FANDOM


TEOREMĂ Dacă $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este mărgintă şi integrabilă Riemann-Darboux pe segmentul $ [a b] \! $ şi $ F: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este funcţia definită prin

$ F(x) = \int_a^x f(t) dt \! $

atunci funcţia F este continuă pe $ [a, b]. \! $ Mai mult, dacă funcţia f este continuă pe $ [a, b], \! $ atunci F este derivabilă pe $ [a, b] \! $ şi $ F' (x) = f(x), \; \forall x \in [a, b]. \! $

Demonstraţie. Deoarece f este mărginită, există $ M>0 \! $ astfel încât $ |f(t)| \le M, \; \forall t \in [a, b]. \! $ Pentru $ c \in [a, b] \! $ fixat, avem:

$ |F(x) - F(c)| =\left |\int_a^x f(t) dt - \int_a^c f(t) dt \right | =\left |\int_c^x f(t) dt \right | \! $

Pentru $ x>c \! $ rezultă inegalitatea:

$ |F(x) - F(c)| \le \int_c^x |f(t)| dt \le M \cdot (x-c). \! $

Pentru $ x<c \! $ rezultă inegalitatea:

$ |F(x) - F(c)| \le \int_c^x |f(t)| dt \le M \cdot (x-c). \! $

Rezultă în final inegalitatea:

$ |F(x) - F(c)| \le M \cdot |x-c|, \; \forall x \in [a, b]. \! $

Această inegalitate demonstrează continuitatea funcţiei F în punctul c.

Să presupunem acum că funcţia f este continuă pe $ [a, b] \! $ şi să considerăm $ c \in [a, b] \! $ fixat. Pentru $ c<x<b \! $ avem:

$ \left | \frac{F(x) - F(c)}{x-c} - f(c) \right | = \left | \frac{\int_a^x f(t)dt - \int_a^c f(t)dt }{x-c} - f(c) \right | \le \! $
$ \le \left | \frac{\int_c^x f(t)dt}{x-c} - f(c) \right | = \left | \frac{\int_c^x (f(t)-f(c))dt}{x-c} \right | \le \frac{\int_c^x |f(t)-f(c)|dt}{x-c}. \! $

Cum f este continuă, pentru $ \varepsilon >0, \! $ există $ \delta = \delta(\varepsilon) >0 \! $ astfel încât $ |f(t) - f(c)| < \varepsilon \! $ pentru orice $ |t-c|< \delta . \! $ De aici, pentru $ x \in (c, c+ \delta), \! $ rezultă:

$ \left | \frac {F(x) - F(c)}{x-c} - f(c) \right | < \frac {\int_c^x \varepsilon dt}{x-c} = \varepsilon. \! $

Cu alte cuvinte, derivata la dreapta $ F'_+(c) \! $ există şi $ F'_+(c) = f(c). \! $ În mod analog rezultă că derivata la stânga există şi $ F'_-(c) = f(c). \! $ QED.


OBSERVAŢIA 1. Dacă $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este continuă şi $ x_1, x_2 \in [a, b], \; x_1<x_2, \! $ atunci:

$ \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt = F(x_2) - F(x_1). \! $

unde $ F(x) = \int_a^x f(t)dt. \! $


OBSERVAŢIA 2. Dacă $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este continuă şi $ \Phi : [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este derivabilă cu $ \Phi' (x) =f(x), \; \forall x \in [a, b], \! $ atunci există o constantă reală $ \mathcal C \! $ astfel încât:

$ \Phi(x) = F(x) + \mathcal C , \; \forall x \in [a, b] \! $

unde $ F(x)= \int_a^x f(t)dt. \! $


OBSERVAŢIA 3. Dacă $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este continuă şi $ \Phi : [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este derivabilă cu $ \Phi' (x) =f(x), \; \forall x \in [a, b], \! $ atunci oricare ar fi $ x_1, x_2 \in [a, b] \! $ avem:

$ \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt = \Phi(x_2) - \Phi(x_1).\! $


COMENTARIU: Evaluarea integralei $ \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt \! $ pe baza formulei:

$ \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt = \Phi (x_2) - \Phi (x_1) \! $

depinde de găsirea unei funcţii $ \Phi \! $ care are proprietatea $ \Phi' (x) = f(x), \; \forall x \in [a, b]. \! $


EXEMPLE:

a)   $ \int_0^1 (x^3+2)dx = (\frac 1 4 x^4 + 2x) |_0^1 = \frac 9 4. \! $

b)   $ \int_{-1}^0 (x^2-x)dx =( \frac {x^3}{3} - \frac {x^2}{2}) /_{-1}^0 = \frac 5 6.\! $


DEFINIŢIE: Orice funcţie $ \Phi: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ care are proprietatea $ \Phi'(x) = f(x), \; \forall x \in [a, b] \! $ se numeşte o primitivă a funcţiei f.


OBSERVAŢIE: Există multe funcţii a căror primitivă nu poate fi scrisă în termeni de funcţii elementare. În asemenea situaţii, calculul integralei $ \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt \! $ se face numeric.

Vezi şi Edit


Resurse Edit