Fandom

Math Wiki

Teorema Gauss-Bonnet

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema Gauss-Bonnet face evidentă legătura dintre geometrie şi topologie.

Forma locală Edit

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U omeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeţei orientate S. Fie R \subset h(U) \! o regiune simplă şi \gamma : [0, l] \rightarrow S \! parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât \partial R = Im \gamma. \!

Fie \gamma (s_i) \! vârfurile lui \gamma, \theta_i \! unghiurile exterioare corespunzătoare, i=\overline { 0, k+1 }. \!

Atunci are loc formula:

\sum_{i=0}^k \int_{s_i}^{s_{i+1}} k_g (s) + \int \int_R K \; ds + \sum_{i=0}^k \theta_i = 2 \pi \!

unde k_g \! este curbura geodezică a arcelor diferenţiale ale lui  \gamma , \! K este curbura gaussiană şi  d \sigma\! este elementul de suprafaţă.

Demonstraţie Edit

Fie X= \gamma'(s) \! (pe porţiunile diferenţiale ale curbei). Avem:

\bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit s} \bigg ]= \bigg [ \frac {\nabla \gamma' (s)}{d \mathit s} \bigg ] = k_g (s). \!

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1 Edit

\bigg [ \frac {\nabla Y}{dt}  \bigg ] - \bigg [ \frac {\nabla X}{dt}   \bigg ] = \frac {d \varphi}{dt} \!

Lema 2 Edit

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe \gamma \! şi \varphi \! unghiul dintre h_1 \! şi X. Atunci:

\bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit t} \bigg ] = \frac {1}{2 \sqrt {g_{11} g_{22}}} \bigg \{ \frac {\partial g_{22}}{\partial u^1} \frac {du^2}{dt} - \frac {\partial g_{11}}{\partial u^2} \frac {du^1}{dt} \bigg \} + \frac {d \varphi}{dt} \!

Demonstraţie.

Normăm câmpurile h_1 \! şi h_2 \!:

e_1 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{11}}}, \; e_2 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{22}}}. \!

Atunci e_1 \times e_2 = N \! şi, conform lemei 1,

\bigg [ \frac{\nabla X}{dt}  \bigg ] = \bigg [ \frac {\nabla e_1}{dt}   \bigg ] + \frac {d \varphi}{dt} \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki