FANDOM


Teorema Liouville afirmă ca volumul ocupat în spaţiul fazelor de un domeniu $ \Delta \! $ este invariant în raport cu evoluţia starilor cuprinse in domeniu.

Fie un domeniu $ \Delta \! $ care la momentul t ocupă în spaţiu fazelor volumul:

$ \Omega =\underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp_1, dp_2, \cdots , dp_f dq_1, dq_2, \cdots , dq_f. \! $

Pentru domeniul considerat fiecare punct reprezintă o stare a sistemului şi în urma evoluţiei stării respective, acesta va descrie o traiectorie în spaţiul fazelor. La un moment ulterior de timp $ t' \! $ domeniul $ \Delta \! $ va ocupa volumul:

$ \Omega =\underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp'_1, dp'_2, \cdots , dp'_f dq'_1, dq'_2, \cdots , dq'_f. \! $

Pentru fiecare stare, între variabilele canonice $ p'_i \! $ şi $ q'_i, \! $ la momentul de timp t şi variabilele canonice $ p_i \! $ şi $ q_i, \! $ la momentul de timp t, există relaţiile:

$ p'_i = p_i+ \dot p_i dt \! $
$ q'_i = q_i + \dot q_i dt \! $

Dacă considerăm că trecerea de la variabilele $ p_i \! $ şi $ q_i, \! $ la $ p'_i \! $ şi $ q'_i, \! $ este o transformare de coordonate, atunci putem scrie:

$ \underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp'_1, dp'_2, \cdots , dp'_f dq'_1, dq'_2, \cdots , dq'_f = \underset {\Delta} {\underbrace {\int \cdots \int}} dp_1, dp_2, \cdots , dp_f dq_1, dq_2, \cdots , dq_f \! $   (1)

unde D, determinantul transformării, ţinând cont de (1) este:

$ D = \begin{vmatrix} \frac{\partial p'_1}{\partial p_1} & \frac{\partial p'_1}{\partial p_2} \cdots & \frac{\partial p'_1}{\partial q_1} \cdots & \frac{\partial p'_1}{\partial q_f} \\ \frac{\partial p'_2}{\partial p_1} & \frac{\partial p'_2}{\partial p_2} \cdots & \frac{\partial p'_2}{\partial q_1} \cdots & \frac{\partial p'_2}{\partial q_f} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial q'_f}{\partial p_1} & \cdots & \cdots & \frac{q'_f}{q_f} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1+ \frac{\partial \dot p_1}{\partial p_1} dt & \frac{\partial \dot p_1}{\partial p_2} dt & \cdots & \frac{\partial \dot p_1}{\partial q_f} dt \\ \frac{\partial \dot p_2}{\partial p_1} dt & \cdots & \cdots & \frac{\partial \dot p_2}{\partial q_f} dt \\ \frac{\partial \dot q_f}{\partial p_1} dt & \cdots & \cdots & 1+ \frac{\partial \dot q_f}{\partial q_f} dt \end{vmatrix} \! $

Dezvoltând determinantul şi neglijând termenii de ordin superior ($ dt^2, dt^3, \cdots , \! $ etc), rezultă:

$ D=1+ \sum_{i=1}^f \frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i} dt + \sum_{i=1}^f \frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i} dt \! $   (2)

Ţinând cont că $ \dot p_i \! $ şi $ \dot q_i \! $ sunt date de ecuaţiile Hamilton, expresia lui D devine:

$ D = 1+ \sum_{i=1}^f \left [ \frac{\partial }{\partial p_i} \left ( - \frac{\partial H}{\partial q_i} \right ) + \frac{\partial}{\partial q_i} \left ( \frac {\partial H}{\partial p_i} \right ) \right ] dt =1. \! $   (3)

Atunci, conform transformarii de coordonate (1) rezultă:

$ \Omega = \Omega' \! $

rezultat care reprezintă chiar teorema Liouville.