Fandom

Math Wiki

Teorema de medie a lui Cauchy

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Cauchy se mai numește și a doua teoremă a creșterilor finite sau a doua teoremă de medie. Face parte din categoria teoremelor de medie.

Enunț Edit

Fie f și g două funții, f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb R, \! cu proprietățile:

  • f și g continue pe [a, b] \!
  • f și g derivabile pe (a, b) \!
  • g' (x) \neq 0, \; \forall x \in (a, b) \!

Atunci g(a) \neq g(b) \! și există cel puțin un punct c \in (a, b) \! astfel încât:

 \frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}. \!

 \!

Demonstrație

Fie h(x) = f(x) + k \cdot g(x); \! unde k este o constantă reală astfel încât  h(a) = h(b).\!

 \Rightarrow f(a) + k \cdot g(a) = f(b) + k \cdot g(b) \!

 \Rightarrow f(a) - f(b) = k \cdot g(b) - k \cdot g(a) \!

 \Rightarrow f(a) - f(b) = k ( g(b) - g(a))  \!

 \Rightarrow k=- \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.  \!

Presupunem că  g(a) = g(b).\! Deoarece g este continuă pe  [a, b]\! și derivabilă pe (a, b), \!

 \Rightarrow \exists \! cel puțin un punct c \in (a, b) \! astfel încât g'(c) =0. \! Dar g'(x) \neq 0 , \forall x  \in (a,b). \!

Observație Edit

Dacă luăm g(x) = x \!, obținem Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite).

Intepretare geometrică Edit

Pantele celor două drepte sunt proproționale cu pantele tangentelor duse la graficul funcției în punctul c corespunzător.

Aplicații Edit

Aplicația 1 Edit

Să se aplice teorema lui Cauchy în cazul funcțiilor:

f: [2, 5] \rightarrow \mathbb R \!



f(x)=
\begin{cases}
\sqrt{x+3}; & -2 \le <1
\\
\frac x 4 + \frac 7 4 ; & 1 \le x \le 5
\end{cases}


g: [-2, 5] \rightarrow \mathbb R, g(x)=x. \!


Funcția g este continuă și derivabilă pe [-2, 5] \! ca funcție elementară. f este derivabilă pe [-2, 5]. \!

Funcția f este derivabilă pe [-2, 1) \! și [1,5] \! ca funcție elementară. Se pune problema în x=1. \!

f'_s(1) \lim_{x \to 1; x<1} \frac {f(x) - f(1)}{x-1} \ frac 1 4.
f'_d(1) \lim_{x \to 1; x>1} \frac {f(x) - f(1)}{x-1}= \frac 1 4

Funcția f este continuă pe [-2, 1) \! și [1,5] \! ca funcție elementară. Se pune problema în x=1. \!

\lim_{x \to 1; x<1} f(x) = \lim_{x \to 1; x<1} \sqrt{x+3} = 2. \!

\lim_{x \to 1; x>1} f(x) =\lim_{x \to 1; x>1} \frac {x+7}{4}=2. \!

g'(x) = 1 \neq 0 \!

Conform teoremei lui Cauchy, există cel puțin un c \in (-2, 5) \! astfel încât:

\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(5) - f(2)}{g(5) - g(2)}. \!


f'(x)=
\begin{cases}
\frac {1}{2 \sqrt { x - 3}}; & x \in (-2, 1)
\\
\frac 1 4; & x \in [1, 5)
\end{cases}

 g(x) = 1. \!

\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac 2 7. \!

Cazul 1: x \in (-2, 1) \!

\Rightarrow f'(c) = \frac {1}{2 \sqrt {c-3}}; \; g'(c) = 1 \; \Rightarrow \frac {1}{2 \sqrt {c-3}} = \frac 2 7. \!

4 \sqrt {c-3} = 7 \Rightarrow 16 (c-3)=49 \; \Rightarrow c= \frac {97}{16} \in (-2, 1). \!


Cazul 2: x \in (1, 5) \!

 f'(c) = \frac 1 4 \Rightarrow \frac 1 4 = \frac 2 7 \! - Fals!!


\Rightarrow c= \frac {97}{16}. \!

f și g sunt derivabile pe (1,e) \! ca funcții elementare.

g'(x) = (2x-1)' = 2. \!

Conform teoremei lui Cauchy, există cel puțin un punct c \in (1, e) \! astfel încât \frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(e) - f(1)}{g(e) - g(1)} = \frac {1}{2e-2}. \!

f'(x) = \frac 1 x; \; g'(x)=2 \!

\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {1}{2c} = \frac {1}{2e-2} \; \Rightarrow \; 2c=2(e-1) \; \Rightarrow \; c=e-1. \!

Teorema lui Cauchy 1.png

Teorema lui Cauchy 2.png

Teorema lui Cauchy 3.png

Teorema lui Cauchy 4.png

Teorema lui Cauchy 5.png

Teorema lui Cauchy 6.png

Teorema lui Cauchy 7.png

Teorema lui Cauchy 8.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki