FANDOM


Oricărei curbe în plan i se asociază funcția curbură, funcţie ce determină complet curba în sensul teoremei următoare:

Teoremă. Fiind dată o funcţie $ k: [0, L] \rightarrow \mathbb R, \; s \rightarrow k(s), \! $ de clasă $ \mathcal C^r, \; r \ge 0, \! $ există o curbă, unică până la o deplasare în plan, pentru care s este lungime de arc şi funcţia k este funcţia curbură a curbei.

Demonstraţia existenţei. Fie $ s_0 \in [0, L). \! $ Considerăm ecuația diferențială:

$ \dot {\theta} = k(s). \! $

Prin integrarea ei, obţinem:

$ \theta(s) = \theta_0 \int_{s_0}^s k(\tau) d \tau, \! $   (1)

unde $ \theta_0 = \theta_0 (s_0) \! $ este un număr real oarecare.

Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale în necunoscutele x, y:

$ \begin{cases} \dot x(s) = \cos \theta(s) \\ \dot y(s) = \sin \theta(s) \end{cases}, \! $

cu $ s \in [0, L] \! $ şi unghiul $ \theta(s) \! $ dat de (1).

Prin integrarea acestui sistem, obţinem:

$ \begin{cases} x(s) = x_0 + \int_{x_0}^x \cos \theta (\sigma) d \sigma \\ y(s) = y_0 + \int_{x_0}^x \sin \theta (\sigma) d \sigma \end{cases} \! $   (2)

cu $ x_0=x(s_0), \; y_0 = y(s_0) \! $ numere reale oarecare.

Aplicația $ s \rightarrow (x(s), y(s)) \! $ este curba căutată, adică o curbă plană pentru care s este lungime de arc şi k funcţia curbură a ei. Într-adevăr, lungimea ei de arc:

$ \int_0^x \sqrt {\dot x^2 (\sigma) + \dot y^2(\sigma)} = \int_0^s ds = s, \! $

iar curbura:

$ \dot x \ddot y - \dot x \ddot x = \dot {\theta} \cos^2 \theta + \dot {\theta} \sin^2 \theta = \dot {\theta} (s)= k(s)\; \forall s \in [0, L]. \! $


Comentariu asupra unicităţii. În demonstraţia existenţei apar condiţiile iniţiale: punct $ (x_0, y_0), \! $ direcţie $ \theta_0, \! $ arbitrare. Deci există o infinitate de curbe pentru care s este lungime de arc şi k funcţie curbură. Sintagma "unică până la o deplasare în plan" înseamnă că oricare două dintre aceste curbe se pot suprapune printr-o deplasare în plan.


Aplicaţie. Să se determine cubele plane de curbură constantă $ k \neq 0. \! $ Rezultă $ \theta (s) = \theta_0 + k(s-s_0) \! $ şi

$ \begin{cases} x(s) = \frac 1k \sin (\theta_0 + k(s-s_0)) \\ y(s) = - \frac 1k \cos (\theta_0 + k(s-s_0)) \end{cases}. \! $

Aşadar:

$ x^2 (s) + y^2 (s) = \frac{1}{k^2} ,\! $

deci curba plană de curbură constantă $ k \neq 0 \! $ este un arc de cerc de rază $ \frac 1 k. \! $

Curbele plane de curbură zero sunt, evident, drepte în plan.


Resurse Edit