Math Wiki
Register
Advertisement

Oricărei curbe în plan i se asociază funcția curbură, funcţie ce determină complet curba în sensul teoremei următoare:

Teoremă. Fiind dată o funcţie de clasă există o curbă, unică până la o deplasare în plan, pentru care s este lungime de arc şi funcţia k este funcţia curbură a curbei.

Demonstraţia existenţei. Fie Considerăm ecuația diferențială:

Prin integrarea ei, obţinem:

  (1)

unde este un număr real oarecare.

Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale în necunoscutele x, y:

cu şi unghiul dat de (1).

Prin integrarea acestui sistem, obţinem:

  (2)

cu numere reale oarecare.

Aplicația este curba căutată, adică o curbă plană pentru care s este lungime de arc şi k funcţia curbură a ei. Într-adevăr, lungimea ei de arc:

iar curbura:


Comentariu asupra unicităţii. În demonstraţia existenţei apar condiţiile iniţiale: punct direcţie arbitrare. Deci există o infinitate de curbe pentru care s este lungime de arc şi k funcţie curbură. Sintagma "unică până la o deplasare în plan" înseamnă că oricare două dintre aceste curbe se pot suprapune printr-o deplasare în plan.


Aplicaţie. Să se determine cubele plane de curbură constantă Rezultă şi

Aşadar:

deci curba plană de curbură constantă este un arc de cerc de rază

Curbele plane de curbură zero sunt, evident, drepte în plan.


Resurse[]

Advertisement