Fandom

Math Wiki

Teorema Liouville

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema Liouville afirmă ca volumul ocupat în spaţiul fazelor de un domeniu \Delta \! este invariant în raport cu evoluţia starilor cuprinse in domeniu.

Fie un domeniu \Delta \! care la momentul t ocupă în spaţiu fazelor volumul:

\Omega =\underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp_1, dp_2, \cdots , dp_f dq_1, dq_2, \cdots , dq_f. \!

Pentru domeniul considerat fiecare punct reprezintă o stare a sistemului şi în urma evoluţiei stării respective, acesta va descrie o traiectorie în spaţiul fazelor. La un moment ulterior de timp t' \! domeniul \Delta \! va ocupa volumul:

\Omega =\underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp'_1, dp'_2, \cdots , dp'_f dq'_1, dq'_2, \cdots , dq'_f. \!

Pentru fiecare stare, între variabilele canonice p'_i \! şi q'_i, \! la momentul de timp t şi variabilele canonice p_i \! şi q_i, \! la momentul de timp t, există relaţiile:

p'_i = p_i+ \dot p_i dt \!
q'_i = q_i + \dot q_i dt \!

Dacă considerăm că trecerea de la variabilele p_i \! şi q_i, \! la p'_i \! şi q'_i, \! este o transformare de coordonate, atunci putem scrie:

 \underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp'_1, dp'_2, \cdots , dp'_f dq'_1, dq'_2, \cdots , dq'_f =  \underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp_1, dp_2, \cdots , dp_f dq_1, dq_2, \cdots , dq_f \!   (1)

unde D, determinantul transformării, ţinând cont de (1) este:

D = \begin{vmatrix} \frac{\partial p'_1}{\partial p_1} &  \frac{\partial p'_1}{\partial p_2} \cdots & \frac{\partial p'_1}{\partial q_1} \cdots & \frac{\partial p'_1}{\partial q_f} \\  \frac{\partial p'_2}{\partial p_1} &  \frac{\partial p'_2}{\partial p_2} \cdots & \frac{\partial p'_2}{\partial q_1} \cdots & \frac{\partial p'_2}{\partial q_f} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  \\  \frac{\partial q'_f}{\partial p_1} & \cdots & \cdots &  \frac{q'_f}{q_f}  \end{vmatrix}   =  \begin{vmatrix}  1+ \frac{\partial \dot p_1}{\partial p_1} dt & \frac{\partial \dot p_1}{\partial p_2} dt & \cdots & \frac{\partial \dot p_1}{\partial q_f} dt  \\  \frac{\partial \dot p_2}{\partial p_1} dt & \cdots & \cdots & \frac{\partial \dot p_2}{\partial q_f} dt   \\  \frac{\partial \dot q_f}{\partial p_1} dt & \cdots & \cdots & 1+ \frac{\partial \dot q_f}{\partial q_f} dt  \end{vmatrix} \!

Dezvoltând determinantul şi neglijând termenii de ordin superior (dt^2, dt^3, \cdots ,  \! etc), rezultă:

D=1+ \sum_{i=1}^f \frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i} dt + \sum_{i=1}^f \frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i} dt \!   (2)

Ţinând cont că \dot p_i \! şi \dot q_i \! sunt date de ecuaţiile Hamilton, expresia lui D devine:

D = 1+ \sum_{i=1}^f \left [ \frac{\partial }{\partial p_i} \left (  - \frac{\partial H}{\partial q_i} \right ) + \frac{\partial}{\partial q_i} \left ( \frac {\partial H}{\partial p_i} \right )  \right ] dt =1. \!   (3)

Atunci, conform transformarii de coordonate (1) rezultă:

\Omega = \Omega' \!

rezultat care reprezintă chiar teorema Liouville.

Also on Fandom

Random Wiki