FANDOM


Teorema lui Cauchy se mai numește și a doua teoremă a creșterilor finite sau a doua teoremă de medie. Face parte din categoria teoremelor de medie.

Enunț Edit

Fie f și g două funcții, $ f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb R, \! $ cu proprietățile:

  • f și g continue pe $ [a, b] \! $
  • f și g derivabile pe $ (a, b) \! $
  • $ g' (x) \neq 0, \; \forall x \in (a, b) \! $

Atunci $ g(a) \neq g(b) \! $ și există cel puțin un punct $ c \in (a, b) \! $ astfel încât:

$ \frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}. \! $

$ \! $

Demonstrație

Fie $ h(x) = f(x) + k \cdot g(x); \! $ unde k este o constantă reală astfel încât $ h(a) = h(b).\! $

$ \Rightarrow f(a) + k \cdot g(a) = f(b) + k \cdot g(b) \! $

$ \Rightarrow f(a) - f(b) = k \cdot g(b) - k \cdot g(a) \! $

$ \Rightarrow f(a) - f(b) = k ( g(b) - g(a)) \! $

$ \Rightarrow k=- \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}. \! $

Presupunem că $ g(a) = g(b).\! $ Deoarece g este continuă pe $ [a, b]\! $ și derivabilă pe $ (a, b), \! $

$ \Rightarrow \exists \! $ cel puțin un punct $ c \in (a, b) \! $ astfel încât $ g'(c) =0. \! $ Dar $ g'(x) \neq 0 , \forall x \in (a,b). \! $

Observație Edit

Dacă luăm $ g(x) = x \!, $ obținem Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite).

Intepretare geometrică Edit

Pantele celor două drepte sunt proproționale cu pantele tangentelor duse la graficul funcției în punctul c corespunzător.

Aplicații Edit

Aplicația 1 Edit

Să se aplice teorema lui Cauchy în cazul funcțiilor:

$ f: [2, 5] \rightarrow \mathbb R \! $


$ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+3}; & -2 \le <1 \\ \frac x 4 + \frac 7 4 ; & 1 \le x \le 5 \end{cases} $


$ g: [-2, 5] \rightarrow \mathbb R, g(x)=x. \! $


Funcția g este continuă și derivabilă pe $ [-2, 5] \! $ ca funcție elementară. f este derivabilă pe $ [-2, 5]. \! $

Funcția f este derivabilă pe $ [-2, 1) \! $ și $ [1,5] \! $ ca funcție elementară. Se pune problema în $ x=1. \! $

$ f'_s(1) \lim_{x \to 1; x<1} \frac {f(x) - f(1)}{x-1} \ frac 1 4. $
$ f'_d(1) \lim_{x \to 1; x>1} \frac {f(x) - f(1)}{x-1}= \frac 1 4 $

Funcția f este continuă pe $ [-2, 1) \! $ și $ [1,5] \! $ ca funcție elementară. Se pune problema în $ x=1. \! $

$ \lim_{x \to 1; x<1} f(x) = \lim_{x \to 1; x<1} \sqrt{x+3} = 2. \! $

$ \lim_{x \to 1; x>1} f(x) =\lim_{x \to 1; x>1} \frac {x+7}{4}=2. \! $

$ g'(x) = 1 \neq 0 \! $

Conform teoremei lui Cauchy, există cel puțin un $ c \in (-2, 5) \! $ astfel încât:

$ \frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(5) - f(2)}{g(5) - g(2)}. \! $

$ f'(x)= \begin{cases} \frac {1}{2 \sqrt { x - 3}}; & x \in (-2, 1) \\ \frac 1 4; & x \in [1, 5) \end{cases} $

$ g(x) = 1. \! $

$ \frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac 2 7. \! $

Cazul 1: $ x \in (-2, 1) \! $

$ \Rightarrow f'(c) = \frac {1}{2 \sqrt {c-3}}; \; g'(c) = 1 \; \Rightarrow \frac {1}{2 \sqrt {c-3}} = \frac 2 7. \! $

$ 4 \sqrt {c-3} = 7 \Rightarrow 16 (c-3)=49 \; \Rightarrow c= \frac {97}{16} \in (-2, 1). \! $


Cazul 2: $ x \in (1, 5) \! $

$ f'(c) = \frac 1 4 \Rightarrow \frac 1 4 = \frac 2 7 \! $ - Fals!!


$ \Rightarrow c= \frac {97}{16}. \! $

f și g sunt derivabile pe $ (1,e) \! $ ca funcții elementare.

$ g'(x) = (2x-1)' = 2. \! $

Conform teoremei lui Cauchy, există cel puțin un punct $ c \in (1, e) \! $ astfel încât $ \frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(e) - f(1)}{g(e) - g(1)} = \frac {1}{2e-2}. \! $

$ f'(x) = \frac 1 x; \; g'(x)=2 \! $

$ \frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {1}{2c} = \frac {1}{2e-2} \; \Rightarrow \; 2c=2(e-1) \; \Rightarrow \; c=e-1. \! $

Teorema lui Cauchy 1

Teorema lui Cauchy 2

Teorema lui Cauchy 3

Teorema lui Cauchy 4

Teorema lui Cauchy 5

Teorema lui Cauchy 6

Teorema lui Cauchy 7

Teorema lui Cauchy 8

Vezi şi Edit

Resurse Edit