Fandom

Math Wiki

Teorema Cayley–Hamilton

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie. Matricea nenulă X \in M_n(\mathbb K) \! se numeşte vector propriu al matricei A dacă \exists \lambda \in \mathbb K \! astfel încât AX = \lambda X. \! scalarul \lambda \in \mathbb K \! se numeşte valoare proprie a matricei A.


Ecuaţia matriceală AX= \lambda X \! poate fi scrisă sub forma (A- \lambda I) X = 0 \! şi este echivalentă cu sistemul de ecuaţii liniare şi omogene:

\begin{cases} (a_{11} - \lambda) x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{12}x_2 + (a_{12} - \lambda) x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \cdots \cdots  \\ a_{n1}x_1 + a_{n1}x_2 + \cdots (a_{nn} - \lambda) x_n = 0. \end{cases} \!

care admite soluţii diferite de soluţia banală dacă şi numai dacă:

P(\lambda) = det (A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a_{11}- \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}  \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda  \end{vmatrix} \!

Definiţie. Polinomul P(\lambda) = det (A- \lambda I) \! se numeşte polinomul caracteristic al matricei A iar ecuaţia P(\lambda) = 0 \! se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A.


Se poate demonstra că polinomul caracteristic are forma:

P(\lambda) = (-1)^n [\lambda^n - \delta_1 \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \delta_n], \!

unde \delta_i \! reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A.


Observaţii.

1o. Soluţiile ecuaţiile caracteristice det(A- \lambda I) = 0 \! sunt valorile proprii ale matricei A.


Vectori si valori proprii 2.png| Vectori si valori proprii 3.png Vectori si valori proprii 4.png Vectori si valori proprii 5.png


Teorema Cayley–Hamilton 1.png Teorema Cayley–Hamilton 2.png


Aplicatii th Cayley 1.png Aplicatii th Cayley 2.png Aplicatii th Cayley 3.png

Aplicaţii pentru matrice pătrate de ordinul doi Edit

Teorema Cayley–Hamilton 3.png Teorema Cayley–Hamilton 4.png Teorema Cayley–Hamilton 5.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki