Fandom

Math Wiki

Teorema fundamentală a geometriei curbelor plane

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Oricărei curbe în plan i se asociază funcția curbură, funcţie ce determină complet curba în sensul teoremei următoare:

Teoremă. Fiind dată o funcţie k: [0, L] \rightarrow \mathbb R, \; s \rightarrow k(s), \! de clasă \mathcal C^r, \; r \ge 0, \! există o curbă, unică până la o deplasare în plan, pentru care s este lungime de arc şi funcţia k este funcţia curbură a curbei.

Demonstraţia existenţei. Fie s_0 \in [0, L). \! Considerăm ecuația diferențială:

\dot {\theta} = k(s). \!

Prin integrarea ei, obţinem:

\theta(s) = \theta_0  \int_{s_0}^s k(\tau) d \tau, \!   (1)

unde \theta_0 = \theta_0 (s_0) \! este un număr real oarecare.

Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale în necunoscutele x, y:

\begin{cases} \dot x(s) = \cos \theta(s) \\ \dot y(s) = \sin \theta(s) \end{cases}, \!

cu s \in [0, L] \! şi unghiul \theta(s) \! dat de (1).

Prin integrarea acestui sistem, obţinem:

\begin{cases} x(s) = x_0 + \int_{x_0}^x \cos \theta (\sigma) d \sigma \\ y(s) = y_0 + \int_{x_0}^x \sin \theta (\sigma) d \sigma \end{cases} \!   (2)

cu x_0=x(s_0), \; y_0 = y(s_0) \! numere reale oarecare.

Aplicația s \rightarrow (x(s), y(s)) \! este curba căutată, adică o curbă plană pentru care s este lungime de arc şi k funcţia curbură a ei. Într-adevăr, lungimea ei de arc:

\int_0^x \sqrt {\dot x^2 (\sigma) + \dot y^2(\sigma)} = \int_0^s ds = s, \!

iar curbura:

\dot x \ddot y - \dot x \ddot x = \dot {\theta} \cos^2 \theta + \dot {\theta} \sin^2 \theta = \dot {\theta} (s)= k(s)\; \forall s \in [0, L]. \!


Comentariu asupra unicităţii. În demonstraţia existenţei apar condiţiile iniţiale: punct (x_0, y_0), \! direcţie \theta_0, \! arbitrare. Deci există o infinitate de curbe pentru care s este lungime de arc şi k funcţie curbură. Sintagma "unică până la o deplasare în plan" înseamnă că oricare două dintre aceste curbe se pot suprapune printr-o deplasare în plan.


Aplicaţie. Să se determine cubele plane de curbură constantă k \neq 0. \! Rezultă \theta (s) = \theta_0 + k(s-s_0) \! şi

\begin{cases} x(s) = \frac  1k \sin (\theta_0 + k(s-s_0)) \\ y(s) = - \frac  1k \cos (\theta_0 + k(s-s_0))  \end{cases}. \!

Aşadar:

x^2 (s) + y^2 (s) = \frac{1}{k^2} ,\!

deci curba plană de curbură constantă k \neq 0 \! este un arc de cerc de rază \frac 1 k. \!

Curbele plane de curbură zero sunt, evident, drepte în plan.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki