Teorema lui Bolzano-Weierstrass.
Dacă şirul de numere reale este mărginit, atunci conţine un subşir convergent.
Demonstraţie.
Fie
Dacă fiecare mulţime are un cel mai mare element, atunci considerăm următorul subşir al şirului :
Şirul este un subşir al şirului şi este descrescător.
Deoarece este mărginit, şirul este şi el mărginit.
Rezultă că astfel şirul este convergent.
Dacă pentru un M, nu are un cel mai mare element atunci pentru orice cu există cu şi
Fie şi primul termen al şirului după care are proprietatea
În continuare fie primul termen al şirului după care verifică şi aşa mai departe.
Se obţine în acest fel un subşir al şirului care este monoton crescător.
Deoarece este mărginit, este convergent.
QED.
Intuitiv este clar că dacă atunci termenii şirului care au rang mare diferă puţin de L şi deci şi unul de celălalt.
Mai exact avem:
TEOREMĂ:
Criteriul Cauchy de convergenţă al unui şir de numere reale.
Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă pentru orice există astfel încât să avem:
Demonstraţie.
Presupunem că şirul converge la L şi considerăm un număr
Există astfel încât pentru orice
Prin urmare: şi şi rezultă că:
Presupunem acum că pentru orice există astfel încât
Pentru şi ales astfel încât avem:
şi deci:
Cu alte cuvinte şirul este mărginit.
Conform teoremei Bolzano-Weierstrass, şirul conţine un subşir convergent.
Fie şi un număr real pozitiv.
Există astfel încât şi există astfel încât
De aici rezultă că pentru orice avem: