FANDOM


Teorema Gauss-Bonnet face evidentă legătura dintre geometrie şi topologie.

Forma locală Edit

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U omeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeţei orientate S. Fie $ R \subset h(U) \! $ o regiune simplă şi $ \gamma : [0, l] \rightarrow S \! $ parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât $ \partial R = Im \gamma. \! $

Fie $ \gamma (s_i) \! $ vârfurile lui $ \gamma, \theta_i \! $ unghiurile exterioare corespunzătoare, $ i=\overline { 0, k+1 }. \! $

Atunci are loc formula:

$ \sum_{i=0}^k \int_{s_i}^{s_{i+1}} k_g (s) + \int \int_R K \; ds + \sum_{i=0}^k \theta_i = 2 \pi \! $

unde $ k_g \! $ este curbura geodezică a arcelor diferenţiale ale lui $ \gamma , \! $ K este curbura gaussiană şi $ d \sigma\! $ este elementul de suprafaţă.

Demonstraţie Edit

Fie $ X= \gamma'(s) \! $ (pe porţiunile diferenţiale ale curbei). Avem:

$ \bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit s} \bigg ]= \bigg [ \frac {\nabla \gamma' (s)}{d \mathit s} \bigg ] = k_g (s). \! $

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1 Edit

$ \bigg [ \frac {\nabla Y}{dt} \bigg ] - \bigg [ \frac {\nabla X}{dt} \bigg ] = \frac {d \varphi}{dt} \! $

Lema 2 Edit

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe $ \gamma \! $ şi $ \varphi \! $ unghiul dintre $ h_1 \! $ şi X. Atunci:

$ \bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit t} \bigg ] = \frac {1}{2 \sqrt {g_{11} g_{22}}} \bigg \{ \frac {\partial g_{22}}{\partial u^1} \frac {du^2}{dt} - \frac {\partial g_{11}}{\partial u^2} \frac {du^1}{dt} \bigg \} + \frac {d \varphi}{dt} \! $

Demonstraţie.

Normăm câmpurile $ h_1 \! $ şi $ h_2 \! $:

$ e_1 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{11}}}, \; e_2 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{22}}}. \! $

Atunci $ e_1 \times e_2 = N \! $ şi, conform lemei 1,

$ \bigg [ \frac{\nabla X}{dt} \bigg ] = \bigg [ \frac {\nabla e_1}{dt} \bigg ] + \frac {d \varphi}{dt} \! $

Resurse Edit