FANDOM


Definiţie. Matricea nenulă $ X \in M_n(\mathbb K) \! $ se numeşte vector propriu al matricei A dacă $ \exists \lambda \in \mathbb K \! $ astfel încât $ AX = \lambda X. \! $ scalarul $ \lambda \in \mathbb K \! $ se numeşte valoare proprie a matricei A.


Ecuaţia matriceală $ AX= \lambda X \! $ poate fi scrisă sub forma $ (A- \lambda I) X = 0 \! $ şi este echivalentă cu sistemul de ecuaţii liniare şi omogene:

$ \begin{cases} (a_{11} - \lambda) x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{12}x_2 + (a_{12} - \lambda) x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n1}x_2 + \cdots (a_{nn} - \lambda) x_n = 0. \end{cases} \! $

care admite soluţii diferite de soluţia banală dacă şi numai dacă:

$ P(\lambda) = det (A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a_{11}- \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix} \! $

Definiţie. Polinomul $ P(\lambda) = det (A- \lambda I) \! $ se numeşte polinomul caracteristic al matricei A iar ecuaţia $ P(\lambda) = 0 \! $ se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A.


Se poate demonstra că polinomul caracteristic are forma:

$ P(\lambda) = (-1)^n [\lambda^n - \delta_1 \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \delta_n], \! $

unde $ \delta_i \! $ reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A.


Observaţii.

1o. Soluţiile ecuaţiile caracteristice $ det(A- \lambda I) = 0 \! $ sunt valorile proprii ale matricei A.


Vectori si valori proprii 2| Vectori si valori proprii 3 Vectori si valori proprii 4 Vectori si valori proprii 5


Teorema Cayley–Hamilton 1 Teorema Cayley–Hamilton 2


Aplicatii th Cayley 1 Aplicatii th Cayley 2 Aplicatii th Cayley 3

Aplicaţii pentru matrice pătrate de ordinul doi Edit

  1. Teorema Cayley–Hamilton 3

Teorema Cayley–Hamilton 4 Teorema Cayley–Hamilton 5

Resurse Edit