr real oarecare.
Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale în necunoscutele x , y :
{
x
˙
(
s
)
=
cos
θ
(
s
)
y
˙
(
s
)
=
sin
θ
(
s
)
,
{\displaystyle \begin{cases} \dot x(s) = \cos \theta(s) \\ \dot y(s) = \sin \theta(s) \end{cases}, \!}
cu
s
∈
[
0
,
L
]
{\displaystyle s \in [0, L] \!}
şi unghiul
θ
(
s
)
{\displaystyle \theta(s) \!}
dat de (1).
Prin integrarea acestui sistem, obţinem:
{
x
(
s
)
=
x
0
+
∫
x
0
x
cos
θ
(
σ
)
d
σ
y
(
s
)
=
y
0
+
∫
x
0
x
sin
θ
(
σ
)
d
σ
{\displaystyle \begin{cases} x(s) = x_0 + \int_{x_0}^x \cos \theta (\sigma) d \sigma \\ y(s) = y_0 + \int_{x_0}^x \sin \theta (\sigma) d \sigma \end{cases} \!}
(2)
cu
x
0
=
x
(
s
0
)
,
y
0
=
y
(
s
0
)
{\displaystyle x_0=x(s_0), \; y_0 = y(s_0) \!}
numere reale oarecare.
Aplicația
s
→
(
x
(
s
)
,
y
(
s
)
)
{\displaystyle s \rightarrow (x(s), y(s)) \!}
este curba căutată, adică o curbă plană pentru care s este lungime de arc şi k funcţia curbură a ei.
Într-adevăr, lungimea ei de arc:
∫
0
x
x
˙
2
(
σ
)
+
y
˙
2
(
σ
)
=
∫
0
s
d
s
=
s
,
{\displaystyle \int_0^x \sqrt {\dot x^2 (\sigma) + \dot y^2(\sigma)} = \int_0^s ds = s, \!}
iar curbura:
x
˙
y
¨
−
x
˙
x
¨
=
θ
˙
cos
2
θ
+
θ
˙
sin
2
θ
=
θ
˙
(
s
)
=
k
(
s
)
∀
s
∈
[
0
,
L
]
.
{\displaystyle \dot x \ddot y - \dot x \ddot x = \dot {\theta} \cos^2 \theta + \dot {\theta} \sin^2 \theta = \dot {\theta} (s)= k(s)\; \forall s \in [0, L]. \!}
Comentariu asupra unicităţii .
În demonstraţia existenţei apar condiţiile iniţiale: punct
(
x
0
,
y
0
)
,
{\displaystyle (x_0, y_0), \!}
direcţie
θ
0
,
{\displaystyle \theta_0, \!}
arbitrare.
Deci există o infinitate de curbe pentru care s este lungime de arc şi k funcţie curbură.
Sintagma "unică până la o deplasare în plan " înseamnă că oricare două dintre aceste curbe se pot suprapune printr-o deplasare în plan.
Aplicaţie .
Să se determine cubele plane de curbură constantă
k
≠
0.
{\displaystyle k \neq 0. \!}
Rezultă
θ
(
s
)
=
θ
0
+
k
(
s
−
s
0
)
{\displaystyle \theta (s) = \theta_0 + k(s-s_0) \!}
şi
{
x
(
s
)
=
1
k
sin
(
θ
0
+
k
(
s
−
s
0
)
)
y
(
s
)
=
−
1
k
cos
(
θ
0
+
k
(
s
−
s
0
)
)
.
{\displaystyle \begin{cases} x(s) = \frac 1k \sin (\theta_0 + k(s-s_0)) \\ y(s) = - \frac 1k \cos (\theta_0 + k(s-s_0)) \end{cases}. \!}
Aşadar:
x
2
(
s
)
+
y
2
(
s
)
=
1
k
2
,
{\displaystyle x^2 (s) + y^2 (s) = \frac{1}{k^2} ,\!}
deci curba plană de curbură constantă
k
≠
0
{\displaystyle k \neq 0 \!}
este un arc de cerc de rază
1
k
.
{\displaystyle \frac 1 k. \!}
Curbele plane de curbură zero sunt, evident, drepte în plan.
Resurse [ ]