FANDOM


Fie seria Taylor:

$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \sum_{n=0}^{\infty} C_n r^n e^{in \theta}, \! $

unde numărul complex z este scris sub forma polară:

$ z= r e ^{i \theta}. \! $

Să examinăm partea reală şi partea imaginară:

$ u(r, \theta) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n r^n \cos n \theta \! $
$ v(r, \theta) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n r^n \sin n \theta \! $

Teorema de convergență a lui Abel susţine că dacă $ u(1, \theta) \! $ şi $ v(1, \theta) \! $ sunt convergente atunci:

$ u(1, \theta) + v(1, \theta) = \lim_{r \to 1} f(re^{i \theta}). \! $

Cu alte cuvinte, teorema susţine că dacă o serie de puteri reale este convergentă pentru o valoare pozitivă a argumentului, atunci domeniul de convergență uniformă se extinde cel puţin până va include acel punct.

Resurse Edit