Fandom

Math Wiki

Teorema fundamentală a calculului integral

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

TEOREMĂ Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este mărgintă şi integrabilă Riemann-Darboux pe segmentul [a b] \! şi F: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este funcţia definită prin

 F(x) = \int_a^x f(t) dt \!

atunci funcţia F este continuă pe [a, b]. \! Mai mult, dacă funcţia f este continuă pe [a, b], \! atunci F este derivabilă pe [a, b] \! şi F' (x) = f(x), \; \forall x \in [a, b]. \!

Demonstraţie. Deoarece f este mărginită, există M>0 \! astfel încât |f(t)| \le M, \; \forall t \in [a, b]. \! Pentru c \in [a, b] \! fixat, avem:

|F(x) - F(c)| =\left |\int_a^x f(t) dt - \int_a^c f(t) dt \right | =\left |\int_c^x f(t) dt \right | \!

Pentru x>c \! rezultă inegalitatea:

|F(x) - F(c)| \le \int_c^x |f(t)| dt \le M \cdot (x-c). \!

Pentru x<c \! rezultă inegalitatea:

|F(x) - F(c)| \le \int_c^x |f(t)| dt \le M \cdot (x-c). \!

Rezultă în final inegalitatea:

|F(x) - F(c)| \le M \cdot |x-c|, \; \forall x \in [a, b]. \!

Această inegalitate demonstrează continuitatea funcţiei F în punctul c.

Să presupunem acum că funcţia f este continuă pe [a, b] \! şi să considerăm c \in [a, b] \! fixat. Pentru c<x<b \! avem:

\left | \frac{F(x) - F(c)}{x-c} - f(c)  \right | = \left | \frac{\int_a^x f(t)dt - \int_a^c f(t)dt }{x-c} - f(c) \right | \le \!
\le \left | \frac{\int_c^x f(t)dt}{x-c} - f(c)  \right | =   \left | \frac{\int_c^x (f(t)-f(c))dt}{x-c}  \right | \le  \frac{\int_c^x |f(t)-f(c)|dt}{x-c}.   \!

Cum f este continuă, pentru \varepsilon >0, \! există \delta = \delta(\varepsilon) >0 \! astfel încât |f(t) - f(c)| < \varepsilon  \! pentru orice |t-c|< \delta . \! De aici, pentru x \in (c, c+ \delta), \! rezultă:

\left | \frac {F(x) - F(c)}{x-c} - f(c) \right | < \frac {\int_c^x \varepsilon dt}{x-c} = \varepsilon. \!

Cu alte cuvinte, derivata la dreapta F'_+(c) \! există şi F'_+(c) = f(c). \! În mod analog rezultă că derivata la stânga există şi F'_-(c) = f(c). \! QED.


OBSERVAŢIA 1. Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este continuă şi x_1, x_2 \in [a, b], \; x_1<x_2, \! atunci:

\int_{x_1}^{x_2} f(t)dt = F(x_2) - F(x_1). \!

unde F(x) = \int_a^x f(t)dt. \!


OBSERVAŢIA 2. Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este continuă şi \Phi : [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este derivabilă cu  \Phi' (x) =f(x), \; \forall x \in [a, b], \! atunci există o constantă reală \mathcal C \! astfel încât:

\Phi(x) = F(x) + \mathcal C , \; \forall x \in [a, b] \!

unde F(x)= \int_a^x f(t)dt. \!


OBSERVAŢIA 3. Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este continuă şi \Phi : [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este derivabilă cu  \Phi' (x) =f(x), \; \forall x \in [a, b], \! atunci oricare ar fi x_1, x_2 \in [a, b] \! avem:

\int_{x_1}^{x_2} f(t)dt  = \Phi(x_2) - \Phi(x_1).\!


COMENTARIU: Evaluarea integralei \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt \! pe baza formulei:

\int_{x_1}^{x_2} f(t)dt = \Phi (x_2) - \Phi (x_1) \!

depinde de găsirea unei funcţii \Phi \! care are proprietatea \Phi' (x) = f(x), \; \forall x \in [a, b]. \!


EXEMPLE:

a)   \int_0^1 (x^3+2)dx = (\frac 1 4 x^4 + 2x) |_0^1 = \frac 9 4. \!

b)   \int_{-1}^0 (x^2-x)dx =( \frac {x^3}{3} - \frac {x^2}{2}) /_{-1}^0  = \frac 5 6.\!


DEFINIŢIE: Orice funcţie \Phi: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! care are proprietatea \Phi'(x) = f(x), \; \forall x \in [a, b] \! se numeşte o primitivă a funcţiei f.


OBSERVAŢIE: Există multe funcţii a căror primitivă nu poate fi scrisă în termeni de funcţii elementare. În asemenea situaţii, calculul integralei \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt \! se face numeric.

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki